張 騰，任俊生，張秀鳳，梅天龍

(1. 大連海事大學航海學院，大連 116026；2. 上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

船舶航行在大洋中時時刻刻遭受波浪的作用，船舶在波浪中的大幅度搖蕩運動也會對船體結(jié)構(gòu)造成破壞，從而大大降低船舶的適航性，更為嚴重的會導致海難的發(fā)生．因此，準確計算船體所受的波浪作用力對船舶操作、設(shè)計及運營顯得尤為重要．

自20 世紀50 年代以來，船舶在波浪中所受的Froude-Krylov 力及運動的研究取得了一定的進展，主要體現(xiàn)在從無限水深到有限水深及從數(shù)值計算到解析計算方法的轉(zhuǎn)變．在無限水深范疇內(nèi)，Korvin-Kroukovsky 等[1]基于二維理論，采用切片法將船體離散成若干等截面的切片，數(shù)值計算出船舶各個橫剖面由于入射波作用引起的F-K 力，沿船長方向積分可得到總的F-K 力，但其并未考慮到由入射波引起的繞射力．Salvesen 等[2]進一步提出了STF 法，該理論有效地考慮由入射波引起的繞射力對船體的作用，其運動預報精度有了較大提高．基于三維范疇內(nèi)，Beck等[3]及孫葳等[4]將船體平均濕表面離散成一系列四邊形平面面元，F(xiàn)-K 力可由高斯積分定理在平面面元上進行直接積分得到．鄒元杰等[5]基于“高頻低速”假定對零航速格林函數(shù)進行航速修正，并分析了波浪中行駛船舶在不同波長處所受的水動力及F-K 力對船舶運動的影響．

以上文獻中F-K 力計算都是基于無限水深及數(shù)值積分進行的，實際上，水深對船舶運動具有很大的影響，比如船舶破損事故經(jīng)常在有限水深海域發(fā)生，因此F-K 力的計算需要考慮水深的影響是必不可少的．在有限水深下，基于二維理論，賀五洲等[6]采用切片法預報船舶所受到的F-K 力、輻射力及繞射力．基于三維頻域理論，馮乾棟等[7]基于有限水深三維頻域格林函數(shù)，對有限水深中的破損船舶波浪載荷進行數(shù)值計算．在三維時域內(nèi)，劉昌鳳[8]采用數(shù)值積分方法計算船舶在有限水深及無限水深下所受到的F-K 力，并基于三維時域Green 函數(shù)[9]，成功地預報了船舶在規(guī)則波中的運動．上述不管有限水深還是無限水深中F-K 力的計算，都是基于數(shù)值積分方法，對于具有強烈波動性的F-K 力的計算，即使將船體劃分大量的面元，仍然存在數(shù)值積分誤差．Rodrigues等[10]采用解析壓力積分表達式對無限水深以正弦表達式形式的規(guī)則入射波產(chǎn)生的F-K 力進行精確計算，其船體表面網(wǎng)格劃分與計算水動力相同的粗網(wǎng)格相同，精度卻毫無損失，避免了數(shù)值積分計算F-K 力產(chǎn)生的數(shù)值誤差．但是該研究進行F-K 力解析積分計算時僅僅考慮無限水深這種特殊的情形，并沒有將水深因素考慮進去，在近海處，由有限水深帶來的淺水效應對F-K 力的計算有較大的影響．

為避免數(shù)值積分方法計算F-K 力帶來的誤差及減少船體表面面元劃分數(shù)量，并將流域水深因素考慮進去，基于格林定理，本文詳細推導了任意水深下FK 力在四邊形平面面元上的解析積分表達式．研究了流域水深在不同入射波浪向角及波長下對作用在WigleyⅠ型船[11]船體上的F-K 力的影響，并進一步基于三維時域Green 函數(shù)建立了船舶任意水深下的波浪激勵力計算模型．最后，對迎浪航行在規(guī)則波中WigleyⅠ船舶受到的波浪激勵力進行預報．

1 數(shù)學模型的建立

如圖1 所示，參考坐標系Oxyz 固定在以速度U前進的船體上，原點O 為船舶中點，Oxy 與靜水面重合，Ox軸正方向指向船首，Oy 軸正方向指向船舶左舷，Oz軸正方向垂直向上．面元局部坐標系O′x′yz′ ′的原點O′為面元幾何中心，O′xy′ ′與四邊形面元平面重合，O z′ ′軸正向垂直于四邊形平面面元，且指向船體內(nèi)部．面元局部坐標坐標與參考坐標系Oxyz 坐標 r ( x , y ,z)的轉(zhuǎn)換式為

圖1 參考坐標系與面元坐標系Fig.1 Reference coordinate system and panel coordinate system

1.1 F-K力的解析積分表達式推導

假定流體不可壓縮、無黏性，且流動是無旋的，不考慮流體表面張力效應．水深為d的入射波速度勢及入射波波高在參考坐標系下的表達式分別為

式中：0η為入射波波幅；g為重力加速度；ω為入射波原頻率；k =ω2g 為波數(shù)；β為浪向角，其傳播方向與Ox軸正方向的夾角，迎浪為為遭遇頻率．

式中ρ為流體密度．

將船體濕表面處理為N塊四邊形平面面元，則第i塊面元上的入射波壓力積分為

式中Si為第i 塊面元面積．

經(jīng)過推導，則IF可寫為

式中 fI1及 fI2可分別寫為

第i塊四邊形面元上第j條邊在面元坐標系內(nèi)可以參數(shù)化得

則第i塊面元第j條邊上的C、D 及D′ 關(guān)于參數(shù)α的表達式分別為

fI1可進一步寫作

式中 ΔC Eij和 ΔS Eij可表示為

式中SEij及CEij可表示為

同理，可以采用相同方法求取fI2．最終將fI1及代入式(6)，解得入射波壓力積分IF．

同理，可以采用解析積分表達式求解F-K 力及力矩．值得注意，當水深 d→∞時，此時IF可以表示為

注意：式(22)為IF為無限水深時F-K 力的解析積分表達式，相對于有限水深F-K 力的解析表達式(6)，式(22)中不包含水深d 的影響．

1.2 繞射問題求解

在Oxyz 參考坐標下的入射波遇到船體反射產(chǎn)生繞射勢DΦ，其滿足如下條件：

式中：Ω為流域；SF為自由液面；SH為船體平均濕表面；SB為水底面積；n 為單位法向量，指向流域外部．令分別代表船舶縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖及首搖.

時域格林函數(shù)用于求解滿足繞射勢DΦ邊界方程

G0與的數(shù)值求解可由文獻[9，12-13]所得，其繞射勢ΦD滿足的邊界積分方程[8]為

式中：Γ為船體與自由液面的交線；為垂直水線指向船體內(nèi)部的單位法向量．

采用常數(shù)面元法求解式(29)，最終求解出繞射勢

DΦ，則由繞射勢產(chǎn)生的壓力 pD為

則i運動模態(tài)上的繞射力FDi為

i模態(tài)上的頻域波浪激勵力 Fwi可由 FDi與 FIi合力經(jīng)過傅里葉變換得到[8]．

完成建模工作后，有必要對Rodrigues 方法[10]與本文方法做一個比較，如表1 所示．

如表1 所示，本文方法相對于Rodrigues 方法，適用范圍更為廣泛，主要體現(xiàn)在：①本文采用解析積分方法計算任意水深下的F-K 力，而Rodrigues 采用解析積分方法只計算無限水深下的F-K 力；②本文采用直接時域方法計算流體擾動力，可以有效避免采用間接時域方法在高頻處的數(shù)值誤差；③本文入射波波高以余弦形式表示，而Rodrigues 方法以正弦形式表示，最終兩者F-K 力解析積分表達式不僅體現(xiàn)在有無水深項的不同，還體現(xiàn)在式(17)及式(21)括號項中表達式的不同．

2 數(shù)值模擬與結(jié)果分析

2.1 面元上F-K力的解析積分計算驗證與分析

首先選取1 塊1 m×1 m 的正方形面元進行研究，其4 個頂點坐標在參考坐標系中依次為(-0.5，0，-1)、(0.5，0，-1)、(0.5，0，1)和(-0.5，0，0)．該面元前進速度為U ＝1 m/s，入射波波長λ=5 m，波幅0η＝0.1 m，水深d ＝6 m．在t＝3 s 時刻，對浪向角β為及在該面元上F-K 力由壓力積分解析表達式分別求得為446.637 N、-88.462 N(保留到0.001 N)．對面元上FK 力采用高斯數(shù)值積分進行計算，并進一步對面元進行如圖2 的剖分，直到與解析解求得的結(jié)果相同為止．

圖2 面元剖分示意Fig.2 Panel subdivision schematic

由表2 可知，當劃分次數(shù)為3 時，數(shù)值積分解與解析積分解具有相同的精度，此時面元被劃分為64個子面元，數(shù)值積分所需要的面元數(shù)目遠遠大于解析積分．對于形狀比較規(guī)則的箱形體船，比如駁船[10]，需要6 塊面元即可求出準確的F-K 力值，極大地提高了計算效率．

表2 t＝3 s面元上F-K壓力積分值Tab.2 Values of F-K pressure integration on the panels at t＝3 s N

2.2 船體F-K力的計算與分析

本文采用WigleyⅠ型船驗證數(shù)學模型的可靠性與準確性，其主要參數(shù)如表3 所示．并將船體平均吃水一下的船體劃分為80×4 個面元，如圖3 所示．

表3 WigleyⅠ型船主尺度Tab.3 Main particulars of Wigley Ⅰ hull

圖3 Wigley Ⅰ型船體面元劃分Fig.3 Panel distribution for Wigley Ⅰ hull

由圖4 和圖5 可得，“數(shù)值積分”與“解析積分”的F-K 力時間歷程完全重合，從而驗證了本文開發(fā)的F-K 力解析積分算法的可靠性．

圖4 無量綱垂蕩F-K力時間歷程(=0.5，d =0.5λ，F(xiàn)r=0.2)Fig.4 Time history of non-dimensional heave F-K forces(=0.5，d =0.5λ，F(xiàn)r=0.2)

圖5 無量綱縱搖F-K力時間歷程(=0.5，d =0.5λ，F(xiàn)r=0.2)Fig.5 Time history of non-dimensional pitch F-K forces(=0.5，d =0.5λ，F(xiàn)r=0.2)

WigleyⅠ型船前后左右?guī)缀螌ΨQ，如圖 6 所示．本文選取第1象限中及3 個浪向角進行研究.在船舶航速下，對于不同入射波波長船長比λL 處，本文對影響F-K 力的流域水深d做進一步分析與探討．其中，無量綱水深為

由圖7～圖12 可得，在不同入射波波長及浪向角下，當無量綱水深較小時，水深對F-K 力影響較為顯著，不可忽略．當無量綱水深時，船體所受的 F-K 力逐漸趨于無窮水深所受到的F-K 力.

圖9 無量綱垂蕩F-K力幅值(β =)Fig.9 Amplitude of non-dimensional heave F-K forces(β =)

圖11 無量綱垂蕩F-K力幅值(β =)Fig.11 Amplitude of non-dimensional heave F-K forces(β =)

2.3 繞射問題分析與驗證

圖6 浪向角示意Fig.6 Diagram of incident wave directions

圖8 無量綱縱搖F-K力幅值(β =π)Fig.8 Amplitude of non-dimensional pitch F-K forces(β =π)

圖10 無量綱縱搖F-K力幅值()Fig.10 Amplitude of non-dimensional pitch F-K forces()

圖12 無量綱縱搖F-K力幅值(β =)Fig.12 Amplitude of non-dimensional pitch F-K forces(β =)

為與Journée[11]試驗結(jié)果做比對，本文只對無限水深(即水深d 趨于無窮的情況)的WigleyⅠ型船進行垂蕩、縱搖2 個自由度的波浪激勵力數(shù)值模擬，船舶前進速度分別為Fr=0.2與Fr=0.3，基于本文計算模型所得結(jié)果表示為“本文方法”，基于Journée 試驗所得結(jié)果為“試驗結(jié)果”．

垂蕩波浪激勵力為Fw3，F(xiàn)w3無量綱形式為縱搖波浪激勵力為其無量綱形式為無量綱波數(shù)為

由圖13～圖16 可知，在大部分頻率范圍內(nèi)，WigleyⅠ型船所受的垂蕩波浪激勵力與縱搖波浪激勵力的頻率響應函數(shù)均與試驗值吻合良好，其中垂蕩波浪激勵力的預報效果優(yōu)于縱搖波浪激勵力．結(jié)果驗證了本文提出算法的可靠性與有效性．

圖13 無因次垂蕩波浪激勵力幅值(Fr=0.2)Fig.13 Non-dimensional heave amplitude of wave exciting force(Fr=0.2)

圖14 無因次縱搖波浪激勵力幅值(Fr=0.2)Fig.14 Non-dimensional pitch amplitude of wave exciting force(Fr=0.2)

圖15 無因次垂蕩波浪激勵力幅值(Fr=0.3)Fig.15 Non-dimensional heave amplitude of wave exciting force(Fr=0.3)

此外，由于本文采用自由面時域格林函數(shù)計算波浪激勵力，該方法基于Neumann-Kelvin 線性化自由面條件，其不能準確考慮航速效應的影響，在個別頻率處計算結(jié)果與試驗結(jié)果偏差較大．為了進一步提高波浪激勵力的數(shù)值預報精度，可以采用簡單Rankine 法，該方法不僅能準確地考慮航速效應，也能計入移動興波對船體所受波浪激勵力的影響，從而進一步提高船體受力及運動預報的數(shù)值精度．

圖16 無因次縱搖波浪激勵力幅值(Fr=0.3)Fig.16 Non-dimensional pitch amplitude of wave exciting force(Fr=0.3)

3 結(jié) 論

(1)本文系統(tǒng)地推導了任意水深下船體所受F-K力的解析積分方法，可以避免由于數(shù)值積分所產(chǎn)生的誤差，并大大減少船舶所需剖分的面元數(shù)量．對于形狀規(guī)則的船體，比如駁船或者海洋鉆井平臺，只需要劃分數(shù)量級面元即可滿足計算要求．

(2)在一定入射波長及浪向角下，當流域水深較小時，水深因素對WigleyⅠ型船船體所受的F-K 力有較為顯著的影響，不可忽視．隨著水深的增加，特別當水深船長比大于0.5 時，有限水深中WigleyⅠ型船船體所受到的F-K 力越來越趨近于無限水深中船體所受到F-K 力．

(3)通過對無限水深中的以不同航速迎浪前進的WigleyⅠ型船進行計算仿真，其波浪激勵力與試驗值吻合良好，進一步證明了本文任意水深下船體所受F-K 力解析積分計算模型的精確性與可靠性．