■江蘇省高郵市第一中學(xué) 耿廣祥

2019 年高考對概率統(tǒng)計(jì)的考查主要圍繞“頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概型、隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算、二項(xiàng)分布”等核心考點(diǎn)展開，重在考查同學(xué)們應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力。

聚焦1——統(tǒng)計(jì)圖表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

例1(2019年全國Ⅰ卷文17)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到表1所示的列聯(lián)表：

表1

(1)分別估計(jì)男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異?

附：K2=

表2

解析：(1)由題中表格可知，50名男顧客對商場服務(wù)滿意的有40人，所以男顧客對商場服務(wù)滿意的概率為50 名 女顧客對商場滿意的有30人，所以女顧客對商場服務(wù)滿意的概率為

(2)由題中的列聯(lián)表可知 K2=因?yàn)?.762＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異。

點(diǎn)評：將統(tǒng)計(jì)表格給出的數(shù)據(jù)代入卡方公式，計(jì)算出的數(shù)據(jù)與臨界值比較可得相關(guān)性判斷的程度結(jié)論，這一直是高考命制統(tǒng)計(jì)試題的處所，應(yīng)引起考生的高度重視。

聚焦2——事件關(guān)系及應(yīng)用

例2(2019 年全國Ⅰ卷理15)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)。根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”。設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____。

解析：甲隊(duì)以4∶1 獲勝，即前五場甲隊(duì)獲勝為互斥的兩類事件，先分類后應(yīng)用獨(dú)立事件分步算概率，前四場中有一場客場輸，第五場贏時(shí)，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108；前四場中有一場主場輸，第五場贏時(shí)，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072。

綜上所述，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率P=0.108+0.072=0.18。

點(diǎn)評：互斥事件A，B 滿足概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)，而獨(dú)立事件A，B 滿足概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)。一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)事件，往往可以拆分成若干個(gè)互斥事件的和，而每個(gè)互斥事件又可以拆分為若干個(gè)相互獨(dú)立事件的積。由于本題題干較長，因此，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊(duì)以4∶1獲勝的兩種情況；易錯(cuò)點(diǎn)之三是能否準(zhǔn)確計(jì)算。

聚焦3——統(tǒng)計(jì)圖表與古典概型的網(wǎng)絡(luò)交匯

例3(2019年北京卷文17)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。近年來，移動支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B 兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1 000 名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B 兩種支付方式都不使用的有5 人，樣本中僅使用A 和僅使用B 的學(xué)生的支付金額分布情況如表3：

表3

(1)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B 兩種支付方式都使用的人數(shù)。

(2)從樣本僅使用B 的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2 000元的概率。

(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化?，F(xiàn)從樣本僅使用B 的學(xué)生中隨機(jī)抽查1 人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元。結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B 的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化? 說明理由。

解析：(1)利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)，由表3可知僅使用A 的人數(shù)有30人，僅使用B 的人數(shù)有25人，由題意知A，B兩種支付方式都不使用的有5 人，所以樣本中兩種支付方式都使用的有100-30-25-5=40(人)，所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有

(2)利用古典概型計(jì)算公式求概率，因?yàn)闃颖局袃H使用B 的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2 000 元，所以該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2 000元的概率為

(3)結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)定義給出結(jié)論，由(2)知支付金額大于2 000元的概率為因?yàn)閺膬H使用B 的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000 元，依據(jù)小概率事件它在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認(rèn)為僅使用B 的學(xué)生中本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)有變化，且比上個(gè)月多。

點(diǎn)評：正確找出隨機(jī)事件A 包含的基本事件的個(gè)數(shù)n(A)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)n(Ω)，代入公式求解古典概型。其中明確所求事件本身含義，利用枚舉法、樹狀圖法和列表法計(jì)數(shù)，或構(gòu)建基本事件空間計(jì)數(shù)，利用對立事件簡化計(jì)數(shù)是求解的關(guān)鍵。借助小概率事件進(jìn)行決策凸顯概率的應(yīng)用性。

聚焦4——離散型隨機(jī)變量的概率分布列和期望

例4 (2019年全國Ⅱ卷理18)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1 分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束。甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立。在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X 個(gè)球該局比賽結(jié)束。

(1)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率。

解析：由隨機(jī)變量X=2，X=4 的意義構(gòu)建互斥事件分類和獨(dú)立事件分步算概率。

(1)由題意可知，P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，所以P(X=2)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5。

(2)由題意可知，P(X=4)所包含的事件為“前兩球甲乙各得1 分，后兩球均為甲得分”，所以P(X=4)=0.5×0.6×0.5×0.4+0.5×0.4×0.5×0.4=0.1。

點(diǎn)評：離散型隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)是互斥事件分類的簡單表示，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生分步算概率，本題能否通過題意得出P(X=2)及P(X=4)所包含的事件(先分類，每類下再分步)是解題的關(guān)鍵，考查考生從題目中獲取所需信息和推理計(jì)算的能力。

聚焦5——構(gòu)建二項(xiàng)分布模型

例5(2019 年天津卷理16)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立。

(1)用X 表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)M 為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30 之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率。

解析：構(gòu)建二項(xiàng)分布的模型算期望，借助互斥事件分類，獨(dú)立事件分步，局部構(gòu)建二項(xiàng)分布模型算概率。

(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為，從而P(X=k)=

所以隨機(jī)變量X 的分布列為表4：

表4

(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則{X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0}。

由題意知事件{X=3，Y=1}與{X=2，Y=0}互斥，且事件{X=3}與{Y=1}，事件{X=2}與{Y=0}均相互獨(dú)立，從而由(1)知P(M)=P({X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0})=P(X=3，Y=1)+P(X=2，Y=0)=P(X=3)·P(Y=1)+P(X=2)·P(Y=0)=

點(diǎn)評：有關(guān)隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，其中互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算是基礎(chǔ)，有時(shí)需合理構(gòu)建獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布模型可簡化概率計(jì)算，有時(shí)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合可求得其最值點(diǎn)。