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        簡(jiǎn)易邏輯題型中的易錯(cuò)題歸類剖析

        2020-01-06 09:05:06江蘇省口岸中學(xué)
        關(guān)鍵詞:實(shí)根錯(cuò)因量詞

        ■江蘇省口岸中學(xué) 楊 翠

        運(yùn)用命題間相互關(guān)系及命題的否定形式解題是常用邏輯用語(yǔ)這一部分的重點(diǎn)題型,它能涉及不等式、方程、函數(shù)等許多方面的知識(shí)。而在闡述充分與必要條件這些內(nèi)容的問題時(shí),最容易出錯(cuò)、最難把握與確定的是判斷兩個(gè)命題之間的相互關(guān)系,即充分與必要條件。在此,我們針對(duì)簡(jiǎn)易邏輯問題總結(jié)、分析了經(jīng)常困擾同學(xué)們的七類典型錯(cuò)誤,以幫助同學(xué)們認(rèn)識(shí),并掌握解答它們的正確方法與過程。以期達(dá)到以悟治誤的目的。

        一、不能正確認(rèn)識(shí)方程與根的關(guān)系導(dǎo)致命題錯(cuò)誤

        例1判斷命題“方程x2-3x+2=0的根是x=1”的真假。

        錯(cuò)解:真命題。

        錯(cuò)因分析:命題“x=1是方程x2-3x+2=0的根”與命題“方程x2-3x+2=0的根是x=1”是兩個(gè)不同的命題,前者為真命題,后者為假命題。

        正解:假命題。因?yàn)榉匠蘹2-3x+2=0的根是x=1 或x=2,而不是只有一個(gè)根x=1。

        二、不理解否命題及否命題與其他命題的關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)誤

        例2寫出命題“若x2+y2=0,則x=0且y=0”的否命題,并判斷真假。

        錯(cuò)解1:否命題:若x2+y2≠0,則x ≠0且y≠0。

        錯(cuò)因分析:且的否定為或,x=0且y=0的否定為x≠0或y≠0。

        錯(cuò)解2:原命題為真,所以否命題為假。

        錯(cuò)因分析:原命題與否命題的真假?zèng)]有關(guān)系。

        正解:否命題:若x2+y2≠0,則x≠0或y≠0,所以否命題是真命題。

        三、不能正確區(qū)分前提條件與命題條件導(dǎo)致表述命題錯(cuò)誤

        例3將下面的命題寫成“如果p,則q”的形式:當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=ax+b 的值隨x 的增大而增大。

        錯(cuò)解:“如果p,則q”的形式為:如果a>0,則函數(shù)y=ax+b的值隨x 的增加而增加。

        錯(cuò)因分析:原命題有兩個(gè)條件:a>0 和x 增加,其中a>0是大前提,x 增加是條件。

        正解:“如果p,則q”的形式為:當(dāng)a>0時(shí),如果x 的值增大,則函數(shù)y=ax+b的值也增大。

        四、對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全致誤

        例4已知命題p:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得-2<0,寫出?p。

        錯(cuò)解一:?p:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得x0-2≥0。

        錯(cuò)解二:?p:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有x2-x-2<0。

        錯(cuò)因分析:寫含有一個(gè)量詞的命題的否定,首先要明確這個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題,并找出其量詞的位置及相應(yīng)結(jié)論,然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞,存在量詞改成全稱量詞,同時(shí)否定結(jié)論。

        正解:?p:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有x2-x-2≥0。

        五、對(duì)命題的否定形式認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤導(dǎo)致誤判命題間的相互關(guān)系

        例5已知命題p:|5x-2|>3,命題q:,那么?p 是?q 的什么條件?并寫出解答過程。

        錯(cuò)解:許多同學(xué)認(rèn)為?p 與?q 分別是

        于是?p 既不是?q 的充分條件也不是?q 的必要條件。

        錯(cuò)因分析:錯(cuò)誤的根源在于當(dāng)p 與q 是不等式時(shí),對(duì)?p 與?q 的形式在認(rèn)識(shí)上存在錯(cuò)誤。實(shí)際上?p 與?q 是對(duì)不等式|5x-2|>3與解集的否定。正確的解答應(yīng)該是先把這兩個(gè)不等式的解求出,對(duì)其解集進(jìn)行否定。

        正解:由不等式|5x-2|>3,可得

        六、不能正確認(rèn)識(shí)參數(shù)范圍與命題間的真假關(guān)系導(dǎo)致求參數(shù)取值范圍出錯(cuò)

        例6已知p:方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根。若“p 或q 為真,p 且q 為假”,求m 的取值范圍。

        錯(cuò)解:若方程x2+mx+1=0 有兩個(gè)不等的負(fù)根,則有解得m >2,即p:m>2。

        若方程4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根,則有Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,解得1<m<3,即q:1<m<3。

        故m 的取值范圍是2<m<3。

        錯(cuò)因分析:以上所解得m 的范圍m >2與1<m <3,是將實(shí)數(shù)集分成了四個(gè)部分。不少學(xué)生對(duì)每一部分的含義不清晰。誤把m>2與1<m<3的公共部分2<m<3,當(dāng)成所求m 的取值范圍。

        正解:若方程x2+mx+1=0 有兩個(gè)不等的負(fù)根,則有解得m >2,即p:m>2。

        若方程4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根,則有Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,解得1<m<3,即q:1<m<3。

        因?yàn)椤皃 或q 為真”,所以p,q 中至少 有一個(gè)是真命題。又“p 且q 為假”,所以p,q中至少有一個(gè)是假命題。

        因此,p,q 兩個(gè)命題應(yīng)該是一真一假,即“p 為真,q 為 假”或“p 為 假,q 為 真”。當(dāng)m∈(-∞,1]時(shí),p 假,q 假;當(dāng)m∈(1,2]時(shí),p假,q 真;當(dāng)m∈(2,3)時(shí),p 真,q 真;當(dāng)m∈[3,+∞)時(shí),p 真,q 假。

        七、沒有正確理解“或”與“且”導(dǎo)致判斷兩個(gè)命題之間的關(guān)系出錯(cuò)

        例7若非空集合M ?N,則a∈M 或a∈N 是a∈(M ∩N)的( )。

        A.充分不必要條件

        B.必要不充分條件

        C.充要條件

        D.既不充分也不必要條件

        錯(cuò)解:a∈(M ∩N)的意思是a∈M 且a∈N,所以a∈M 或a∈N 不能推出a∈(M∩N),同樣a∈(M ∩N)也不能推出a∈M或a∈N,所以a∈M 或a∈N 是a∈(M ∩N)的既不充分也不必要條件。故選D。

        錯(cuò)因分析:“或”與“且”理解錯(cuò)誤,邏輯中的“或”與生活中的“或”有區(qū)別,a∈M 或a∈N 包括三種:a∈M 但a?N;a∈N 但a?M;a∈M 且a∈N。所以a∈(M ∩N)可以推得a∈M 或a∈N。

        正解:a∈(M ∩N)的意思是a∈M 且a∈N,而a∈M 或a∈N 包括三種:a∈M 但a?N;a∈N 但a?M;a∈M 且a∈N。所以a∈M 或a∈N 不能推出a∈(M ∩N);a∈(M∩N)可以推得a∈M 或a∈N。故選B。

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