■河北省南宮中學

雙變量問題,一直都是各地高考及模擬考試的熱點問題,試題常常出現(xiàn)在試卷的“壓軸”位置。這類問題綜合性強,難度大,對同學們的數(shù)學素養(yǎng)要求很高,因此具有很好的區(qū)分度。同學們一旦遇到此類問題,處理起來往往是顧此失彼,難以入手。正是基于這點,下面例談導數(shù)中雙變量問題的常見解題策略。

策略一 相互替代法

當出現(xiàn)雙變量問題時,若能將雙變量中所有變量統(tǒng)一用其中一個變量來替換,這樣就將雙變量問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的單變量問題,從而為我們的解題帶來便利。

例1(2018年全國Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明

解析：(1)當a≤2 時,f(x)的遞減區(qū)間為(0,+∞),無遞增區(qū)間;

當a＞2 時,f(x)的遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為(解題過程略)

所以x1x2=1,x1+x2=a(由(1)知a＞2),即

不妨設x1＜x2,則0＜x1＜1＜x2。

評析：本題中利用x1x2=1 將雙變量問題轉(zhuǎn)化為關于x2的單變量問題(實際上轉(zhuǎn)化為關于x1的單變量問題亦可),從而借助函數(shù)單調(diào)性得以將問題解決。

策略二 主元法

當問題中含有的變量較多且變量之間互不影響時,可以選擇一個量作為主元,并以此為線索來解決問題,這樣的方法叫作主元法。有些問題,巧妙設置主元,可以使問題化繁為簡,事半功倍,給以一種耳目一新的感覺。

例2(2018 年全國Ⅰ卷文科第21 題改編)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1。

故g(x)min=g(1)=0,g(x)≥0,即ex-1-lnx-1≥0,命題得證。

評析：對于含有參數(shù)的函數(shù)不等式證明問題,常見的處理策略就是先將參數(shù)消掉,進而轉(zhuǎn)化為單變量問題來處理。本題中先將f(x)視為關于參數(shù)a的一次函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性將參數(shù)消掉,進而轉(zhuǎn)化為關于x的單變量問題來處理。

策略三 引入變量法

當題目中的變量之間的關系比較隱蔽或無法相互替換時,可以考慮引入新的變量,用新的變量來表示其他變量,達到減少變量的目的。

例3(2018年山西太原高三下學期第二次模擬考試理科第12 題)已知函數(shù)f(x),若g(m)=f(n)成立,則n-m的最小值為( )。

評析：本題中直接尋求變量m、n之間的關系不易發(fā)現(xiàn),但是通過引入“中間變量t”,將m、n分別視為t的函數(shù),從而順利實現(xiàn)消元的目的。

策略四 整體代換法

有些題目可以通過整體代換突破雙變量的困擾,將雙量問題化為單變量問題。常見的整體代換有比值代換、差值代換、乘積代換三種。

例4(比值代換)?a＞0,b＞0且a≠b,證明：(對數(shù)均值不等式)。

證明：由對稱性,不妨設a＞b＞0。

綜上,結(jié)論得證。

例5(差值代換)已知曲線C：f(x)=ex,直線l：g(x)=k(x-1)(k＞0),直線l與曲線C交于A、B兩點,其橫坐標分別為x1、x2,令x1＜x2,求證：x1x2＜x1+x2。

解析：由題意可得,ex1=k(x1-1),ex2=k(x2-1),則

例6(乘積代換)(2018年浙江卷第22題)已知函數(shù)

若f(x)在x=x1,x=x2(x1≠x2)處導數(shù)相等,證明：f(x1)+f(x2)＞8-8ln 2。

故f(x1)+f(x2)＞8-8ln 2。

評析：整體代換中以“比值代換”和“差值代換”最為常見,但是無論那種代換都需要靈活的代數(shù)變形,從而通過整體代換的策略,轉(zhuǎn)換為單變量問題。