王振芳，羅 芳

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同037009)

自從 1973 年 Black 和 Scholes[1]，以及 Merton[2]建立了期權(quán)定價(jià)理論之后，Black-Scholes-Merton 公式已成為期權(quán)和其他金融衍生品交易中不可缺少的工具。1997 年，Scholes 和Merton 因這一貢獻(xiàn)而獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，之后，隨機(jī)金融理論也得到快速發(fā)展。在Black-Scholes的股票模型中，股票價(jià)格被描述為一個隨機(jī)過程，假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，但是仍有許多學(xué)者認(rèn)為一些股票的價(jià)格并非表現(xiàn)為隨機(jī)性。為了處理非隨機(jī)性的現(xiàn)象，1965 年，Zadeh[3]建立了模糊集理論，隨后，被廣泛接受和應(yīng)用到科學(xué)和工程的各個領(lǐng)域。在金融領(lǐng)域，也有大量學(xué)者利用模糊集理論研究投資組合和期權(quán)定價(jià)等問題，如Wu[4]給出了模糊形式的Black-Scholes 歐式期權(quán)定價(jià)公式，Youshida[5]也研究了在模糊環(huán)境下的歐式看漲和看跌期權(quán)。

盡管模糊集理論得到廣泛接受與應(yīng)用，但仍有許多學(xué)者對此提出挑戰(zhàn)，大量研究表明人的信度既不能用主觀概率來解釋，也無法用模糊集理論來解釋。為了合理地處理關(guān)于人的信度的問題，在2007年，Liu[6]提出了一種處理信度的新的公理化的數(shù)學(xué)理論——不確定理論，隨之受到許多學(xué)者的研究，并在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用與發(fā)展，如不確定積分、不確定微分方程、不確定規(guī)劃、不確定統(tǒng)計(jì)、不確定風(fēng)險(xiǎn)分析、不確定金融等。利用不確定理論，Liu[7]提出了一個不確定股票模型，并給出了基于Liu 股票模型的歐式期權(quán)定價(jià)公式，之后，Chen[8]得到了Liu股票模型下的美式期權(quán)定價(jià)公式。Zhang和Liu[9]研究了該模型的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問題。

在以上模型中，都假定利率為常數(shù)，這一假設(shè)忽視了利率隨時間變化的事實(shí)。2013 年，Chen 和Gao[10]基于不確定理論假設(shè)利率服從一個不確定過程，給出了一個不確定利率模型。對不確定利率下的幾何平均亞式期權(quán)進(jìn)行了研究，并得到了相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)公式。

1 預(yù)備知識

當(dāng)沒有足夠的樣本數(shù)據(jù)時，人們往往會用專家的信度來作出判斷，在這種情況下，概率論難以作出很好的刻畫，不確定理論的提出，成為一種研究這類不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。

對需要用到的一些不確定理論的概念和性質(zhì)做一介紹：

定義1令 Γ 是非空集合，L是 Γ 上的σ代數(shù)，σ代數(shù)L中的每個元素Λ 稱為事件，不確定測度M是從L到[0,1]的函數(shù)，滿足如下公理：

公理1對全集Γ，M{Γ}=1。

公理2對任意事件 Λ ，M{Λ}+M{ΛC}=1。

公理3對任何可列事件Λ1，Λ2，…，有

分別稱為規(guī)范性，對偶性和次可列可加性。

定義2令 Γ 是非空集合，L是 Γ 上的σ代數(shù)，M是不確定測度，則三元組(Γ，L，M)稱為不確定空間。

Liu[7]在2009年定義了乘積不確定測度，也就是不確定理論的第四公理。令(Γk，Lk，Mk)

k=1,2,…，是不確定空間，記

公理 4令 (Γk,Lk,Mk) ，k=1,2,…，是不確定空間，不確定乘積測度滿足

這里Λk是Lk中任意選取的事件，k=1,2,…。

定義3不確定變量ξ是從不確定空間(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集的可測函數(shù)，即對任意的Borel集B，集合

是L中的事件。

定義4不確定變量ξ的不確定分布定義為

定義5一個不確定分布Φ，如果對于每一個α∈(0,1)，它的反函數(shù)Φ-1(α)存在且唯一，則稱之為正則不確定分布。

定義6設(shè)ξ是一個具有正則不確定分布Φ的不確定變量，逆函數(shù)Φ-1被稱為ξ的逆不確定分布。

定義7如果不確定分布為

則不確定變量ξ稱為正態(tài)不確定變量，記為N(e,σ)，這里e和σ是實(shí)數(shù)且σ＞0 。

它的逆不確定分布是

定義8令ξ是不確定變量，則ξ的期望值定義為：

如果上述兩個積分中至少一個有限。

定義9如果T表示時間，(Γ,L,M)是一個不確定空間，那么一個不確定過程就是從T×(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集的可測函數(shù)，即對于任意的時間t∈T和Borel 實(shí)數(shù)集B，{Xt∈B}={γ∈ Γ|Xt(γ)∈B}是L中的事件。

定義10Liu 過程Ct是指滿足下面三個條件的不確定過程：

(1)C0=0，幾乎所有的軌道Lipschitz連續(xù)；

(2)Ct具有獨(dú)立穩(wěn)態(tài)增性質(zhì)；

(3)對于時間t，增量Cs+t-Cs是一個具有期望為0和方差為t2的不確定變量，其不確定分布是

Liu[7]過程是一類特殊的不確定過程，它的樣本軌道函數(shù)不可微點(diǎn)雖然稠密，但卻是Lipschitz 連續(xù)的。

定理1令ξ是不確定變量并且具有不確定分布Φ，如果期望值存在，則

定理2令ξ是不確定變量并且具有正則不確定分布Φ，如果期望值存在，則

定理3令ξ1,ξ2,…,ξn是獨(dú)立的不確定變量并且具有正則不確定分布Φ1,Φ2,…,Φn，如果函數(shù)f(x1,x2,…xn) 對x1,x2,…xm嚴(yán)格單增，對xm+1,xm+2,…xn嚴(yán)格單減，則ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)是不確定變量并且具有逆分布

Liu和Ha[13]證明了不確定變量

有期望：

定理4令Xt和是不確定微分方程

的解和α軌道，那么對任何s＞0 和嚴(yán)格單增函數(shù)J(x)，(Xt)dt有逆不確定分布

定理5令Xt和是不確定微分方程

的解和α軌道，那么對任何s＞0 和嚴(yán)格單減函數(shù)J(x)，有逆不確定分布

2 具有浮動利率的不確定股票模型

1973 年，Black 和 Scholes 在假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動的前提下，給出了著名的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。其股票模型如下：

其中Xt為債券價(jià)格，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，St為股票價(jià)格，μ為期望回報(bào)率，σ為波動率，Bt為Wiener過程。

2009年，Liu[7]依據(jù)不確定理論假定股票價(jià)格服從幾何Liu過程，提出如下的股票價(jià)格模型：

其中Xt為債券價(jià)格，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，St為股票價(jià)格，μ為期望回報(bào)率，σ為波動率，Ct為Liu過程，并給出了相應(yīng)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式。

以上模型都假定利率為常數(shù)，忽視了利率隨時間變化的事實(shí)。2013 年，Chen 和Gao[10]基于不確定理論假定利率服從一個不確定過程，給出了如下的不確定利率模型：

其中a,b和δ都是常數(shù)。

將基于如下的股票價(jià)格模型來研究幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問題：

其中Xt為債券價(jià)格，rt為不確定利率，St為股票價(jià)格，μ為期望回報(bào)率，σ為波動率，C1t和C2t為兩個相互獨(dú)立的典范過程，rt和St獨(dú)立。

注意到股票價(jià)格

它的逆不確定分布是

3 具有浮動利率的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式

亞式期權(quán)是重要的期權(quán)之一，它依賴于路徑，由于其良好的風(fēng)險(xiǎn)管理的功能而被投資者廣泛接受。亞式期權(quán)分為算術(shù)平均亞式期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán)，主要是研究幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問題。假設(shè)亞式期權(quán)在到期時間T有敲定價(jià)格K，St是t時刻的股票價(jià)格。那么幾何平均亞式看漲期權(quán)的得益是

考慮到金錢的時間價(jià)值，這份得益的當(dāng)前值應(yīng)該是

因此亞式看漲期權(quán)的價(jià)格應(yīng)該是此得益的平均值。

定義11假設(shè)一份幾何平均亞式看漲期權(quán)具有敲定價(jià)格K和到期時間T，那么期權(quán)具有價(jià)格

定理6對于股票價(jià)格模型20，如果幾何平均亞式看漲期權(quán)具有敲定價(jià)格K和到期時間T，那么期權(quán)的價(jià)格是

其中

證明由rt和St的相互獨(dú)立，我們有

解微分方程

其中 0 ＜α＜1，Φ-1(α)是逆標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)不確定分布，從而有

這意味著不確定微分方程

有α軌道

根據(jù)Yao-Chen公式可知rt有逆不確定分布

那么我們有

由定理3和式(22)可知

有逆不確定分布

其中

因此

所以幾何平均亞式看漲期權(quán)的價(jià)格為

定理證畢。

同理我們給出如下的幾何平均亞式看跌期權(quán)的定價(jià)方式：

定義12假設(shè)一份幾何平均亞式看跌期權(quán)具有敲定價(jià)格K和到期時間，那么期權(quán)具有價(jià)格

定理7對于股票價(jià)格模型(20)，幾何平均亞式看跌期權(quán)具有敲定價(jià)格K和到期時間T，那么期權(quán)的價(jià)格是

其中

證明根據(jù)定理5，類似于定理6的證明，我們可以得到亞式看跌期權(quán)的價(jià)格為

定理證畢。

4 結(jié)論

期權(quán)定價(jià)是現(xiàn)代金融中最重要的內(nèi)容之一，經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)理論是建立在概率論的基礎(chǔ)之上，認(rèn)為金融市場具有隨機(jī)性，假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，利用隨機(jī)微分方程得到了期權(quán)定價(jià)公式。但是Liu給出的悖論表明用隨機(jī)微分方程描述股票價(jià)格變化過程并不合適。在不確定理論基礎(chǔ)上，利用不確定微分方程來描述股票價(jià)格變化和利率期限結(jié)構(gòu)，研究了具有浮動利率的幾何平均年亞式期權(quán)的定價(jià)問題，并給出了相應(yīng)的定價(jià)公式。