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        2019 年高考概率統(tǒng)計考點聚焦

        2020-01-06 09:05:08江蘇省高郵市第一中學(xué)耿廣祥
        關(guān)鍵詞:甲隊二項分布商場

        ■江蘇省高郵市第一中學(xué) 耿廣祥

        2019 年高考對概率統(tǒng)計的考查主要圍繞“頻率分布直方圖、獨立性檢驗、古典概型、隨機變量的分布列和期望的計算、二項分布”等核心考點展開,重在考查同學(xué)們應(yīng)用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。

        聚焦1——統(tǒng)計圖表與獨立性檢驗

        例1(2019年全國Ⅰ卷文17)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價,得到表1所示的列聯(lián)表:

        表1

        (1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率;

        (2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異?

        附:K2=

        表2

        解析:(1)由題中表格可知,50名男顧客對商場服務(wù)滿意的有40人,所以男顧客對商場服務(wù)滿意的概率為50 名 女顧客對商場滿意的有30人,所以女顧客對商場服務(wù)滿意的概率為

        (2)由題中的列聯(lián)表可知 K2=因為4.762>3.841,所以有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異。

        點評:將統(tǒng)計表格給出的數(shù)據(jù)代入卡方公式,計算出的數(shù)據(jù)與臨界值比較可得相關(guān)性判斷的程度結(jié)論,這一直是高考命制統(tǒng)計試題的處所,應(yīng)引起考生的高度重視。

        聚焦2——事件關(guān)系及應(yīng)用

        例2(2019 年全國Ⅰ卷理15)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束)。根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”。設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是____。

        解析:甲隊以4∶1 獲勝,即前五場甲隊獲勝為互斥的兩類事件,先分類后應(yīng)用獨立事件分步算概率,前四場中有一場客場輸,第五場贏時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前四場中有一場主場輸,第五場贏時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072。

        綜上所述,甲隊以4∶1獲勝的概率P=0.108+0.072=0.18。

        點評:互斥事件A,B 滿足概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B),而獨立事件A,B 滿足概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)。一個復(fù)雜的隨機事件,往往可以拆分成若干個互斥事件的和,而每個互斥事件又可以拆分為若干個相互獨立事件的積。由于本題題干較長,因此,易錯點之一就是能否靜心讀題,正確理解題意;易錯點之二是思維的全面性是否具備,要考慮甲隊以4∶1獲勝的兩種情況;易錯點之三是能否準確計算。

        聚焦3——統(tǒng)計圖表與古典概型的網(wǎng)絡(luò)交匯

        例3(2019年北京卷文17)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。近年來,移動支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學(xué)生上個月A,B 兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1 000 名學(xué)生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B 兩種支付方式都不使用的有5 人,樣本中僅使用A 和僅使用B 的學(xué)生的支付金額分布情況如表3:

        表3

        (1)估計該校學(xué)生中上個月A,B 兩種支付方式都使用的人數(shù)。

        (2)從樣本僅使用B 的學(xué)生中隨機抽取1人,求該學(xué)生上個月支付金額大于2 000元的概率。

        (3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化。現(xiàn)從樣本僅使用B 的學(xué)生中隨機抽查1 人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元。結(jié)合(2)的結(jié)果,能否認為樣本僅使用B 的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化? 說明理由。

        解析:(1)利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù),由表3可知僅使用A 的人數(shù)有30人,僅使用B 的人數(shù)有25人,由題意知A,B兩種支付方式都不使用的有5 人,所以樣本中兩種支付方式都使用的有100-30-25-5=40(人),所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有

        (2)利用古典概型計算公式求概率,因為樣本中僅使用B 的學(xué)生共有25人,只有1人支付金額大于2 000 元,所以該學(xué)生上個月支付金額大于2 000元的概率為

        (3)結(jié)合概率統(tǒng)計相關(guān)定義給出結(jié)論,由(2)知支付金額大于2 000元的概率為因為從僅使用B 的學(xué)生中隨機調(diào)查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000 元,依據(jù)小概率事件它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的,所以可以認為僅使用B 的學(xué)生中本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)有變化,且比上個月多。

        點評:正確找出隨機事件A 包含的基本事件的個數(shù)n(A)和試驗中基本事件的總數(shù)n(Ω),代入公式求解古典概型。其中明確所求事件本身含義,利用枚舉法、樹狀圖法和列表法計數(shù),或構(gòu)建基本事件空間計數(shù),利用對立事件簡化計數(shù)是求解的關(guān)鍵。借助小概率事件進行決策凸顯概率的應(yīng)用性。

        聚焦4——離散型隨機變量的概率分布列和期望

        例4 (2019年全國Ⅱ卷理18)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1 分,當某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束。甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立。在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X 個球該局比賽結(jié)束。

        (1)求P(X=2);

        (2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率。

        解析:由隨機變量X=2,X=4 的意義構(gòu)建互斥事件分類和獨立事件分步算概率。

        (1)由題意可知,P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”,所以P(X=2)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5。

        (2)由題意可知,P(X=4)所包含的事件為“前兩球甲乙各得1 分,后兩球均為甲得分”,所以P(X=4)=0.5×0.6×0.5×0.4+0.5×0.4×0.5×0.4=0.1。

        點評:離散型隨機變量的取值實質(zhì)是互斥事件分類的簡單表示,相互獨立事件同時發(fā)生分步算概率,本題能否通過題意得出P(X=2)及P(X=4)所包含的事件(先分類,每類下再分步)是解題的關(guān)鍵,考查考生從題目中獲取所需信息和推理計算的能力。

        聚焦5——構(gòu)建二項分布模型

        例5(2019 年天津卷理16)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立。

        (1)用X 表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X 的分布列和數(shù)學(xué)期望;

        (2)設(shè)M 為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30 之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率。

        解析:構(gòu)建二項分布的模型算期望,借助互斥事件分類,獨立事件分步,局部構(gòu)建二項分布模型算概率。

        (1)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為,從而P(X=k)=

        所以隨機變量X 的分布列為表4:

        表4

        (2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則{X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}。

        由題意知事件{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}與{Y=1},事件{X=2}與{Y=0}均相互獨立,從而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)·P(Y=1)+P(X=2)·P(Y=0)=

        點評:有關(guān)隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題,其中互斥事件和相互獨立事件的概率計算是基礎(chǔ),有時需合理構(gòu)建獨立重復(fù)試驗,利用二項分布模型可簡化概率計算,有時與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合可求得其最值點。

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