張哲，鞠劍平，唐劍隱

（湖北商貿(mào)學(xué)院機(jī)電與信息工程學(xué)院智能制造教研室，湖北 武漢 430079）

柔性機(jī)械臂系統(tǒng)是基于傳統(tǒng)剛性機(jī)械臂應(yīng)用而產(chǎn)生的一種機(jī)械控制系統(tǒng)，其雖然具有設(shè)備質(zhì)量輕、作業(yè)耗能低和荷載/自重比較高的特點(diǎn)，然低頻率、大幅度的彈性振動使得其定位精度和操作效率受到較大影響。

1 遺傳算法的基本內(nèi)涵

遺傳算法以適應(yīng)度值進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算的對象，在選擇、交叉和變異操作下，實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)個體和最優(yōu)解的有效搜尋。與傳統(tǒng)算法方式相比，遺傳算法無須函數(shù)導(dǎo)數(shù)等信息的輔助支撐，在解空間最大個體的搜索和適應(yīng)度控制的同時，實(shí)現(xiàn)了一代又一代的進(jìn)化，具有較高的全局優(yōu)化能力和隱含并行能力。

2 基于遺傳算法的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)建模

2.1 系統(tǒng)總體模型設(shè)計(jì)思路

柔性機(jī)械臂的動力系統(tǒng)極為復(fù)雜，故而其在總體模型建立中具有一定的非線性和強(qiáng)耦合性（見圖1）。本文柔性機(jī)械臂的動力系統(tǒng)控制優(yōu)化設(shè)計(jì)以遺傳算法為基礎(chǔ)，進(jìn)行Euler-Bernouli 梁模型、柔性機(jī)械臂近似模型、動力系統(tǒng)模型的構(gòu)建，并在ISE 準(zhǔn)則或ISTE 準(zhǔn)則的應(yīng)用下，進(jìn)行控制優(yōu)化和性能指標(biāo)選取，確保其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)控制指標(biāo)的最優(yōu)化。

圖1 柔性機(jī)械臂應(yīng)用

2.2 Euler-Bernouli 梁模型

以單連桿柔性機(jī)械臂為研究對象（如圖2），在應(yīng)用過程中，直流電機(jī)和減速器是其驅(qū)動的主要支撐。在其運(yùn)動平面內(nèi)，機(jī)械臂會圍繞中心點(diǎn)O 進(jìn)行水平運(yùn)動；此時與橫截面相比，梁長具有較大的尺度規(guī)格，故可將其作為Euler-Bernouli 梁，并對其進(jìn)行模型處理。

Euler-Bernouli 梁模型構(gòu)建可先對電機(jī)與梁體的連接方式進(jìn)行改變，使其保持在剛性連接狀態(tài)，并確保其截面為均勻矩形；然后再在梁體形狀優(yōu)化的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)負(fù)載實(shí)際的有效計(jì)算。該模型體系下，梁體的長度和高度分別用L和H 表示，并將矩形幾截面寬設(shè)置為B，梁體端部質(zhì)量負(fù)載為Mp；此時，在考慮梁體剛性轉(zhuǎn)角θ 和彈性變形μ的基礎(chǔ)上，可將柔性機(jī)械臂的水平轉(zhuǎn)動y 視為大范圍剛性轉(zhuǎn)動和小范圍梁的彈性變形的疊加。即：

圖2 單連桿柔性機(jī)械臂模型

此時，Euler-Bemouli 梁的振動方程為：

式中，E 和I 分別代表了了Euler-Bemouli 梁的體彈模量和轉(zhuǎn)動慣性；而梁體抗彎剛度以EI 表示。另外，ρ 和S分別表示梁體單位長度的質(zhì)量密度和梁截面面積。

2.3 柔性機(jī)械臂近似模型

柔性機(jī)械臂有限段差分近似模型構(gòu)建中，依據(jù)有限差分方法，則柔性機(jī)械臂的振動方程可進(jìn)一步微分，實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械臂梁沿長度方向的均勻分段。若將微分后的每段柔性機(jī)械臂△x以L/n 進(jìn)行代替，且在重新定義xi、yi、Si和βi的基礎(chǔ)上，可實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械臂振動方程和邊界條件的微分簡化（圖3）。

圖3 機(jī)械臂的柔性臂桿結(jié)構(gòu)模型圖

2.4 動力系統(tǒng)模型

直流電機(jī)、減速器是其動力系統(tǒng)的重要組成。若柔性機(jī)械臂系統(tǒng)處于工作狀態(tài)，則電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量Jm、減速器側(cè)的轉(zhuǎn)動慣量JL、阻尼系數(shù)Bm、電機(jī)樁距系數(shù)Kt、電動勢常數(shù)Ke、電樞電阻R 和減速比r 等都會對直流電機(jī)及減速器的運(yùn)作形成影響。此時，直流電機(jī)及減速器的動態(tài)方程可表示為：

2.5 系統(tǒng)狀態(tài)方程模型

末端位置輸出是柔性機(jī)械臂系統(tǒng)輸出的基本方式。若通過 nyZ = 進(jìn)行其輸出矩陣表達(dá)，同時，定義q0=[θy1，y2…yn]′，狀態(tài)變量，則通過差商進(jìn)行微分的代替，在邊界條件下，聯(lián)立

式（1）（2）可知：

由此實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)方程模型的有效結(jié)算，避免了矩陣求逆的應(yīng)用。式中，Jm 和Jl 分別表示電機(jī)轉(zhuǎn)子組涵洞慣量和減速器側(cè)的轉(zhuǎn)動慣量。Bm 表示阻尼系數(shù)，R 和r 分別為電樞電阻和減速比，kt 表示了電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)，而Ke 為電動勢常數(shù)。

3 基于遺傳算法的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)控制優(yōu)化

3.1 控制策略選擇

抑制振動是柔性機(jī)械臂控制的主要目的。本控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，工作人員以直流電機(jī)加減速器為驅(qū)動基礎(chǔ)，進(jìn)行了其機(jī)械臂線性方程的構(gòu)建，確保了柔性機(jī)械臂算法控制和狀態(tài)優(yōu)化的靈活處理。

3.2 實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)變量控制

設(shè)計(jì)變量控制和指標(biāo)選取是柔性機(jī)械臂控制優(yōu)化的兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。最優(yōu)個體適應(yīng)度函數(shù)值尋找中，可將種群代數(shù)作為控制因子，然后在差商微分的基礎(chǔ)上，進(jìn)行代數(shù)優(yōu)化，則其對應(yīng)反饋矩陣的精度也會有所增益（見圖4）。由圖可知，隨著種群的不斷變化，最優(yōu)個體適應(yīng)度函數(shù)值不斷變小，經(jīng)過10 代左右計(jì)算，得到最優(yōu)個體。

圖4 遺傳算法優(yōu)化曲線

3.3 注重約束條件處理

本次遺傳算法應(yīng)用過程中，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制優(yōu)化包含以下方面：其一，進(jìn)行機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的剛度優(yōu)化，在預(yù)先校核、上下限約束的條件下，實(shí)現(xiàn)其剛度保證。其二，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂系統(tǒng)穩(wěn)定性的約束，確保其整體應(yīng)用的安全性。其三，進(jìn)行優(yōu)化后梁體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，使得去具有合理的長度和寬度，具有較高的工也適用性。

3.4 進(jìn)行優(yōu)化結(jié)果分析

本次仿真驗(yàn)證中，設(shè)計(jì)人員進(jìn)行了機(jī)械臂系統(tǒng)數(shù)值的仿真，然后在直流電機(jī)驅(qū)動下，進(jìn)行單連桿系統(tǒng)的柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動，并將遺傳算法所確定的手臂長度、梁截面高度、梁體寬度、彈性模量等數(shù)據(jù)應(yīng)用于新設(shè)備應(yīng)用。若對柔性機(jī)械臂末端變形過程進(jìn)行優(yōu)化，則其端部轉(zhuǎn)角的階躍響應(yīng)得以有效控制。具體而言，優(yōu)化后，彈性振動的時間更快，即端部轉(zhuǎn)角跟蹤響應(yīng)的時間也有所加快（見圖5）。

圖5 優(yōu)化前、后柔性機(jī)械臂末端變形對比

4 結(jié)語

柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制優(yōu)化對其應(yīng)用的安全性和可靠性具有重大影響。本文以遺傳算法為計(jì)算方式，在柔性機(jī)系臂系統(tǒng)模型建立的基礎(chǔ)上，進(jìn)行其變量控制、約束條件處理和優(yōu)化結(jié)構(gòu)分析。