張漢勛 ，張永平

（1.寧波工程學(xué)院 信息與電氣工程學(xué)院，寧波 315211；2.長安大學(xué) 電子與控制工程學(xué)院，西安 710082）

隨著微電子技術(shù)、電力電子器件、新型電機控制理論、數(shù)字控制技術(shù)的發(fā)展，交流調(diào)速系統(tǒng)相關(guān)的控制策略相應(yīng)也得到了發(fā)展[1]。最初，V/F控制是交流電機最簡單的控制方法。但V/F控制具有非常差的低電機轉(zhuǎn)矩率和速度動態(tài)特性。特別是低速時，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。把速度閉環(huán)引入滑差頻率控制更容易使系統(tǒng)穩(wěn)定。它們都屬于標(biāo)量控制，只能對電機定子的電壓幅度和頻率進(jìn)行控制，從而導(dǎo)致電機的動態(tài)性能不佳成為其主要缺陷[2]。

20世紀(jì)70年代提出的AC電機矢量控制系統(tǒng)將三相系統(tǒng)等效成為兩相系統(tǒng)，并通過對轉(zhuǎn)子磁場進(jìn)行定向的同步旋轉(zhuǎn)變換來實現(xiàn)轉(zhuǎn)矩分量間和定子電流勵磁分量的解耦，從而實現(xiàn)分別控制轉(zhuǎn)矩和交流磁鏈的目的[3]。

矢量控制理論最早由德國的F.Blaschke于1971年提出。它的基本思想是把AC電動機模擬成DC電機來控制[4-5]。矢量控制系統(tǒng)在應(yīng)用上的成功清除了先前標(biāo)量控制上的不足，并且極大提升控制系統(tǒng)進(jìn)行實時控制的性能。

本文詳細(xì)闡述了永磁同步電機在不一樣的坐標(biāo)中的數(shù)學(xué)模型，分析轉(zhuǎn)換其解耦思想及其實現(xiàn)過程，為永磁電機進(jìn)行矢量控制在Matlab中的仿真提供解耦依據(jù)。最后，通過Matlab/Simulink平臺，分析并仿真研究永磁同步電機的矢量控制系統(tǒng)，為實際進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計與實現(xiàn)提供新的思路。

1 永磁同步電機變換解耦分析及其數(shù)學(xué)模型

在將永磁同步電機數(shù)學(xué)模型搭建起來之前，首先做以下假設(shè)：

（1）將渦流、磁滯、磁路飽和等影響因素忽略掉，把電機的磁路看作是線性的；

（2）定子繞組在電動機中是三相對稱排列的，它的軸在空間上互差120°電角度；

（3）阻尼繞組在電機的轉(zhuǎn)子上的作用忽略不計，不存在阻尼作用；

（4）電動機定子電勢根據(jù)正弦規(guī)律變化，定子電流僅在氣隙中產(chǎn)生正弦分布磁勢，定子與轉(zhuǎn)子之間繞組的互感以轉(zhuǎn)子位置角的正弦函數(shù)體現(xiàn)，將磁路中的高次諧波忽略掉；

（5）忽略溫度、頻率等因素對繞組電阻的影響；

（6）永磁材料的電導(dǎo)率為零。

根據(jù)以上假設(shè)，同步永磁電機的理論分析與實際情況非常接近，誤差控制在工程允許范圍以內(nèi)[6]。

1.1 A、B、C三相坐標(biāo)系下同步永磁電機的數(shù)學(xué)模型

在三相坐標(biāo)系A(chǔ)、B、C中，同步永磁電機的物理模型如圖1所示，它的定子繞組以三相對稱排列。其繞組軸線分別為A、B、C，且依次相差120°。將A相繞組的軸用于空間坐標(biāo)系的參考軸OA。在此基礎(chǔ)上，可獲得同步永磁電動機在A，B、C坐標(biāo)系中的磁鏈、電磁轉(zhuǎn)矩、定子電壓的方程如下：

圖1 永磁同步電機物理模型Fig.1 Physical model of permanent magnet synchronous motor

三相同步永磁電機定子電壓的方程如式（1）所示：

三相同步永磁電機的定子磁鏈方程如式（2）所示：

對永磁同步三相電機，它的電磁轉(zhuǎn)矩方程表示如下：

式中 ：np為三相永磁同步電機極對數(shù)；ψs＝ ψf·為三相繞組的電流。

在靜止的三相坐標(biāo)系下，可得同步永磁電機其電壓方程屬于線性微分方程，將一些常數(shù)量去掉，直接去求解其余的微分量就比較困難；從磁鏈方程的電感矩陣可以看出，它們的每個元素都是一個可變參數(shù)，因此每個繞組都擁有一個非線性耦合，同時它還與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角度相關(guān)，想要達(dá)到解耦的目的，就要對定子的電感矩陣進(jìn)行對角化，完成這個過程后，就可以解除磁鏈之間的相互耦合，從而便于獨立控制。對角化過程首先要通過特征多項式求取特征值，然后得到的特征值是Λ的主對角元素[7]。下面詳細(xì)推導(dǎo)對角化過程及推導(dǎo)變換矩陣過程。

1.2 同步永磁電機在α、β、o三相坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

由于定子繞組三相對稱，有LA=LB=LC=LS，MAB=MBC=MAC=Lm，定子繞組的電感矩陣可寫成

因此，對角化后有：

①當(dāng) λ1＝λ2＝Ls-Lm時

由于 λ1E-L 的秩為 1，則有（λ1E-L）X=0，有X1+X2+X3＝0，解得一個基礎(chǔ)解析為

②當(dāng) λ3＝Ls+2Lm時

由于 λ3E-L 的秩為 1，則由（λ3E-L）X=0，有X1＝X2＝X3，解得一個基礎(chǔ)解析為經(jīng)單位化有因此，求得

因為電機繞組使用的是星形接法并且沒有中性線，即IA+IB+IC=0，即Io=0，因此矩陣第三行可以不考慮，只有前兩行有意義，所以說定子靜止三相電流IA、IB、IC從三坐標(biāo)變換到兩坐標(biāo)，便可獲得定子靜止兩相電流 Iα、Iβ，如圖 2 所示。

圖2 由靜止三相到靜止兩相的Clark變換Fig.2 Clark transform from stationary three-phase to stationary two-phase

永磁同步電機在α-β坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式如下：

定子電流：

定子磁鏈：

電磁轉(zhuǎn)矩：

1.3 在d、q、o三相坐標(biāo)系下同步永磁電機的數(shù)學(xué)模型

定子和轉(zhuǎn)子在電機旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，他們之間將發(fā)生旋轉(zhuǎn)耦合關(guān)系[9]。此時，轉(zhuǎn)子和定子之間互感矩陣內(nèi)包含轉(zhuǎn)子和定子繞組之間角度的元素，也就是具有非線性、三角函數(shù)、隨著時間進(jìn)行變化，一般可以表達(dá)為

③當(dāng) λ3＝0 時，解得特征向量為將其單位化有

從而有正交變換矩陣如下：

由式（11）可得：

從式（12）能看出這是兩相靜止坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變化過程，也即是通過旋轉(zhuǎn)變換把靜態(tài)雙軸坐標(biāo)Iα和Iβ變成雙軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)Id和Iq，從而實現(xiàn)了從ABC靜止三相坐標(biāo)系的三相電流到同步旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系的兩相電流的變換，如圖3所示。

永磁同步電機在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)系中的數(shù)學(xué)模型可以表達(dá)式為

定子電壓：

圖3 ABC靜止三相坐標(biāo)系到dq同步旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系Fig.3 ABC three-phase stationary coordinate system to dq two-phase synchronous rotating coordinate system

定子磁鏈：

電磁轉(zhuǎn)矩：

式中：Ud，Uq，Id，Iq分別是 d、q 軸的定子電壓以及電流；R為定子的電阻；ψd，ψq為d軸和q軸的磁鏈分量；為轉(zhuǎn)子電角頻率；Ld和Lq為d軸和q軸的等效電感；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈。

轉(zhuǎn)矩表達(dá)式（15）中，第一項是轉(zhuǎn)矩，通過q軸電流與氣隙磁場在相互作用下產(chǎn)生，即勵磁轉(zhuǎn)矩，即通過轉(zhuǎn)子凸極效應(yīng)產(chǎn)生的第二項轉(zhuǎn)矩，稱為磁阻轉(zhuǎn)矩。顯然對于 SPMSM 來說，Ld=Lq，此項為零。

當(dāng)id=0時，有電磁轉(zhuǎn)矩由此可以看出，如果將d軸的電流控制到零，則轉(zhuǎn)矩 Te只與q軸定子電流的分量Iq相關(guān)。為了達(dá)到id恒為0的解耦控制的目的，可以使用2種去耦方法，即電壓型去耦和電流型去耦。前者的方案可以用來完全解耦id和iq，但實現(xiàn)起來更復(fù)雜；后者的控制方案是近似解耦的，它進(jìn)行控制的原理是[10]：對id環(huán)的電流調(diào)節(jié)器的參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x取，并讓它擁有相當(dāng)?shù)脑鲆?，同時讓控制器的參考輸入命令始終保持為id*=0，可獲得 id≈id*=0，iq≈iq*＝0，這樣就獲得了同步永磁電機近似解耦。以矢量控制和id*=0為依據(jù)的解耦控制的同步永磁電動機的仿真模型主要在下面部分給出。

2 同步永磁電機矢量控制系統(tǒng)的仿真

2.1 系統(tǒng)整體仿真

該系統(tǒng)基于變換解耦的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)的模塊化思想將控制系統(tǒng)分為若干個不同的子模塊，即坐標(biāo)變換模塊、電流環(huán)PI調(diào)節(jié)器、轉(zhuǎn)速環(huán)PI調(diào)節(jié)器、SVPWM模塊、永磁同步電機模塊。通過模擬這些模塊有序連接，可以在仿真軟件中搭建起同步永磁電機的矢量控制系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖，并對其進(jìn)行控制。整體仿真圖如圖4所示。

圖4 同步永磁電機矢量控制整體仿真圖Fig.4 Permanent magnet synchronous motor vector control overall simulation diagram

2.2 仿真系統(tǒng)子模塊功能

（1）電流PI控制模塊，如圖5所示。

圖5 電流PI控制模塊Fig.5 Current PI control module

（2）轉(zhuǎn)速PI控制模塊，如圖6所示。

圖6 轉(zhuǎn)速PI控制模塊Fig.6 Speed PI control module

（3）坐標(biāo)變換模塊

三相同步永磁電動機矢量控制基本思路是用控制直流電機的方式去控制交流電機，即通過對直流電機的控制特性進(jìn)行模擬來控制同步永磁電機[11-12]。為了簡化感應(yīng)電機模型，可以通過對平面矢量疊加原理的使用來合成和分解由電機三相繞組的電流產(chǎn)生的磁動勢，使得實際電機的三相繞組可以通過兩相正交繞組來等效。因為兩相繞組正交性的存在，大大減低了變量之間的耦合[13-14]。矢量控制中用到的變換有：將笛卡爾兩相靜態(tài)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為笛卡爾兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（Park變換），并將笛卡爾兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為笛卡爾兩相靜態(tài)坐標(biāo)系變換（Park逆變換），將三相平面坐標(biāo)系變換為笛卡爾兩相平面坐標(biāo)系（Clarke變換）。坐標(biāo)變換矩陣的Matlab實現(xiàn)如圖7～圖9所示。

圖7 Park變換Fig.7 Park transform

圖8 Park逆變換Fig.8 Park inverse transformation

圖9 clarke逆變換Fig.9 Clarke inverse transformation

（3）SVPWM 模塊

SVPWM主要是讓恒定幅值的圓形磁場存在于電機中，電機中通過對稱的三相正弦電壓時，圓形磁鏈在交流電機中產(chǎn)生并且基于該磁鏈[15]，有效矢量通過逆變器的功率裝置不同切換模式形成無限接近于基準(zhǔn)圓，并產(chǎn)生接近彼此相隔120°的正弦波的三個電流以驅(qū)動電機。如圖10所示。

圖10 SVPWM內(nèi)部模型結(jié)構(gòu)圖Fig.10 SVPWM internal model structure diagram

3 仿真結(jié)果分析

為了證實仿真模型是否具有有效性和正確性，進(jìn)行針對該模型相關(guān)的仿真實驗。

電機參數(shù)：R=2.875 Ω，磁鏈 Ψf=0.175 Wb，轉(zhuǎn)矩慣量 J=0.001 kg·m2，阻尼系數(shù) B=0.008 N·m·s，J=0.001，定子 d軸電感 Ld=8.5×10-3mH，定子 q軸 Lq＝8.5×10-3mH，極對數(shù) Pn=4，Phi=0.175。

Number of phase 設(shè)置為 3，Back EMF waveform設(shè)置為Sinusoidal，Rotor type設(shè)置為Salient pole。

給定初始條件：初始轉(zhuǎn)速n=1000 r/min，初始時刻負(fù)載轉(zhuǎn)矩T=0 N·m，當(dāng)t=0.2 s時，負(fù)載轉(zhuǎn)矩T=10 N·m，仿真時間為0.4 s。如圖11～圖13所示。

觀察仿真結(jié)果，我們可以得出，電機在通電后以極快的速度獲得最大轉(zhuǎn)矩（35 N·m），然后迅速恢復(fù)至穩(wěn)定數(shù)值（10 N·m）。轉(zhuǎn)速直線上升。然而，當(dāng)速度從0上升到1000 r/min，雖然剛開始電機的轉(zhuǎn)速有一些超調(diào)量，但仍然有較快動態(tài)響應(yīng)速度，并在t=0.2 s時突加負(fù)載，負(fù)載轉(zhuǎn)矩T=10 N·m。電機也能恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速。

圖11 定子繞組三相電流波形Fig.11 Three-phase current waveform of stator winding

圖12 電磁轉(zhuǎn)矩波形Fig.12 Electromagnetic torque waveform

圖13 電機轉(zhuǎn)速波形Fig.13 Motor speed waveform

4 結(jié)語

本文針對交流電機控制時主要研究了同步永磁電機在三個不同的坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，得到了在不同坐標(biāo)系下同步永磁電機的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式，從數(shù)學(xué)角度對坐標(biāo)變換過程進(jìn)行了推導(dǎo)。通過坐標(biāo)變換得到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下兩軸的電流id和iq，然后根據(jù)電流型解耦控制實現(xiàn)對永磁同步電機的解耦控制。使用Matlab/Simulink軟件搭建同步永磁電機的矢量控制系統(tǒng)模型，分析獲得的仿真結(jié)果便可得知經(jīng)過坐標(biāo)變換解耦后，系統(tǒng)能平穩(wěn)地運行。它具有很好的靜態(tài)特性和動態(tài)特性。它的控制效果也相對良好。仿真結(jié)果和同步永磁電機的運行特性相符合，同時為調(diào)試設(shè)計實際伺服系統(tǒng)提供了新的思路。該系統(tǒng)可實現(xiàn)高精度、寬范圍的速度和位置控制，不僅可用于快捷地驗證一些先進(jìn)的控制算法，且可以進(jìn)行簡單的模型修改、改進(jìn)控制策略，因此具有一定通用性。