張國平，牟忠德

江蘇省腫瘤醫(yī)院，江蘇省腫瘤防治研究所，南京醫(yī)科大學附屬腫瘤醫(yī)院(南京，210009)

1 壓縮感知

壓縮感知基本構成通常包括稀疏表示、編碼測量、重構算法等內容[1-3]，其理論框架詳見圖1，該理論適合對信號的采樣和編碼，對原始的信號線性投影以后，獲得測量信號值，然后通過重構算法，對該測量值進行重構，進而得到重建的信號[4-5]。

圖1 壓縮感知框架示意圖

(1)

其中，φ表示對信號的稀疏變換域，Y表示信號X在φ域上的投影值。如果Y向量中只有K個系數，不為零或遠大于其它的系數，則稱X是K稀疏的，或者是可壓縮的，即可得信號X的稀疏表達如式(2)[6-7]。

Y=φTX

(2)

2)根據壓縮感知理論中的非相關性準則，使用矩陣ψ對信號Y進行觀測，經式(3)可得測量矩陣。

S=ψφTX

(3)

3)假設Θ=ψφT，則有S=ΘX，最后在l0范數框架下優(yōu)化求解X，結果如下：

min‖φTX‖0s.t.ΘX=S

(4)

對于這個欠定方程(M

2 重構算法分析

在壓縮感知理論中，從稀疏系數中重構出原始信號就是信號的重構過程，重構算法可以轉化為線性規(guī)劃(Linear Programming，LP)問題的求解，直接求解方法即轉換為求解最小l0范數問題[8-9]。

2.1 BP算法

通過求解最小l0范數，來解決信號重構問題，即求解最小l0范數下的最優(yōu)化問題，以求得最優(yōu)化的重構結果，但是其計算復雜度較高。但是找到合適的稀疏信號，也就等于解決了式(4)的問題

(4)

其中，‖c‖0是序列{Ck}中非零項的個數。利用BP算法來解決式(5)的問題

(5)

BP算法的求解過程中，原始信號記為x，φ，為觀測矩陣，基矩陣φ已知，求解s等同于求解x，其中s，xRN，yRM，M

2.2 OMP算法

OMP算法是基于匹配追蹤算法的正交匹配追蹤算法，來解決信號重構問題[10-12]，該算法的具體步驟如下：

1)尋找殘值r和矩陣ψj積中的最大元素的索引λ；

2)將索引集更新，記錄經由傳感矩陣φ進行重構后的原子集合，詳細表示方式如下：

Λt=Λt-1∪{λt}

(6)

φt=[φt-1，ψλt]

(7)

3)實現式(8)中的最小二乘法；

(8)

4)借助式(9)，更新殘值，t=t+1；

(9)

5)對Step 4中t進行判斷，滿足條件t>K，則迭代停止；如果不滿足，則繼續(xù)執(zhí)行步驟 1。

2.3 StOMP算法

StOMP算法是由Donoho等對正交匹配算法進行改進，并提出了分段正交匹配追蹤算法，該算法在正交匹配追蹤算法的基礎上做了簡化[13-14]。StOMP算法具體步驟如下：

1)對數值進行初始化設置，設定最大的迭代步長，求解最大的迭代誤差e，s=1;

2)將小波變換后，獲得的變換系數，記為稀疏矩陣y，然后隨機選取測量數據，得式(10)：

Θs=φTrs-1

(10)

3)對Θ進行如式(11)的規(guī)范化處理，其中K為Θ信號的長度

(11)

4)對Θ進行閾值處理，如式(12)：

∑S={j:|ΘS(j)|>λS}

(12)

5)最新合并兩次變換所得的坐標索引，并對IS集合進行一致化處理如式(13)，得IS：

IS=IS-1∪ ∑S

(13)

6)求解線性方程組，min(‖xs‖1)s.t.y=φXS，計算公式如(14)。

(14)

7)計算殘差rS，如式(15)：

rs=y-sS

(15)

8)稀疏解的精度判定，如rs

3 實驗結果與分析

3.1 使用Shepp Logan的實驗結果

為了比較不同的壓縮感知圖像重構算法，我們選擇Shepp Logan模型來作為測試圖像，對其取Haar小波變換并進行仿真實驗，分別采用BP算法、OMP算法、StOMP算法進行圖像重構，在相同的采樣頻率下，比較其重構時間和重構效果如圖2所示。

圖2 采樣率為10%的Shepp Logan重構結果

3.2 使用真實MRI圖像的實驗結果

為比較不同采樣頻率，在實際的臨床MRI醫(yī)學圖像條件下，觀察壓縮感知算法的重建效果，在欠采樣率為10%-50%范圍內，分別選擇15%和25%兩種采樣情形下，觀察這三種算法對實際的臨床MRI醫(yī)學圖像的重構效果如圖3和圖4所示。

4 結論

綜上所述，可以得到如下結論：(1)借助壓縮感知理論，通過合理的算法設計，是可以近似重構出醫(yī)學圖像的，并且整體圖像質量不會明顯下降。(2)在相同欠采樣率的情況下，BP算法的重構結果是最好的，但運算時間最長；OMP算法的重構結果次之，是運算時間比BP算法少；StOMP結果最差，不適用于精確的圖像重建。

圖3 采樣率15%的MRI重構結果

圖4 采樣率25%的MRI-Brain重構結果