■陜西洋縣中學(xué) (特級(jí)教師)

2019年高考導(dǎo)數(shù)主要圍繞“利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、 確定單調(diào)區(qū)間 、求極值和最值、求參數(shù)范圍以及用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)和解決與函數(shù)有關(guān)的不等式”等經(jīng)典問題展開,彰顯導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用性。

聚焦1 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義探求曲線的切線方程

例1(2019年江蘇卷第11題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在曲線y=lnx上,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-e,-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_____。

解析：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),得到切線方程,然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值,可得切點(diǎn)坐標(biāo)。

設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),則y0=lnx0。

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(e,1)。

品味：利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程,滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。解超越方程,一般是構(gòu)造函數(shù),導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的零點(diǎn),凸顯導(dǎo)數(shù)的工具性和可操作性。

變式1(1)(2019年全國Ⅲ卷文數(shù)第7題)已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則( )。

A.a=e,b=-1

B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1

D.a=e-1,b=-1

(2)(2019全國Ⅱ卷文數(shù)第10題)曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π,-1)處的切線方程為( )。

A.x-y-π-1=0

B.2x-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0

D.x+y-π+1=0

解析：(1)y=aex+xlnx的導(dǎo)數(shù)為y'=aex+lnx+1。

由函數(shù)y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,可得ae+0+1=2,解得a=e-1。又切點(diǎn)為(1,1),可得1=2+b,即b=-1。故選D。

(2)當(dāng)x=π時(shí),y=2sin π+cos π=-1,故點(diǎn)(π,-1)在曲線y=2sinx+cosx上。因?yàn)閥'=2cosx-sinx,所以y'|x=π=2cos π-sin π=-2,則y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π,-1)處的切線方程為y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0。故選C。

聚焦2 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義探究最值和曲線的公切線

例2(2019 年高考江蘇卷第10 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線y=x)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是____。

品味：曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離,形助數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線上過切點(diǎn)的切線與已知直線平行的平行線之間的距離。借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式求解,滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),凸顯數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用。

變式2(2019年全國Ⅱ卷理數(shù)第20題節(jié)選)已知函數(shù),設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),證明：曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線。

設(shè)曲線y=ex的切點(diǎn)為B(x1,ex1),在切點(diǎn)為B(x1,ex1)處的切線l'。因?yàn)閥=ex,所以y'=ex,在B(x1,ex1)處的切線l'的斜率為ex1,切線l'的方程為y=ex1x+ex1(1-x1)。

當(dāng)切線l'的斜率k1=ex1等于直線l的斜率時(shí),即

切線l'在縱軸的截距為當(dāng)直線l,l'的斜率相等時(shí),在縱軸上的截距也相等,因此直線l,l'重合,則曲線y=lnx在A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線。

聚焦3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式恒成立

例3(2019 年天津理數(shù)第8 題)已知a∈R, 設(shè)函數(shù)f(x) =若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,則a的取值范圍為( )。

A.[0,1] B.A

C.[0,e] D.[1,e]

解析：此題為分段函數(shù)不等式恒成立問題,可借助分界點(diǎn)對(duì)x分類,分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的值域求解。當(dāng)x=1時(shí),f(1)=1-2a+2a=1＞0,顯然恒成立。

當(dāng)x＞e時(shí),h'(x)＞0,h(x)遞增;當(dāng)1＜x＜e時(shí),h'(x)＜0,h(x)遞減。

當(dāng)x=e時(shí),h(x)取得最小值h(e)=e,因此,a≤h(x)min=e。

綜上,a的取值范圍是[0,e]。

品味：函數(shù)不等式區(qū)間上恒成立,合理分離參數(shù),a≤f(x)在D上恒成立,等價(jià)于a≤f(x)min,x∈D;a≥f(x)在D上恒成立,等價(jià)于a≥f(x)max,x∈D。構(gòu)造新函數(shù)用不等式或?qū)?shù)法研究單調(diào)性求解。

變式3(2019 年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市5月模擬卷)設(shè)f(x)=ex-e-x-x。

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知g(x)=x2f(x)+(x+1)·[f(x)+(1-a)x]+(1-a)x3,若對(duì)所有x≥0,g(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：(1)由f(x)=ex-e-x-x,得f'(x)=ex+e-x-1≥1＞0,則f(x)在(-∞,∞)上是增函數(shù),單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞)。

(2)化簡得g(x)=(x2+x+1)f(x)+(1-a)x(x+1)+(1-a)x3=(x2+x+1)·[f(x)+(1-a)x]。

顯然x2+x+1＞0,故若使g(x)≥0,只需f(x)+x(1-a)=ex-e-x-ax≥0即可。

令h(x)=ex-e-x-ax,則h'(x)=ex+e-x-a≥2-a。

①當(dāng)2-a≥0,即a≤2時(shí),h'(x)≥0恒成立,h(x)在[0,+∞)上為增函數(shù)。

故h(x)≥h(0)=0,即g(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立。

②當(dāng)a＞2時(shí),令h'(x)=0,即ex+e-x-a=0,可化為(ex)2-aex+1=0。

當(dāng)0＜x＜x2時(shí),,h'(x)＜0,h(x)在[0,x2]上為減函數(shù)。

又h(0)=0,h(x2)＜0。

故當(dāng)a＞2 時(shí),h(x)≥0 不恒成立,即g(x)≥0不恒成立。

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,2]。

聚焦4 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定最值

例4(2019年全國Ⅲ卷理數(shù)第20題)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b。

(1)討論f(x)的單調(diào)性。

(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]最小值為-1且最大值為1? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由。

解析：(1) 求f(x)的導(dǎo)數(shù), 根據(jù)a的范圍分情況討論導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù),確定函數(shù)單調(diào)性, 對(duì)f(x)=2x3-ax2+b,求導(dǎo)得

(2) 根據(jù)a的各種范圍,利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷,最終求出a,b的值。

(i) 當(dāng)a≤0時(shí),由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b。此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1。

(ii)當(dāng)a≥3時(shí),由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b。此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1。

(iii)當(dāng)0＜a＜3 時(shí),由(1)知,f(x)在[0,1]上的最小值為,最大值為b或2-a+b。

綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=-1 或a=4,b=1時(shí),f(x)在[0,1]的最小值為-1,最大值為1。

品味：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,常常是求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且化因式為積,借助導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分類探究導(dǎo)函數(shù)值在各個(gè)區(qū)間的正負(fù),進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小是分類的依據(jù),函數(shù)區(qū)間上的最大值最小值,借助所給區(qū)間和所求出的單調(diào)區(qū)間的關(guān)系,合理分類探究。

變式4(2018年江蘇卷)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為____。

解析：結(jié)合三次函數(shù)圖像確定在(0,+∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件,求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值。已知f'(x)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且f(0)=1,所以=0,則a=3。則f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=

故f(x)max+f(x)min=f(0)+f(-1)=1-4=-3。

聚焦5 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和函數(shù)的零點(diǎn)問題

例5(2019年全國Ⅰ卷理數(shù)第20題)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)。證明：(1)f'(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn);(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。

解析：(1)求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減,借助零點(diǎn)存在定理判斷推證。

① 當(dāng)x∈(-1,0]時(shí),由(1)可知f'(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增,故f'(x)≤f'(0)=0,f(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減。

若f(x)=0,則x=0,f(x)在(-1,0]上的唯一零點(diǎn)。

又f'(0)=0 , 則f'(x0)＞0,f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,此時(shí)f(x)＞f(0)=0,不存在零點(diǎn)。

綜上所述,f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。

品味：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題。函數(shù)y=f(x)在x=x0處取極值的充要條件為：(1)f'(x0)=0;(2)在x=x0左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)相反。解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵：一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn),另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性,二者缺一不可。

變式5(2019 全國Ⅱ卷文數(shù)第21 題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1。證明：

(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);

(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)。

解析：(1)易求f(x)的定義域?yàn)?0,

因?yàn)閥=lnx單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以f'(x)單調(diào)遞增。又f'(1)=-1＜,故存在唯一x0∈(1,2),使得f'(x0)=0。

又當(dāng)x＜x0時(shí),f'(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＞x0時(shí),f'(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增。

因此,f(x)存在唯一的極值點(diǎn)。

(2)由(1)得到f(x)=0在(x0,+∞)內(nèi)存在唯一實(shí)根,記作x=α。

由(1)知f(x0)＜f(1)=-2,且f(e2)=e2-3＞0,所以f(x)=0在(x0,+∞)內(nèi)存在唯一根x=α。

綜上,f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)。