魏小紅
【摘要】函數(shù)是高職高等數(shù)學教學中重要的組成部分,是學生所學高等數(shù)學的重點知識.函數(shù)連續(xù)性是高職高等數(shù)學教學中的一個基本概念.注重并不斷強化函數(shù)連續(xù)性教學對于提高高職高等數(shù)學的教學質量具有十分重要的作用.在實際教學中,教師要創(chuàng)新其教學方式,注重數(shù)學思想與函數(shù)知識的有效結合,從而提高學生的數(shù)學知識水平,培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng),促進學生綜合能力的全面提升.由于函數(shù)連續(xù)性是學生較難理解與掌握的知識點之一,所以數(shù)學教師需要了解函數(shù)連續(xù)性學習的難度,并實施有效的教學策略,從而使學生的理解與掌握質量與效率大幅度提升.我經過多年的教學實踐知道,采用反例教學法,分析函數(shù)圖像,可使學生有效理解函數(shù)連續(xù)性.
【關鍵詞】高職;高等數(shù)學;函數(shù);連續(xù)性;教學策略
高職高等數(shù)學中的函數(shù)連續(xù)性是學生必須要深度掌握的知識點,原因是此知識點關系著學生對一元函數(shù)微積分、導數(shù)、定積分等概念的理解程度.學生在學習函數(shù)連續(xù)性時,由于此知識點較為抽象,無法深刻理解此知識點,無法有效把握連續(xù)性的本質,從而使數(shù)學能力的成長受到了嚴重的阻滯.基于函數(shù)連續(xù)性的概念對高職學生數(shù)學學習的重要性,在講解函數(shù)連續(xù)性時,高職數(shù)學教師必須加強對學生的引導,努力讓學生更好地把握函數(shù)連續(xù)性的本質特征,并指導學生有效掌握函數(shù)連續(xù)性的學習方法.同時,數(shù)學教師還需要運用有效的教學策略解決學生學習過程中存在的困難,從而使函數(shù)連續(xù)性高質量、高效率地被學生掌握.
一、高職學生無法掌握函數(shù)連續(xù)性的因素分析
(一)學生缺乏抽象概括能力
學習高等數(shù)學的過程中,對于學生的抽象概括能力有較強的要求.抽象概括能力是學生學習與內化知識的思維過程.抽象概括就是能夠抽出事物的本質屬性并將其有效連接起來.函數(shù)連續(xù)性的概念是通過抽象概括而形成的,所以學生在具體的學習中只有經過抽象概括,才能從根本上把握函數(shù)連續(xù)性的本質和規(guī)律.由于高等數(shù)學具有較強的抽象思維,所以學生需要具備抽象的理解數(shù)學概念的能力.多數(shù)高職學生不會學習,并在高等數(shù)學函數(shù)連續(xù)性的學習中表現(xiàn)出缺乏抽象概括能力的特點.所以,數(shù)學教師要根據(jù)學生的這一特點,改變教學策略,培養(yǎng)學生的抽象概括能力.
(二)學生不適應極限思想與方法
由高等數(shù)學的知識構建可知,高等數(shù)學知識內容是建立在極限理論基礎之上的,且以極限作為研究函數(shù)的工具,所以,在研究函數(shù)時所運用的思維方式是從“靜態(tài)”轉變成“動態(tài)”.所謂極限思想是數(shù)學學習中一種重要的數(shù)學思想,其不僅能夠反映出數(shù)學知識的本質,同時還能夠有效實現(xiàn)形象思維向抽象思維的轉化.由于學生在學習時需要運用極限思想研究函數(shù)的動態(tài)特性,因此,在學習函數(shù)連續(xù)性數(shù)學知識的過程中,學生需要不斷適應并掌握相應的極限思想與方法,這樣不但可以提高其抽象思維能力,而且有助于其更好地掌握學習函數(shù)連續(xù)性的思想和方法.但是,實際教學中,縱觀高職學生認知水平可知,學生對極限思想與方法完全不適應,這樣不僅不利于函數(shù)連續(xù)性教學的有效提升與發(fā)展,而且會導致學生由于對極限思想這種重要的思想方法的缺失,對其今后的數(shù)學學習以及能力的培養(yǎng)都會產生負面的影響.
(三)簡化教材
函數(shù)連續(xù)性是對函數(shù)知識的進一步討論,同時連續(xù)性是初等函數(shù)的重要性質.高職《高等數(shù)學》教材是根據(jù)高職學生的特點進行編寫的.教材內容呈現(xiàn)“必需、夠用”的特點,理論難度與知識內容進行了簡化.例如:教材中的“函數(shù)連續(xù)性”內容,只給出了概念,而缺乏必要的例證.高職數(shù)學學習中簡化的教學內容使學生在閱讀概念時,很難把握函數(shù)連續(xù)性的基本概念,無法理解實質含義,導致其對函數(shù)連續(xù)性的理解不夠深.
(四)教學方式缺乏創(chuàng)新,學生的學習興趣不高
由于高等數(shù)學函數(shù)連續(xù)性教學本身具有很強的抽象性和復雜性,所以學生學習起來存在一定的難度.但是很多實際教學中,數(shù)學教師仍然是簡單地將課本知識傳授給學生,缺乏教學方式的創(chuàng)新與改革,同時在教學過程中沒有考慮高職學生的學習特點,沒有激發(fā)學生的學習興趣,也忽視了學生理解應用和綜合素質的培養(yǎng),從而從一定程度上阻礙了函數(shù)連續(xù)性教學水平的提升.
二、函數(shù)連續(xù)性的教學策略
(一)抓住本質特征
對于函數(shù)連續(xù)性的簡單理解,即如果一個函數(shù)的圖像可以一筆畫出來,整個過程不用抬筆,那么這個函數(shù)就是連續(xù)函數(shù).高等數(shù)學函數(shù)連續(xù)性教學中,數(shù)學教師需要通過有效事物或者生活中的實例將函數(shù)連續(xù)性的本質特征體現(xiàn)出來,然后再幫助學生在對本質特征有所把握的基礎上,通過生活中事物的現(xiàn)象讓學生直觀感知連續(xù)的概念,逐漸增強學生對函數(shù)連續(xù)性的認識程度.客觀世界中各種物質、現(xiàn)象的連續(xù)變化反映在數(shù)學上就是函數(shù)的連續(xù)性.教師可以應用生活中的實例,如溫度的變化、植物的生長、四季的變化、物體運動路程的變化、金屬絲加熱或冷卻時長度的變化等,讓學生了解連續(xù)性.教師還可以利用現(xiàn)實中的變化幫助學生對實際生活中的現(xiàn)象進行抽象理解,再反映在函數(shù)關系上,此過程只能培養(yǎng)學生初步抽象能力.所以,教師還需要進一步幫助學生加深對連續(xù)性的理解,比如植物生長到一定的高度后,大家一般認為植物的高度不會再變化,但實質上植物每天都在不停地變化著,變化過程從未間斷過.如果從函數(shù)關系角度分析,上述現(xiàn)象可以表明函數(shù)自變量在某一個區(qū)間連續(xù)變化時,變量也會產生連續(xù)變化.教師引入生活實例進行教學,可以讓學生有效掌握函數(shù)連續(xù)性的本質,使其理解能力大大提高.
(二)函數(shù)連續(xù)性的研究方法
函數(shù)連續(xù)性反映出了現(xiàn)實的客觀物質世界中存在的連續(xù)動態(tài)變化現(xiàn)象.教師在傳授函數(shù)連續(xù)性知識時,要引導學生掌握和理解函數(shù)連續(xù)性的研究方法,比如需要引導學生先掌握函數(shù)在一點處開始連續(xù).在教學中,教師可以引用生活中的實例,如彈簧在受到彈力的作用下會連續(xù)地進行收縮,如果運用外力往一邊扯,連續(xù)性的收縮就會被迫停止,從而使學生明白函數(shù)連續(xù)性.同時,教師還可以讓學生觀察函數(shù)圖像,使學生明白某一函數(shù)曲線上有一動點能夠沿著這一函數(shù)曲線順暢移動則說明該函數(shù)連續(xù).這樣的分析過程可以使學生能夠快速理解:曲線上的一個點可以決定函數(shù)某個區(qū)間上的連續(xù)性,從而有效培養(yǎng)學生掌握函數(shù)在一點上的連續(xù)性.
(三)函數(shù)連續(xù)性定義
數(shù)學概念的形成是通過對客觀現(xiàn)象的探索與分析,從而總結出的結論.數(shù)學教師在傳授函數(shù)連續(xù)性概念時,可以再現(xiàn)研究情景,讓學生了解概念形成的過程,讓學生了解概念形成的背景.如果教師依然采取以往“灌輸式”的教育方式,把概念講解完成后并要求學生記憶,這會使學生的抽象概括能力無法有效提升.教師在傳授函數(shù)連續(xù)性知識時,還可以運用多媒體技術把生活實際中的有關連續(xù)性的事例展現(xiàn)給學生.函數(shù)連續(xù)性的定義存在兩種形式:一是如果函數(shù)在某一領域存在定義,當自變量的增量無限趨近于零時,所對應的增量也無限趨近于零,函數(shù)在此點連續(xù);二是如果函數(shù)在某一領域存在定義,函數(shù)某點處的極限存在,且極限等于函數(shù)在該點處的函數(shù)值,則函數(shù)在這個點處存在連續(xù)性.函數(shù)的連續(xù)性是建立在極限概念基礎上的.函數(shù)連續(xù)性概念的學習能夠為以后微積分的學習做鋪墊,具有承上啟下的作用.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足三個條件,比如函數(shù)f(x)在點x=x0處連續(xù),應該滿足:(1)函數(shù)f(x)在x=x0處有定義;(2)函數(shù) f(x)在x=x.處的極限存在;(3) 函數(shù)f(x)在x=x0處的極限值等于這一點的函數(shù)值.學生只有充分了解函數(shù)在一點連續(xù)需要滿足的條件,才能得出函數(shù)在這一點連續(xù)的定義.每個版本的教材給出的兩個定義具有順序不同的特點,教師只需要讓學生理解函數(shù)在某點的連續(xù)性,且必須要滿足條件即可.
例如,以函數(shù)第二個定義為例,考查函數(shù)y=x2-1[]x-1在x=1點處的變化.
從圖像可知,此函數(shù)圖像是直線y=x+1去掉了點(1,2),從圖像可知,此函數(shù)在x=1處被阻滯,切斷了連續(xù)性,分析原因可知,是由于函數(shù)在此點無定義.從此過程可知,函數(shù)在無定義的情況下,連續(xù)會被中斷,不再產生連續(xù).舉例不僅可以體現(xiàn)出函數(shù)連續(xù)性的實質,還可以引導學生充分把握函數(shù)連續(xù)性的定義.
(四)把握函數(shù)連續(xù)性的整體概念
函數(shù)連續(xù)性的學習,不能只局限于將函數(shù)連續(xù)性的概念定義成某一點的連續(xù),同時還要了解并掌握函數(shù)在開區(qū)間或閉區(qū)間連續(xù)的定義以及其具體性質,這樣才能真正體現(xiàn)出函數(shù)連續(xù)性的概念.高職數(shù)學函數(shù)連續(xù)性的概念具有完整性,這就需要數(shù)學教師在實際教學中,要引導學生學習函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù),促使學生建立完整的函數(shù)連續(xù)性概念.教師要根據(jù)在一點連續(xù)的定義來定義在一個開區(qū)間內連續(xù)的定義.數(shù)學教師要通過有效的教學方式,引導學生能夠通過區(qū)間是由點組成的,進行概念的順應,得出函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念,從而有效把握函數(shù)連續(xù)性的整體概念.
例如,如果函數(shù)f(x)在某一開區(qū)間(a,b)上每一點處連續(xù),就說函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù),或f(x)是開區(qū)間(a,b)上的連續(xù)函數(shù).f(x)在開區(qū)間(a,b)上的每一點以及在a點處左限存在等于f(a)的情況,在b點處右極限存在等于f(b)的情況,這樣就可以通過函數(shù)在區(qū)間點之間的連續(xù),定義函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上也是連續(xù)的.函數(shù)的定義域若是連續(xù)的,數(shù)學教師要以函數(shù)在一點的連續(xù)性為基礎,引導學生把握函數(shù)連續(xù)性的整體概念.
三、提升函數(shù)連續(xù)性教學質量的策略分析
對于高等數(shù)學函數(shù)連續(xù)性的教學,教師除了必要的基礎概念教學,還需要針對具體的教學內容,不斷創(chuàng)新實際的教學方式,從而激發(fā)學生學習函數(shù)連續(xù)性的興趣,提高學生學習的自主性與積極性.數(shù)學教師要以學生的實際學習能力為基礎,不斷豐富教學內容,引入生活中常見的事物作為教學案例,強化學生的抽象概括能力,加深學生對于極限思想的應用水平,同時結合多媒體等信息技術手段,將函數(shù)連續(xù)性教學的抽象化變得具體化,優(yōu)化教學過程,這對于實現(xiàn)教學目標以及提升學生的數(shù)學素養(yǎng)都具有良好的推動作用.數(shù)學教師要針對函數(shù)連續(xù)性的具體應用,不斷改革數(shù)學教學模式,充實和調整教學內容,進而提高教學的實效性.
四、結束語
總而言之,高等數(shù)學中的函數(shù)連續(xù)性知識是高職學生掌握起來難度較大的知識點,且影響著其他知識的理解和學習.數(shù)學教師需要針對難點制訂教學策略,運用生活實例了解函數(shù)連續(xù)性并引入函數(shù)連續(xù)性知識,使學生的理解能力與掌握能力大幅度提升.在具體的函數(shù)連續(xù)性教學過程中,數(shù)學教師不僅要合理應用反例以及圖像進行相關函數(shù)連續(xù)性知識和概念的教學,還要針對學生的具體學習情況,改善并創(chuàng)新教學方式,通過有效的教學手段不斷提高學生的抽象概括能力,以及強化學生對于極限思想的把握與運用,進而不斷提高學生對于函數(shù)連續(xù)性概念了解的完整性,提高高職高等數(shù)學的教學有效性.
【參考文獻】
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