賈正榮,盧發(fā)興,王航宇

(海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院,湖北 武漢 430033)

協(xié)同突防任務(wù)要求多個作戰(zhàn)平臺同時或盡可能同時到達指定的位置,并減少航行過程中被攔截的概率[1]。航路規(guī)劃對于多平臺的協(xié)同突防至關(guān)重要,相比于一般的協(xié)同任務(wù),協(xié)同突防航路規(guī)劃除了考慮包括航路可行性、障礙規(guī)避、沖突規(guī)避、航程優(yōu)化之外,還需要考慮威脅規(guī)避,即盡可能減少被攔截的概率。另外,為形成飽和突防態(tài)勢,協(xié)同突防一般要求平臺同時到達目標位置,這一要求可以借鑒會和航路規(guī)劃的相關(guān)方法。如文獻[2]分析了多機器人在位置環(huán)境中協(xié)同探索的問題,研究給出了會和位置的選取方法,同時給出了到達會和位置的實時規(guī)劃方法;文獻[3]研究了欠驅(qū)動機器人的會和問題,給出了一種分布式的反饋控制策略,用于在離散空間內(nèi)實時控制多機器人到達會和地點?，F(xiàn)有研究大多關(guān)注在規(guī)避障礙的條件下給出可行的會和航路,較少涉及航路區(qū)域內(nèi)存在威脅的情況,而在存在威脅的區(qū)域內(nèi)執(zhí)行會和任務(wù)廣泛存在于實際應(yīng)用中,有必要針對這種情況進行研究。

航路的表示方法對于航路規(guī)劃至關(guān)重要。一般的航路表示方法主要有航路點航路[4-5]、DUBINS航路[6-7]、人工勢場(artificial potential field,APF)航路[8]、插值型航路(或樣條曲線航路)等。其中,插值型航路基于插值函數(shù)生成光滑的航路,可以準確預(yù)估航程,同時可以通過調(diào)整航路控制點的位置以規(guī)避障礙或威脅[9-10],而航路控制點可以基于各類進化算法進行求解[11-12]。可采用插值型航路進行求解協(xié)同突防航路規(guī)劃問題。

綜上,本文針對多平臺協(xié)同突防航路規(guī)劃問題進行研究,建立優(yōu)化目標函數(shù)與約束條件,考慮多平臺運動過程中所受威脅程度;同時給出多平臺協(xié)同突防航路規(guī)劃求解框架,通過控制點插值型航路構(gòu)建航路描述與生成模型,基于粒子群優(yōu)化方法(particle swarm optimization,PSO)進行航路參數(shù)求解。

1 問題描述

多個平臺需要到達指定的目標位置以完成某一任務(wù),平臺的運動受到轉(zhuǎn)彎半徑的約束,即航路的曲率有界。平臺在運動過程中可能被攔截,不同位置的被攔截概率不同。同時,空間中存在一定數(shù)量的障礙,平臺的航路不能經(jīng)過這些障礙。平臺的初始位置給定,初始航向自由。

需要優(yōu)化不同平臺的航路,使處于不同初始位置的平臺盡量同時到達目標位置,同時減少平臺的航程,并降低累積的被攔截可能性。

協(xié)同突防航路規(guī)劃如圖1所示,圖中平面內(nèi)的威脅值通過等高線給出。為了盡可能同時到達目標位置,距離目標較遠的平臺-2應(yīng)當選擇近似直線的航路,雖然這樣可能會增加被攔截的概率;而距離目標較近的平臺-1則選擇了較為彎曲的航路以增加航程;平臺-3與平臺-4則需要在規(guī)避障礙的同時選擇與平臺-1和平臺-2航程接近的航路。

圖1 協(xié)同突防航路規(guī)劃示意圖

可見,應(yīng)當考慮的優(yōu)化目標包括航路的長度(減少航程)、多平臺航路長度差(盡可能同時到達目標位置)、累積威脅程度(使航路過程被攔截概率盡可能低),而航路規(guī)劃需要考慮的因素包括轉(zhuǎn)彎半徑約束(使航路可行)、航路交叉約束(多平臺航路間不能交叉)、障礙規(guī)避約束(航路不能經(jīng)過給定的障礙)。事實上,在本文中航路的構(gòu)建與優(yōu)化求解與目標函數(shù)、約束條件是松耦合的,改變目標函數(shù)、約束條件,仍然可以使用航路的構(gòu)建與優(yōu)化求解方法得到航路規(guī)劃方案。

2 協(xié)同突防問題的目標函數(shù)與約束條件

為便于分析,設(shè)平臺數(shù)量為np,每個平臺的航路為Li。

2.1 目標函數(shù)

目標函數(shù)為加權(quán)綜合得到的單一指標,記為加權(quán)綜合目標函數(shù),該函數(shù)考慮了3個優(yōu)化因素,分別為平均航路長度、航路長度標準差、累積威脅程度。

①加權(quán)綜合目標函數(shù)。

設(shè)加權(quán)綜合目標函數(shù)為J,則有:

(1)

②平均航路長度。

平均航路長度E(Li)即所有航路長度的均值,有:

(2)

式中:l(Li)為航路i的長度,由于每個平臺對應(yīng)唯一的航路,因此也使用下標i表示。

③航路長度標準差。

通過航路長度標準差描述多平臺的航路長度差距,作為同時到達的指標,航路長度標準差σ(Li)是所有航路的標準差,有:

(3)

④累積威脅程度。

平臺被攔截的概率通過累積威脅程度表示。本文定義累積威脅程度為航路曲線在威脅空間上的積分,給定空間內(nèi)的威脅指標函數(shù),其函數(shù)值與位置相關(guān)。根據(jù)實際問題特點,可以建立不同的累積威脅程度函數(shù)。

對于給定的威脅指標函數(shù)H(x,y),航路i的累積威脅程度為H(x,y)在曲線Li上的積分為

(4)

式中:dr為曲線積分微元。

在離散形式下,可以表示為

式中:j為實際航路曲線坐標點序號,(xi,jyi,j)T為離散形式下平臺i的第j個航路點,n1為離散形式下航路點的數(shù)量。

2.2 約束條件

①合理航路的判斷。

合理的航路即滿足轉(zhuǎn)彎半徑約束,不與其他航路交叉,且不經(jīng)過任意障礙的航路。航路的合理性判斷需要依次進行轉(zhuǎn)彎半徑判斷、航路交叉判斷以及障礙沖突判斷。

②轉(zhuǎn)彎半徑判斷。

對于得到的實際航路Li,計算航路上每個位置(xi,jyi,j)T處的曲率半徑ρi,j,有:

(5)

式中,一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)可以通過數(shù)值方法得到。

設(shè)平臺的最小轉(zhuǎn)彎半徑為rmin,若有:ρi,j≥rmin,?j,則航路Li通過轉(zhuǎn)彎半徑判斷。

③航路交叉判斷。

(6)

從而兩線段的交點為以下線性方程的解:

(7)

若同時存在:

(8)

則交點同時位于兩線段上而非線段的延長線上,此時兩線段交叉,存在沖突。若對于任意2條航路的所有線段均不存在交叉,則不存在航路交叉。

④障礙沖突判斷。

障礙通過有序的多邊形頂點位置給出,因此航路與障礙的判斷實質(zhì)上也是插值航路點線段與障礙邊界線段的相交判斷,具體方法同③。

3 航路的構(gòu)建與優(yōu)化求解

實際的航路是連續(xù)的曲線,在描述與計算過程中存在一定的不便,因此通過控制點結(jié)合插值方法生成實際航路,而航路優(yōu)化過程則直接求解航路控制點。在這種求解框架下,航路的優(yōu)化與航路的構(gòu)建、求解是相互解耦的,根據(jù)實際需求,當改變問題的目標函數(shù)、約束條件后,仍然可以通過這種航路構(gòu)建、求解方法進行優(yōu)化。

3.1 基于保形插值的航路生成

插值方法對于插值型航路的特征有主要的影響。本文采用分段保形二次插值方法(shape-preserving piecewise cubic interpolation method,SPCI),采用這種方法的優(yōu)勢在于能夠得到一階連續(xù),且在控制點附近不會改變凹凸性的曲線,這種曲線更符合實際所希望的航路。如圖2所示,相比于一般的非分段樣條插值方法,SPCI方法得到的曲線不會在控制點之間震蕩,更加符合實際情況。

圖2 分段保形二次插值方法與一般樣條插值方法的區(qū)別

由于采用PSO方法進行優(yōu)化,參數(shù)粒子需要參考全局最優(yōu)解,為了避免在優(yōu)化求解過程中數(shù)值差異過大的情況,對航路控制點進行標準化。標準化過程即將實際坐標系下航路變換至標準化坐標系下,在標準化坐標系下平臺初始位置為(0 0)T,目標位置為(1 0)T,如圖3～圖4所示。xψ和yψ為歸一化后的坐標。

圖3 標準化坐標系下的航路控制點

圖4 實際空間中的航路控制點

對于任意一架平臺,航路是連接初始位置與目標位置的曲線,設(shè)第i個平臺的航路初始位置為Xps,i,目標位置為Xt。建立Xps,i的標準化坐標系,以Xps,i為原點,Xt-Xps,i向量為x軸。

設(shè)向量Xt-Xps,i的極坐標幅角為βi,標準化坐標系下第i個平臺的控制點為Ψi,有:

(9)

式中:k為航路控制點序號,航路控制點數(shù)量為nc,此處的航路控制點是用于生成航路的參數(shù)(并非航路點),結(jié)合SPCI方法,可以得到最終的航路點。考慮到SPCI方法需要至少4個控制點,而平臺初始位置與目標位置,即標準化坐標系下的(0 0)T與(1 0)T,已經(jīng)提供了2個點,因此航路控制點數(shù)量nc≥2。

設(shè)實際坐標系下的控制點向量為Ti,則標準化坐標系下的控制點Ψi到實際坐標系下控制點Ti的變換為

(10)

基于控制點位置,通過SPCI生成實際的航路。SPCI方法在文獻[13]中已經(jīng)有詳細的描述,文中不再贅述,并記SPCI算子為λ,對于實際坐標系下的控制點Ti,可以得到實際航路曲線Li為

Li=λ(Ti)

(11)

3.2 基于PSO的航路控制點優(yōu)化

多平臺的航路通過控制點基于插值方法生成,因此協(xié)同航路優(yōu)化等同于優(yōu)化調(diào)整控制點,對于這種難以得到梯度信息且優(yōu)化參數(shù)為連續(xù)形式的復(fù)雜優(yōu)化問題,可以通過PSO方法進行求解。PSO方法的優(yōu)化過程為

(12)

式中:ξ為優(yōu)化參數(shù);V為優(yōu)化參數(shù)的等效速度或等效梯度;p為序號;ω∈[0,1]為慣性系數(shù),c1∈[0,1]與c2∈[0,1]為優(yōu)化控制系數(shù);r1與r2為在[0,1]內(nèi)按照均勻分布隨機生成的系數(shù),為優(yōu)化過程增加隨機因素;ξl為局部最優(yōu)解,即單個粒子更新過程中的最優(yōu)解;ξg為全局最優(yōu)解,即所有粒子的歷史最優(yōu)解。優(yōu)化參數(shù)為所有航路控制點參數(shù)構(gòu)成的向量,即ξ=(T1T2…Tnp)。

具體的優(yōu)化流程包含2個部分,分別為粒子群初始化與粒子群優(yōu)化。其中,粒子群初始化即生成給定數(shù)量且滿足約束條件的粒子群,如圖所示;粒子群優(yōu)化即不斷更新粒子群直至收斂并輸出全局最優(yōu)解,如圖5～圖6所示。

圖5 粒子群初始化流程

圖6 粒子群優(yōu)化流程

在優(yōu)化過程中,可能存在粒子更新后對應(yīng)的航路不符合約束條件的情況,然而,由于粒子群初始化時已經(jīng)生成了滿足約束條件的初始解,每個粒子的歷史局部最優(yōu)解總是存在的,因此可以保證存在可行解。

4 仿真分析

為驗證方法正確性并分析優(yōu)化參數(shù)對于方法求解的影響,進行仿真分析。首先進行方法可行性分析;然后針對不同的場景,調(diào)整優(yōu)化參數(shù),分析優(yōu)化參數(shù)取值不同時結(jié)果的差異。

分別在3個場景下進行協(xié)同航路規(guī)劃,場景設(shè)置參數(shù)如表1所示。表中,nob為障礙數(shù)量,ntr為威脅區(qū)域數(shù)量。

表1 場景設(shè)置

在不同場景下進行協(xié)同突防航路規(guī)劃,權(quán)值系數(shù)取0.3(平均航路長度)、0.3(航路長度標準差)、0.4(累積威脅程度),控制點數(shù)量nc取8個。得到的結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7 場景1航路規(guī)劃結(jié)果

圖8 場景2航路規(guī)劃結(jié)果

圖9 場景3航路規(guī)劃結(jié)果

不同場景下的3個優(yōu)化指標以及加權(quán)綜合目標函數(shù)值如表2所示。

表2 指標數(shù)值

圖7～圖9與表2的結(jié)果驗證了方法的有效性,方法能夠求解得到不相互沖突且規(guī)避障礙的可行航路;圖中航路均能夠一定程度地規(guī)避威脅區(qū)域;在同時到達方面,當航路標準差的權(quán)值為0.3時,航路長度標準差在1 km以下。特別地,由于場景3中沒有障礙,因而得到航路規(guī)劃結(jié)果的航路標準差為0.001 km。

5 結(jié)束語

本文提出了一種用于多平臺協(xié)同突防航路規(guī)劃的方法框架,方法特點主要包括:①給出了多平臺協(xié)同突防航路規(guī)劃的框架,框架中的目標函數(shù)、約束條件均可以根據(jù)實際需求更改而不影響求解流程;②除了考慮減少航程以及盡可能同時到達外,還考慮了航路上的累積威脅程度;③航路符合轉(zhuǎn)彎半徑約束,且一階連續(xù);④生成的航路不相互交叉,不與給定的障礙沖突。