常麗娜 劉漢澤

(聊城大學 數學科學學院, 山東 聊城 252059)

0 引言

眾所周知,許多類似水波、神經脈沖、光孤子和優(yōu)勢基因的傳播等物理、生物現象都需要非線性偏微分方程(NLPDEs)來描述,其中變系數偏微分方程比常系數偏微分方程更具有廣泛的應用,因此求解變系數方程的精確解無論在理論上還是應用上都具有更重要的意義.經過專家們幾十年的不斷研究,已經有大量的文章給出了具體有效的方法求非線性微分方程的精確解,例如,G′/G展開法[1-3]、Riccati方程法[4]、Jocobi橢圓函數展開法[5]、exp(-Φ(ξ))擴展方法[6-9]、廣義的tanh展開法[10]、齊次平衡法[11-13]、經典李群方法[14,15]、反散射法[16]和CK直接約化方法[17-20]等.

本文我們將研究以下廣義變系數Kawachara方程

ut+uux+α(t)u+β(t)uxxx+γ(t)uxxxxx=0,

(1)

其中α(t),β(t),γ(t)是t的函數,u=u(x,t)為未知函數.

Kawachara方程是用于描述粘性流體介質中長波的動力學行為的模型，常出現在具有表面張力的潛水波理論及等離子磁聲波理論.在文獻[21]中作者利用輔助函數法求得修正的Kawachara方程的精確解;在文獻[22]中作者利用直接代數法求得Kawachara方程和修正的Kawachara方程的行波解.求解Kawachara方程的精確解比較困難,尤其是求解廣義變系數Kawachara方程(1),所以研究方程(1)的精確解尤其重要.

本文主要由以下幾部分組成:在第1部分,利用改進的CK方法將廣義變系數方程(1)約化為常系數方程;在第2部分,運用李群方法得到了非線性方程(2)的對稱;在第3部分,對方程進行約化、求精確解[23,24];在第4部分,給出了方程的伴隨方程與守恒律[25,26];最后在第5部分,對本文做了一個簡單的總結.

1 Kawachara方程的等價變換

首先我們將利用改進的CK方法將方程(1)變?yōu)槌Ｏ禂捣匠?/p>

ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx=0，

(2)

其中a,b,c均為常數.

假設方程(1)有如下形式的解

u(x,t)=A(x,t)+BU(X,T),

(3)

其中X=X(x,t),T=T(x,t)是待定函數,并且在變換{u,x,t}→{U,X,T}下要求U(X,T)滿足方程(2),即

UT+UUX+aU+bUXXX+cUXXXXX=0.

(4)

將方程(2)-(4)代入方程(1),得到關于U及其偏導數的決定方程組

(5)

(6)

BXx-Tt=0,

(7)

…

At+AAx+α(t)A+β(t)Axxx+γ(t)Axxxxx=0.

(8)

借助Maple軟件,解決定方程組(5)～(8)

X=(C2x+C4)e-aT+C1x+C3,T=T(t),

(9)

(10)

(11)

(12)

其中T(t)為t的任意光滑函數,C1,C2,C3,C4為任意常數.

由方程(2)可以得到方程(1)的解

(13)

定理1 如果U=U(X,T)是方程(4)的解,則

u(x,t)=A(x,t)+BU(X,T)

是方程(1)的解,其中A,B,X,T由(9)式和(10)式確定.

2 Kawachara方程的對稱

首先,我們考慮一個單參數李群的無窮小變換

x→x+εξ(x,t,u),

t→t+ετ(x,t,u),

u→u+εη(x,t,u),

其中ε是無窮小參數.上述變換群的向量場可以表示為

(14)

其中ξ(x,t,u),τ(x,t,u),η(x,t,u)為待定函數.如果向量場(14)是方程(2)的李點對稱,則V需要滿足以下條件

Pr(5)V(Δ)|Δ=0=0,

(15)

其中Pr(5)V是V的五階延拓.

由(15)得

ηt+ηux+uηx+aη+bηxxx+cηxxxxx=0,

(16)

其中系數函數為

ηt=Dt(η-ξux-τut)+ξutx+τutt,

(17)

ηx=Dx(η-ξux-τut)+ξuxx+τuxt,

(18)

(19)

(20)

其中Dt,Dx為全導算子.將(17)-(20)式代入(16)式,得到關系ξ(x,t,u),τ(x,t,u),η(x,t,u)的決定方程組,解決定方程組得

ξ=r2e-at+r3,τ=r1,η=-r2ae-at,

(21)

其中ri(i=1,2,3)為任意常數.同時也得到了方程(1)的相似對稱

σ=(r2e-at+r3)ux+r1ut-r2ae-at,

(22)

這樣就得到了方程(2)的所有向量場

(23)

利用Vi(i=1,2,3)得到方程(2)的單參數群gi(i=1,2,3)為

g1:(x+ε,t,u),g2:(x,t+ε,u),g3:(x+e-atε,t,u-ae-atε),

(24)

其中ε是參數.

定理2如果u=f(x,t)是方程(2)的解,則函數也是

g1(ε)·f(x,t)=f(x-ε,t),

g2(ε)·f(x,t)=f(x,t-ε),

g3(ε)·f(x,t)=f(x-e-atε,t)-ae-atε.

(25)

3 Kawachara方程的約化方程和精確解

在這一節(jié)中,我們將利用上文求得的對稱對方程(2)進行約化,并且應用定理1來尋找方程的精確解.

情況1r1=0,r2=0,r3≠0時,則σ=r3ux,可以得到下面的相似變換

ξ=t,

方程(1)的群不變解為u=u(ξ),代入方程(1)中,得到約化后的常微分方程為

f′+af=0,

(26)

從而解得方程(2)的解為

u(x,t)=Ce-aT,

(27)

其中C為任意常數.由方程(13)可知方程(1)的解為

(28)

情況2V2+mV1時，可以得到下面的相似變換

u=f(ξ),ξ=x-mt,

(29)

將(29)式代入方程(2)得到

-mf′+ff′+af+bf?+cf(5)=0，

(30)

其中f′=df/dξ.假設方程(30)有以下形式的解

(31)

將級數展開解(31)代入方程(30),得到

(32)

當n=0時得到

(33)

一般地,當n≥1時得到

(34)

其中ai(i=1,2,3,4)為任意常數,所以方程(30)的解可以表示為

因此,方程(1)的解為

情況3V2+V3時,可以得到下面的相似變換

u=f(ξ)-ax,ξ=x-e-at/a.

(35)

將其式代入方程(2)中得到

cf(5)+f′+bf?-aξf′=0,

(36)

其中f′=df/dξ.

同樣利用上述的方法可以得到

當n=0時得到

(38)

一般地,當n≥1時得到

(39)

所以方程(36)的解為

因此,方程(1)的解為

4 Kawachara方程的伴隨方程和守恒律

在這一部分，我們會根據之前所求得的對稱來求方程(2)的伴隨方程和守恒律.方程(1)的伴隨方程為

vt+uvx+av+bvxxx+cvxxxxx=0,

(40)

并且Largrangian記作

L=v(ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx),

(41)

利用Ibragimov的結論,守恒向量的公式為

根據Ibragimov給出的結論,給出向量場的通式

(42)

那么方程(1)的守恒律有下面的式子決定

Dt(C1)+Dx(C2)=0,

(43)

則向量場C=(C1,C2)由下式決定

(44)

(45)

其中W=η-ξ1ut-ξ2ux.

下面我們將分情況討論.

C1=-uxv,

C2=v(ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx)-ux(uv+bvxx+cvxxxx)

+(bvx+cvxxx)uxx-uxxx(bv+cvxx)+cvxuxxxx-cvuxxxxxx.

C1=v(ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx)-utv,C2=-ut(uv+bvxx+cvxxxx)-(bvx+cvxxx)uxt

-uxxt(bv+cvxx)+cvxuxxxt-cvuxxxxxt.

C1=-e-at(a+ux)v,

C2=-e-atv(ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx)+(-ae-at-e-atux)(uv+bvxx+cvxxxx)

-e-at(-bvx-cvxxx)uxx-e-atuxxx(bv+cvxx)+ce-atvxuxxxx-ce-atvuxxxxxx.

以上守恒向量C=(C1,C2)包含伴隨方程(40)的任意解v,因此以上守恒向量給出了方程(1)的無窮多個守恒律.

5 結論

本文利用改進CK方法將廣義變系數Kawachara方程約化為常系數Kawachara方程,得到了等價變換.然后利用李群分析得到了常系數方程的對稱以及約化方程,并利用冪級數展開法求得了常系數方程的精確解,進而通過等價變換得到了變系數方程的解.雖然求解變系數物理方程比常系數物理方程具有挑戰(zhàn)性,但是變系數方程對物理、數學等方面有更廣泛的影響力.最后,我們還給出了Kawachara方程的伴隨方程和守恒律.