（青島大學(xué) 自動化學(xué)院，青島 266071）

自從20世紀(jì)60年代將機(jī)器人引入工業(yè)生產(chǎn)以來，制造工業(yè)取得了很大的進(jìn)步。如今，機(jī)器人的應(yīng)用逐步拓展到制造業(yè)、農(nóng)業(yè)和工業(yè)等眾多領(lǐng)域。目前國內(nèi)工業(yè)生產(chǎn)中多數(shù)使用單臂機(jī)器人[1-2]，但單臂機(jī)器人在組裝零件、搬運(yùn)重物等工業(yè)生產(chǎn)活動中效率低下，難以達(dá)到預(yù)期的要求。協(xié)同機(jī)器人[3]是多個機(jī)械臂共同完成生產(chǎn)活動，因此協(xié)同機(jī)器人在協(xié)調(diào)性和靈活性上都要優(yōu)于單臂機(jī)器人。隨著科技的進(jìn)步，協(xié)同機(jī)器人領(lǐng)域也在不斷的創(chuàng)新與發(fā)展，比如丹麥公司Universal Robots在2015年推出的機(jī)器人UR3便具有重量輕、高智能、易安裝等優(yōu)點(diǎn)。

相比于單機(jī)械臂系統(tǒng)，多機(jī)械臂系統(tǒng)的控制問題更為困難。當(dāng)多個機(jī)械臂在搬運(yùn)同一物體時，首先，要保證物體按照期望的軌跡運(yùn)動。此時每個機(jī)械臂的末端執(zhí)行器需要與物體的運(yùn)動軌跡保持一致，這就導(dǎo)致末端執(zhí)行器在運(yùn)動的速度和位置上都會受到約束。其次，末端執(zhí)行器與物體之間的接觸力等內(nèi)力也需要控制，以確保機(jī)械臂可以抓牢物體的同時不損壞物體。所以，在考慮位置控制的同時也應(yīng)該考慮內(nèi)力控制。因此如何實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的力/位混合控制[4]成為當(dāng)前機(jī)械化工業(yè)面臨的主要困難之一[5]。

機(jī)械臂系統(tǒng)是一個高階強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，因此，專家們在對有未建模動態(tài)的多機(jī)械臂系統(tǒng)的控制問題上進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)[6]在多機(jī)械臂系統(tǒng)中引入了一種新的綜合動力學(xué)模型，并為這些系統(tǒng)的位置和力跟蹤問題設(shè)計(jì)分散自適應(yīng)協(xié)同控制器。文獻(xiàn)[7]開發(fā)了一種滑?？刂品椒?，用于解決不確定協(xié)同機(jī)器人的控制問題。然而這些方法在控制器的設(shè)計(jì)上都比較復(fù)雜，本文運(yùn)用反步控制[8]方法簡化控制器的設(shè)計(jì)。反步法是一種可以高效地處理系統(tǒng)中存在的非線性項(xiàng)的控制方法，其基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成一系列單個子系統(tǒng)，接著在每一個子系統(tǒng)中引入虛擬控制函數(shù)，并且選擇適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)以完成整個控制器的設(shè)計(jì)[9]。

綜上所述，本文針對具有未建模動態(tài)和未知外部擾動的多機(jī)械臂系統(tǒng)提出一種基于模糊反步法的力/位混合控制方法，并使用Matlab軟件進(jìn)行了仿真。與傳統(tǒng)的方法相比，本文的主要創(chuàng)新點(diǎn)如下：

（1）研究了多機(jī)械臂的力/位混合控制問題，并使用反步法簡化了控制器的設(shè)計(jì)過程；

（2）使用自適應(yīng)模糊方法處理機(jī)械臂系統(tǒng)存在的高度非線性和未知擾動的問題。

1 多機(jī)械臂系統(tǒng)空間模型

圖1所示為機(jī)械臂共同控制一個物體的模型圖，并且在圖中建立了相對應(yīng)的坐標(biāo)系以便導(dǎo)出整個系統(tǒng)的動態(tài)模型。｛B｝表示參考坐標(biāo)系，｛O｝表示以剛性物體的質(zhì)心為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系，｛Ei｝（1≤i≤k）表示以第i個末端執(zhí)行器為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系。

為了簡化整個系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，提出以下假設(shè)[10-13]：

假設(shè)1：機(jī)械臂自由度相同；

假設(shè)2：物體與所有末端執(zhí)行器的接觸是剛性的；

假設(shè)3：每個機(jī)械臂的運(yùn)動遠(yuǎn)離奇點(diǎn)；

假設(shè)4：所有關(guān)節(jié)和被抓物體都是剛性的。

2 多機(jī)械臂系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.1 機(jī)械臂的動力學(xué)模型

第i個機(jī)械臂的動力學(xué)方程為[14]

由式（1）可得k個機(jī)械臂的動力學(xué)方程是：

式中：

假設(shè) 5：di（t）滿足‖di（t）‖≤，其中是一個未知正常數(shù)。

由假設(shè) 3 可知，Jacobian 矩陣 Jm，i（qi）可由第 i個機(jī)械臂的正向動力學(xué)得到，如式（3）所示：

2.2 物體的動態(tài)模型

物體的動態(tài)方程為[15-16]

式中： p∈R2是物體的位置向量；Mo（p）∈R2×2表示物體的質(zhì)量矩陣；Do（ p，p˙）∈R2×2表示科里奧利力-離心力矩陣；Go（p）∈R2表示重力矢量；Fo是物體的合力矩矢量；可以表示為

式中：Jo，ei（ p）∈R2×2表示第 i個末端執(zhí)行器到物體的Jacobian矩陣，由此可得：

F由內(nèi)力f和外力E兩部分組成，可得：

式中

將式（8）帶入式（7）可得：

假設(shè)6：物體的運(yùn)動不會受到內(nèi)力的影響，內(nèi)力之間可以互相抵消，也就是說：

2.3 多機(jī)械臂配合動力學(xué)模型

基于假設(shè)3，物體的位置和方向向量矩陣p可以用關(guān)節(jié)向量qi表示：

對式（8）求導(dǎo)可得：

將式（10）、式（14）和式（15）帶入式（2）中可得多機(jī)械臂協(xié)作的動力學(xué)模型：

式中：

定義新的變量如下：

則式（16）可以表示為

3 控制器設(shè)計(jì)

步驟1定義系統(tǒng)誤差變量如下：

式中：x1d為期望的物體運(yùn)動軌跡；α為虛擬控制信號。

選取李雅普諾夫函數(shù)為

對式（18）求導(dǎo)，可得：

選取虛擬控制律 α=-k1z1+，則

步驟2選取Lyapunov函數(shù)

對式（21）求導(dǎo)可得：

由式（22）可得：

基于假設(shè)5和楊氏不等式，可得：

令 ef=f0-f，f0是期望的內(nèi)力，ef是內(nèi)力誤差，令選取真實(shí)控制律：

式中：σf，d，σf，i是正常數(shù)；為 θi的估計(jì)值，θi將在后文定義。 將式（27）帶入式（26）中得到：

比較式（4）、式（7）和式（11），可得：

將式（30）帶入式（28）可得：

步驟 3令，選取 Lyapunov 函數(shù)：

對式（32）求導(dǎo)可得：

定義自適應(yīng)律：

式中：ηi＞0，mi＞0。

4 穩(wěn)定性分析

將式（35）帶入式（34）中可得：

由式（31）容易得到：

顯然有：

將τ帶入式（16）中可得：

由于系統(tǒng)內(nèi)的信號都是有界的，所以只要σd的取值合適，內(nèi)力誤差就會收斂到一個極小的值。

由上述分析可得以下結(jié)論：

假設(shè)x1d為期望跟蹤信號，結(jié)合模糊自適應(yīng)逼近理論、虛擬控制律α和自適應(yīng)律θ的共同作用下，位置跟蹤誤差將會收斂到原點(diǎn)周圍極小的鄰域內(nèi)，并且選取合適的 σf，d，σf，i，使內(nèi)力的誤差收斂到原點(diǎn)周圍極小的鄰域內(nèi)。

5 系統(tǒng)仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證所提出的基于自適應(yīng)模糊的反步控制方案的有效性，本文在Matlab環(huán)境中進(jìn)行了仿真，如圖2所示，這兩個二連桿平面機(jī)械臂共同抓取一個球形物體。是機(jī)械臂每一個關(guān)節(jié)的角度，每個機(jī)械臂的動力學(xué)方程由式（1）表示，其中 Mi（qi），Gi（qi），Di（qi，）在文獻(xiàn)[18]中給出。 di（t），τf，i（qi，）由式（41）和式（42）得到：

圖2 雙機(jī)械臂模型Fig.2 Two two-link planar manipulators model

機(jī)械臂的長度分別是：l1，1＝l2，1＝1 m，l1，2＝l2，2＝1 m；

質(zhì)量分別是：m1，1＝m2，1＝1 kg，m1，2＝m2，2＝1 kg；

轉(zhuǎn)動慣量分別是：I1，1＝I2，1＝1.5 N·m2，I1，2＝I2，2＝0.5 N·m2；

物體的半徑、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量分別是：l0＝0.2 m，m0＝0.3 kg，I0＝0.1 N·m2。

機(jī)械臂的基座分別是：（x1，y1）＝（-1.4，0），（x2，y2）＝（1.4，0）。

在式（2）中給出了物體的動態(tài)方程，其中 M0（p）＝重力加速度 g＝9.8 m/s2，其中 Jeoi（ p），Joq（q˙）在文獻(xiàn)[18]中給出。

選擇模糊集如下：

選擇控制律參數(shù)：k1＝100，k2＝8，li＝20，mi＝20，σf，d＝0.1，σf，i＝20。

f0＝為物體期望的位置，選取如下所示：

圖3是目標(biāo)物體的位置跟蹤圖，圖4和圖5分別是采用本文控制方法后物體沿X，Y軸方向上位置跟蹤誤差的仿真圖，圖6～圖9是系統(tǒng)內(nèi)力誤差ef的仿真圖。圖10是真實(shí)控制率τ的仿真圖。從圖3～圖5看出物體能夠有效的跟蹤期望的位置，圖6～圖9看出系統(tǒng)的內(nèi)力誤差可以收斂到原點(diǎn)周圍極小的鄰域內(nèi)。

圖3 物體的位置跟蹤圖示Fig.3 Position tracking of the object

圖4 X軸跟蹤誤差圖示Fig.4 Tracking error on X-axis

圖5 Y軸跟蹤誤差圖示Fig.5 Tracking error on Y-axis

圖6 內(nèi)力誤差ef11圖示Fig.6 Internal force erroref11

圖7 內(nèi)力誤差ef12圖示Fig.7 Internal force erroref12

圖8 內(nèi)力誤差ef21圖示Fig.8 Internal force erroref21

圖9 內(nèi)力誤差ef22圖示Fig.9 Internal force erroref22

圖10 控制器τ圖示Fig.10 Controller τ

6 結(jié)語

本文針對多機(jī)械臂系統(tǒng)的未建模動態(tài)及未知擾動，采用模糊自適應(yīng)控制結(jié)合反步法實(shí)現(xiàn)了多機(jī)械臂的力/位混合控制。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的基于模糊自適應(yīng)的控制器能夠使物體有效跟蹤期望的位置，且機(jī)械臂系統(tǒng)的內(nèi)力可以控制在一個理想的范圍內(nèi)。