王海權(quán) 付 英

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院、非線性科學(xué)研究中心,陜西 西安 710127)

0 引言

本文考慮周期情形下一個(gè)修正的Camassa-Holm系統(tǒng)初值問(wèn)題,具體如

(1)

符號(hào)說(shuō)明 若A≥cB或者A≤cB,其中c是僅與指標(biāo)有關(guān)的正常數(shù),每一行的取值不盡相同.若z=(u,ρ)則‖z‖X×Y=‖u‖X+‖ρ‖Y,其中X和Y是Banach空間.

1 預(yù)備知識(shí)

為了估算方便,將問(wèn)題 (1) 化為如下形式

(2)

接下來(lái),給出Besov空間的定義和性質(zhì).

定義1[12,13]設(shè)s∈R,1≤p,r≤. 非齊次的Besov空間定義為

命題1[12,13]設(shè)s∈R,1≤p,r,pi,ri≤(i=1,2) 則有

(f) 令m∈R,f是一個(gè)Sm乘子,則對(duì)任意的s∈R,1≤p,r≤，f(D)是從到的連續(xù)算子.

對(duì)于輸運(yùn)方程的初值問(wèn)題

(3)

有以下結(jié)論.

引理1[14]令(p,r)∈[1,]2,s>-d/p,v是一個(gè)向量場(chǎng),使得否則假設(shè)若u∈L是問(wèn)題(3)的解，則當(dāng)r=1或者s≠1+d/p則

若u∈L是問(wèn)題(3)的解，則當(dāng)s>0時(shí)，

成立.然后給出一些重要的不等式.

引理3[9]令σ,α∈R.若n∈Z+,則對(duì)于任意的1≤p,r≤有

引理4[12]假設(shè)(p,r)∈[1,]2,則有

(2) 對(duì)于s1≤1/p,s2>1/p(s2≥1/p,r=1)以及s1+s2>0,

(4)

2 定理1的證明

在這一部分,通過(guò)構(gòu)造近似解[7-11]的方法來(lái)證明定理1.

2.1 近似解估計(jì)

首先,構(gòu)造如下近似解

uω,n(t)=ωn-1+n-scos(nx-ωt),γω,n(t)=ωn-1+n-scos(nx-ωt),

其中ω=±1,n∈Z+,s>3/2.將上面構(gòu)造的近似解代入問(wèn)題(2)的方程,可設(shè)

≤cnμ-2s+1+cnμ-2s-1+cnμ-s-2≤cnμ-2s+1+cnμ-s-2.

引理6若ω=±1,n∈Z+,1/2<μ<1,s>3/2,1≤r<則

2.2 近似解與解的差的估計(jì)

設(shè)(uω,n(t),γω,n(t))是如下問(wèn)題的解,即滿足

(5)

由引理3可知

所以根據(jù)引理5知 (uω,n(t),γω,n(t))是問(wèn)題(5)的唯一解,并且解的最大存在時(shí)間

為了估算近似解與解的差,設(shè)σ=uω,n-uω,n,η=γω,n-γω,n將其代入(5),則有

(6)

其中

對(duì)問(wèn)題(6)的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程分別使用引理1可得

根據(jù)命題1,對(duì)于1/2<μ

由引理4可得

根據(jù)引理3以及引理5可知

于是有

引理7若ω=±1,n∈Z+,1/2<μ3/2,1≤r<,則

2.3 完成定理1的證明

根據(jù)引理3以及引理5可知

因此可知z1,n(t)和z-1,n(t)是問(wèn)題(5)初值分別為z1,n(0)和z-1.n(0)相對(duì)應(yīng)的解,并且解的最大存在時(shí)間T0與n無(wú)關(guān).取定n且足夠大,設(shè)k=2s-μ,對(duì)問(wèn)題(5)的兩個(gè)方程使用引理2得

利用命題1(b)以及引理4分別估算上述兩式每一項(xiàng)可得

將上面兩式相加,然后利用引理5以及Gronwall不等式可得

進(jìn)一步有

結(jié)合命題1(e)以及引理7可得

再結(jié)合引理3,引理5以及uω,n和ρω,n的定義有

最終,對(duì)于任意的0≤t≤T有

通過(guò)引理3然后兩邊同時(shí)取極限可得

定理1證畢.