《可能性及可能性的大小》是蘇教版四年級上冊的一個單元,屬于“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域,該課旨在讓學(xué)生在實驗以及對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計、比較分析中理解可能性的大小。
第一,教與學(xué)的意義在哪里?教學(xué)前學(xué)生對確定、不確定事件的感受有困難嗎?教師問學(xué)生:“在裝有1個紅球1 個黃球的袋里摸球,結(jié)果會怎樣?”大部分學(xué)生都知道摸出的球可能是紅、可能是黃,是不確定的。接著,教師問學(xué)生:“在都是紅球的袋里摸球,結(jié)果會怎樣?”學(xué)生知道摸出的一定是紅球,是確定的。
那么,教與學(xué)的意義在哪里?學(xué)生學(xué)習(xí)概率的重要目標(biāo)是體會隨機(jī)現(xiàn)象的特點,逐步糾正原有的錯誤想法,建立正確的概率直覺。本課的教學(xué)意義一是讓學(xué)生在對實驗結(jié)果的統(tǒng)計、分析中發(fā)展隨機(jī)意識,能列舉出簡單隨機(jī)事件中可能發(fā)生的所有結(jié)果;二是在統(tǒng)計、收集、分析數(shù)據(jù)的過程中了解可能性有大小,并能判斷可能性的大小,知道可能性的大小不僅與個體的數(shù)量有關(guān),還與個體在群體中所占比例的多少有關(guān);三是利用對可能性的理解進(jìn)行科學(xué)的決策,建立正確的概率直覺。
第二,學(xué)生的起點在哪里?對于簡單的隨機(jī)現(xiàn)象,學(xué)生都有一定的生活經(jīng)驗,對事件的發(fā)生與否能進(jìn)行簡單的判斷,但僅僅停留在生活層面的感知,并未上升到數(shù)學(xué)層面,尤其是對可能性大小的感知比較模糊。因此,從學(xué)生的生活經(jīng)驗入手,通過對實驗的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、比較分析,逐步加深對簡單隨機(jī)現(xiàn)象的教學(xué),逐步建構(gòu)學(xué)生統(tǒng)計與概率知識體系的整體結(jié)構(gòu)。
受認(rèn)知經(jīng)驗和年齡的限制,學(xué)生常根據(jù)自己的直覺判斷事情發(fā)生與否,常以為“很有可能發(fā)生就是一定發(fā)生,不太可能發(fā)生就是不可能發(fā)生”。教師可以在創(chuàng)設(shè)的隨機(jī)實驗活動中,讓學(xué)生猜測實驗結(jié)果,激發(fā)學(xué)生對收集實驗數(shù)據(jù)的興趣。
片段一:感受確定事件、不確定事件。
第1 次,出示裝有1 個紅球、1 個黃球的口袋。
師:口袋里,放入2 個除顏色外,其他都相同的球。任意摸一個,結(jié)果會怎樣?(生:可能摸到紅球,也可能摸到黃球,不確定摸到哪一個。)
師:如果摸10 次,猜一猜紅球摸到幾次?黃球呢?(學(xué)生猜測。)我們來動手驗證吧。每組都有這樣一個口袋,以小組為單位摸一摸。摸的時候有什么要注意的?(生:晃一晃口袋,不能偷看。)對,就是要確保隨機(jī),這樣才公平。(出示規(guī)則,開始小組活動。)
師:這是每組的統(tǒng)計結(jié)果(見圖1)。我先來采訪一位同學(xué),再摸一次你能知道摸出什么顏色嗎?(生:不能,不確定。)豎著來觀察,每組第1次的結(jié)果是怎樣的?(生:黃的多。)那每組第5 次呢?(生:紅的多。)
師:再橫著來觀察,每組摸出兩種球的次數(shù)一樣嗎?(生:有些一樣,有些不一樣。)看來每組摸到幾次紅球、幾次黃球的數(shù)量也是不確定的。如果每組再多摸10 次,你們摸出的結(jié)果和上面統(tǒng)計出的結(jié)果會一樣嗎?(生:可能一樣,可能不一樣,不確定。)
圖1 每組摸球統(tǒng)計結(jié)果
第2 次,出示裝有2 個紅球的口袋。
師:從這個口袋里摸球,情況會怎樣?(生:摸到的一定是紅球,是確定的。)可能像剛才一樣摸到黃球嗎?(生:不可能,也是確定的。)
師:有什么是不確定的嗎?看,把這些球標(biāo)上序號1 和2。(生:可能摸到1 號紅球,也可能摸到2 號紅球,這是不確定的。)看來確定中也隱藏著不確定。
第3 次,出示裝有2 個黃球的口袋。
師:從這個口袋里摸球,結(jié)果會怎樣?(生:一定摸到黃球;不可能摸到紅球;可能摸到這個黃球,也可能摸到那個黃球。)
思考:本環(huán)節(jié)的三次摸球活動中,從第1 次1 紅1 黃2 個球,先讓學(xué)生猜測,再通過實驗來驗證,學(xué)生在對實驗數(shù)據(jù)的收集、比較、分析中,了解事件的發(fā)生是不確定的,摸到2種球的次數(shù)也是不確定的。再到第2次都是紅球,第3 次都是黃球,讓學(xué)生了解確定事件,并再追問“有沒有什么是不確定的?”激發(fā)認(rèn)知沖突,讓學(xué)生體會“確定”中也隱藏著“不確定”。
學(xué)生對于可能性的大小有模糊的認(rèn)識,但存在一定誤區(qū),認(rèn)為“可能性大,出現(xiàn)的次數(shù)一定多;可能性小,出現(xiàn)的次數(shù)就少”。通過對隨機(jī)事件的深入實驗后,學(xué)生掌握對大數(shù)據(jù)的分析方法,糾正原有錯誤經(jīng)驗,深化對可能性的認(rèn)識。
片段二:感受可能性的大小。
第1 次,出示紅桃A、紅桃2、紅桃3、紅桃4,共4 張牌。
師:這4 張牌,除點數(shù)不同外,其他都完全一樣。反扣,打亂次序,任意摸一張,可能摸出哪一張?(生:可能摸出紅桃A、紅桃2、紅桃3、紅桃4,有4 種可能。)這是不確定的,那有什么是確定的?(生:一定是紅桃。)看來不確定中也隱藏著確定。
第2 次,出示3 張紅桃、1 張黑桃。
師:現(xiàn)在還一定能摸到紅桃嗎?(生:不一定,可能是紅桃,可能是黑桃。)摸到紅桃有幾種可能?黑桃呢?(生:摸到紅桃有3 種可能,摸到黑桃有1 種可能。)如果摸30 次,猜猜看,紅桃出現(xiàn)幾次?黑桃呢?(學(xué)生猜測。)
師:通過剛才的猜測,我們有了一個共同的想法——哪種花色數(shù)量多,摸到次數(shù)就多。但這只是猜想,我們來實驗驗證。摸的時候需注意什么?(生:隨機(jī)、公平。)(出示完整規(guī)則,開始小組活動。)
師:我們猜測摸到紅桃的次數(shù)多。觀察每組的結(jié)果,和我們的猜想完全一樣嗎?(生:第八組不一樣,紅桃少。)那豎著觀察全班的統(tǒng)計結(jié)果,紅桃一共摸到多少次?黑桃呢?你發(fā)現(xiàn)什么?(生:紅桃一共摸到218 次,黑桃一共摸到82 次,紅桃次數(shù)多、黑桃次數(shù)少。)總體的統(tǒng)計結(jié)果能說明,的確摸到紅桃的可能性大。如果再多摸幾次,結(jié)果會怎樣?(生:還是紅桃的可能性大。)
師:看,這是四年級所有同學(xué)的摸牌結(jié)果,觀察統(tǒng)計數(shù)據(jù),你有什么想說的?(生:摸到紅桃次數(shù)比黑桃次數(shù)多得多。)剛才觀察每組的數(shù)據(jù)、全班的數(shù)據(jù)以及整個年級的數(shù)據(jù),隨著實驗次數(shù)的增加,我們的結(jié)果更有說服力了。
第3 次,出示2 張紅桃、2 張黑桃:
師:現(xiàn)在摸到2 種牌的可能性發(fā)生了怎樣的變化?(生:可能性一樣了,因為張數(shù)一樣。)你是從數(shù)量上發(fā)現(xiàn)的。那來回顧這個口袋(片段一中的1 個紅球、1 個黃球的口袋),任意摸一個,摸到他們的可能性?(生:可能性一樣大)那為什么這一組紅球摸到3 次,黃球卻摸到7 次呢?(生:可能性一樣,但摸到的次數(shù)不一定一樣。)
師:對,理論上可能性是相等的,但具體到每一次摸,仍然是不確定的。
第4 次,出示1 張紅桃、3 張黑桃。
師:現(xiàn)在的可能性呢?(生:黑桃可能性大,紅桃可能性小,因為黑桃的數(shù)量多了。)
師:回顧剛才3 次換牌的過程,你有什么發(fā)現(xiàn)?小組間說一說。(生:隨著數(shù)量變化,可能性也在變。)是的,可能性跟著數(shù)量的變化而變化,有大有小,有時還會相等。
思考:本環(huán)節(jié)通過4 次摸牌的實驗,讓學(xué)生感受到可能性是有大小的,可能性的大小與數(shù)量有關(guān)。第1 次有4張紅桃,學(xué)生感受到摸出哪張是不確定的,但在追問“有沒有什么是確定的”時,感受到不確定中也隱藏著確定,初步建立起不確定事件與確定事件之間的聯(lián)系。第2 次3 張紅桃、1 張黑桃,學(xué)生先猜測,再實驗驗證,從小數(shù)據(jù)到大數(shù)據(jù)深入對比分析后,得出結(jié)論:“紅桃的數(shù)量多,故摸到的可能性大,但是可能性大,不代表摸到次數(shù)一定多。隨著實驗次數(shù)的增加,實驗的結(jié)果才更有說服力。”第3 次2 張紅桃、2 張黑桃,揭示“等可能性”。接著教師再引導(dǎo)學(xué)生與片段一中的1 個紅球、1 個黃球?qū)Ρ龋瑢W(xué)生理解“可能性一樣,摸到的次數(shù)不一定一樣,只有實驗次數(shù)足夠多,才能更接近理想的結(jié)果”,促使學(xué)生完善自己的思維直覺,在加深對大數(shù)據(jù)的領(lǐng)悟的同時,掌握對數(shù)據(jù)的一般分析方法。
學(xué)生已能區(qū)分確定事件和不確定事件,判斷出可能性的大小,但是尚未打通確定與不確定、可能性大與小之間的聯(lián)系。本環(huán)節(jié)通過對“放”球結(jié)果的整理、分析,構(gòu)建起整體知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系。
片段三:溝通不可能、可能、一定之間的聯(lián)系。
師:剛才摸球、摸牌,現(xiàn)在來按要求放球。這里有一個袋子,紅球黃球各5 個,挑5 個球放入袋子。第一個要求是,任意摸出一個,不可能是紅球。(生:放5 個黃球,沒有紅球,就不可能摸出紅球。)
師:對,這是確定的。第二個要求是,可能是紅球。(生:1 個紅球、4個黃球,2 個紅球、3個黃球,3個紅球、2 個黃球,4 個紅球、1 個黃球。)
師:第三個要求是,一定是紅球。(生:全放紅球。)
按照學(xué)生回答,教師出示圖片(見圖2)。
圖2 滿足教師要求的口袋
師:從左往右看,仔細(xì)觀察。你有什么發(fā)現(xiàn)?和你的同桌說一說。(生:紅球數(shù)量越來越多,摸到紅球可能性在變大。)
師:總數(shù)不變,從左往右看,紅球的數(shù)量越多,摸到紅球的可能性越大,一直到全是紅球,摸到的就一定是紅球。從右往左看,紅球的數(shù)量越少,摸到紅球的可能性越小,一直到?jīng)]有紅球,就不可能摸到紅球。這就是不可能、可能、一定之間的關(guān)系。
思考:在“摸”的2 個環(huán)節(jié)中對大數(shù)據(jù)進(jìn)行充分的收集、比較、得出結(jié)論后,設(shè)計“放”的環(huán)節(jié),讓學(xué)生根據(jù)確定事件和不確定事件的特點進(jìn)行放球。并在對所有情況的觀察比較中,勾連起“不可能”“可能”“一定”之間的聯(lián)系。