王 詩(shī)，吳 瑤，王春瑩，朱笑瑩

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125100）

一、引言

在高等院校的教學(xué)中，習(xí)題布置是幫助學(xué)生鞏固課堂教授的知識(shí)點(diǎn)、考察學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度的重要手段，是一種被廣泛使用的教學(xué)評(píng)價(jià)方法。針對(duì)學(xué)生不同的學(xué)習(xí)階段和不同的教學(xué)目的，教師需要在不同情況下布置難度不同的習(xí)題以滿足教學(xué)期望。因此，對(duì)題目難度進(jìn)行量化分級(jí)對(duì)于教育的改革發(fā)展有著重要幫助。合理把握題目難度可以幫助教師有針對(duì)性地命題，使題目難度達(dá)到預(yù)設(shè)效果，使教師能夠更好地規(guī)范其對(duì)概念、方法及其關(guān)系的教學(xué)，幫助教師更加科學(xué)地在教學(xué)的不同階段進(jìn)行相應(yīng)難度題目的布置，從而提高教學(xué)質(zhì)量。同時(shí)，難度量化分級(jí)可以使學(xué)生對(duì)題目的難易程度有更為直觀的判斷，根據(jù)所做題目的難度，更客觀地了解自身學(xué)習(xí)水平?！峨姶艌?chǎng)與電磁波》是一門內(nèi)容概念抽象、公式繁多、課程體系嚴(yán)謹(jǐn)且對(duì)電子與通信技術(shù)學(xué)科極為重要的科目[1]。所以對(duì)《電磁場(chǎng)與電磁波》這門科目進(jìn)行難度量化分級(jí)有著重要意義。

經(jīng)典測(cè)量理論（Classic Test Theory，CTT）采用通過(guò)率法表示題目難度；項(xiàng)目反應(yīng)理論（Item Response Theory，IRT）用項(xiàng)目特征曲線的拐點(diǎn)位置反映該題的難度。CTT或IRT 框架下的難度參數(shù)，都需要通過(guò)實(shí)際測(cè)試考生獲得，這種預(yù)測(cè)方式的實(shí)施具有一定的局限性[2]。這種局限性主要體現(xiàn)在獲取大規(guī)模樣本存在極大的操作難度。因此早期的難度預(yù)估主要依賴專家主觀經(jīng)驗(yàn)直接判斷題目難度，這種方法是比較傳統(tǒng)并廣泛使用的一種難度預(yù)估方法。近年來(lái)，隨著信息技術(shù)的普及和深入，數(shù)據(jù)分析在教育領(lǐng)域的應(yīng)用也越來(lái)越普遍，測(cè)試樣本收集導(dǎo)致的局限性不再明顯，通過(guò)被測(cè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行難度量化分級(jí)在現(xiàn)實(shí)情景中應(yīng)用的可操作性逐步提升。

然而，實(shí)踐中對(duì)于題目難度的預(yù)估往往不能盡如人意，其根本原因在于各因素對(duì)難度的影響是十分復(fù)雜的。2006 年，LEONG See Cheng 總結(jié)了四個(gè)影響試卷難度的因素：內(nèi)容方面，主要指知識(shí)量；材料方面，指詞匯和信息呈現(xiàn)方式等難度；被試者因素，主要指被試者的心理和生理等素質(zhì)；命題者的決策，指命題者對(duì)考試所期望的難易程度[3]。王希年提出難度設(shè)計(jì)與預(yù)測(cè)應(yīng)結(jié)合題目本質(zhì)難度與考生狀況進(jìn)行，題目的得分率與其難度因素和考生學(xué)業(yè)水平二元相關(guān)[4]。通過(guò)文獻(xiàn)分析得知，考慮抄襲因素和學(xué)生能力對(duì)難度分級(jí)影響的研究相對(duì)較少，但抄襲因素和學(xué)生能力是難度分級(jí)研究中不可忽視的影響因素，故本研究為難度量化分級(jí)提供了更為完善的理論依據(jù)，做出了如下貢獻(xiàn)：

（1）在教學(xué)實(shí)踐中，布置習(xí)題作業(yè)后收到的結(jié)果，受多方面因素影響，使得習(xí)題的情況往往無(wú)法客觀準(zhǔn)確地反映教學(xué)效果的好壞。這些因素包括：①習(xí)題相對(duì)固定，難以避免抄襲；②頻繁更新習(xí)題，質(zhì)量難保證；③使用多樣化的題組，難度難以統(tǒng)一把握。針對(duì)上述問題，筆者設(shè)計(jì)開發(fā)了自定義習(xí)題系統(tǒng)，可以定制題干相同但題目?jī)?nèi)具體數(shù)值不相同的多套習(xí)題。

（2）通過(guò)正確率客觀量化題目難度，排除人為量化題目難度時(shí)專家經(jīng)驗(yàn)、情感等個(gè)人主觀因素的影響，客觀量化題目難度。同時(shí)剔除了抄襲因素對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行卡方檢驗(yàn)，得到抄襲因素對(duì)正確率影響的理性判斷。

（3）探究學(xué)生能力因素對(duì)習(xí)題對(duì)錯(cuò)的影響，作者根據(jù)《電磁場(chǎng)與電磁波》科目特征，對(duì)相關(guān)科目進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，得到針對(duì)《電磁場(chǎng)與電磁波》可以代表學(xué)生能力因素的科目。

（4）綜合考慮抄襲因素對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)正確率的影響和學(xué)生能力因素對(duì)題目對(duì)錯(cuò)的影響，通過(guò)對(duì)各影響因素和題目對(duì)錯(cuò)進(jìn)行回歸性分析，成功建立《電磁場(chǎng)與電磁波》題目難度預(yù)測(cè)模型。

通過(guò)剔除抄襲因素，使被測(cè)樣本數(shù)據(jù)的代表性得到保障。同時(shí)，考慮學(xué)生能力對(duì)難度分級(jí)的影響，使難度預(yù)測(cè)模型更為完善。本文希望通過(guò)以對(duì)《電磁場(chǎng)與電磁波》科目難度預(yù)測(cè)模型的建立為例，給出剔除抄襲因素并考慮學(xué)生能力對(duì)難度分級(jí)影響的更為完善的建模方法。

二、通過(guò)正確率反映題目難度

1.題目難度的概念

《教育測(cè)量與評(píng)價(jià)》一書中將題目的難度定義為被測(cè)試者完成題目（項(xiàng)目）時(shí)所遇到的困難程度[5]。難度具有雙重特性：一是客觀性，難度由其本身的復(fù)雜程度所決定；二是相對(duì)性，難度除了與測(cè)試內(nèi)容本身的難易程度有關(guān)外，還與被測(cè)者的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和測(cè)驗(yàn)的編制技術(shù)有關(guān)。

2.難度的表示方式

反映題目難度的指標(biāo)稱為題目的難度系數(shù)，也簡(jiǎn)稱為題目難度。問題解決者在解決問題的過(guò)程中所花費(fèi)的時(shí)間越長(zhǎng)、正確率越低，說(shuō)明問題越難，反之，則說(shuō)明問題相對(duì)容易[6]。在經(jīng)典測(cè)量理論中，通常以通過(guò)率作為難度指標(biāo)，表示為:

P 表示難度系數(shù)，N 為全體被測(cè)人數(shù)，R 為答對(duì)或通過(guò)該項(xiàng)目的人數(shù)。難度系數(shù)可以理解為“正確率”。故本文中對(duì)難度的定義如下：正確率數(shù)值越大，可以認(rèn)為題目總體越容易，反之，正確率數(shù)值越小，則表示題目難度越大。

三、自定義習(xí)題生成系統(tǒng)

自定義習(xí)題系統(tǒng)是利用python 語(yǔ)言生成所需的LaTeX 源碼，進(jìn)而利用LaTeX 組卷排版生成可定制組數(shù)且各組題型相同、題目中數(shù)值不同的n 組試卷，其中n為定制組數(shù)。該系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)多種功能：①同時(shí)定制題干相同但題目?jī)?nèi)具體數(shù)值不相同的多套習(xí)題；②自動(dòng)生成規(guī)范示意圖；③自動(dòng)計(jì)算參考答案；④自動(dòng)排版。通過(guò)該套系統(tǒng)，在避免學(xué)生作業(yè)抄襲的同時(shí)，也大幅提高了教師的命題效率，并形成標(biāo)準(zhǔn)化的批閱流程和客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)。

四、研究方法和步驟

筆者使用正確率描述題目難度，相關(guān)科目成績(jī)描述學(xué)生能力，假設(shè)通過(guò)難度和學(xué)生能力可以判斷學(xué)生能否做對(duì)相關(guān)習(xí)題。

在研究開始，筆者通過(guò)開發(fā)的自定義習(xí)題系統(tǒng)定制題干相同但題目?jī)?nèi)具體數(shù)值不相同的多套習(xí)題，將該套習(xí)題和傳統(tǒng)習(xí)題分發(fā)給知識(shí)水平相近的兩組學(xué)生完成，得到作業(yè)評(píng)估數(shù)據(jù)的對(duì)錯(cuò)結(jié)果。

圖1 自定義習(xí)題系統(tǒng)生成的三道習(xí)題

如圖1 所示，通過(guò)自定義習(xí)題系統(tǒng)生成三道習(xí)題A1、A2、A3，三道習(xí)題題型、題干相同，但題目?jī)?nèi)具體數(shù)值不相同。

本次課程中，一共進(jìn)行了兩次關(guān)于剔除抄襲因素影響的實(shí)驗(yàn)。試驗(yàn)中學(xué)生分組按照教授該課程教師的不同進(jìn)行分組，每組學(xué)生該課程的授課教師相同。

（1）第一次實(shí)驗(yàn)，一組學(xué)生使用傳統(tǒng)的習(xí)題布置方式；另一組學(xué)生使用定制化習(xí)題系統(tǒng)批量生成習(xí)題方式。

（2）第二次實(shí)驗(yàn)，一組學(xué)生（第一次試驗(yàn)使用定制化習(xí)題系統(tǒng)批量生成習(xí)題方式）使用傳統(tǒng)的習(xí)題布置方式；另一組（第一次試驗(yàn)使用傳統(tǒng)的習(xí)題布置方式）學(xué)生使用定制化習(xí)題系統(tǒng)批量生成習(xí)題方式。

下文將做“題干相同但題目?jī)?nèi)數(shù)值不同”題目的學(xué)生組稱為甲組、做傳統(tǒng)題目的學(xué)生組稱為乙組。

1.抄襲因素的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)與排除

本文將以量化分析和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的研究方法，分析甲組數(shù)據(jù)和乙組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，檢驗(yàn)抄襲因素是否真正對(duì)習(xí)題正確率產(chǎn)生顯著影響，如果有影響，在接下來(lái)的難度估計(jì)模型建模中，只使用剔除抄襲因素影響的數(shù)據(jù)。徐敏在論文中調(diào)查了學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)的情況，并結(jié)合習(xí)題正確率，指出當(dāng)存在抄襲情況時(shí)，習(xí)題正確率會(huì)提高[7]。本文以量化分析和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的研究方法，分析甲組數(shù)據(jù)和乙組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，檢驗(yàn)抄襲因素是否真正對(duì)習(xí)題正確率產(chǎn)生顯著影響。在檢驗(yàn)開始，筆者首先提出以下假設(shè)：①如果存在抄襲，會(huì)使得正確率與不存在抄襲不同；②甲組習(xí)題每題的數(shù)值不同，筆者因此假設(shè)甲組不存在抄襲；③如果甲組和乙組經(jīng)檢驗(yàn)來(lái)自于不同總體，且乙組正確率較甲組高，認(rèn)為乙組存在抄襲行為。

確立了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的前提條件后，筆者對(duì)兩組樣本進(jìn)行卡方檢驗(yàn)，判斷兩組樣本是否來(lái)自同一總體，操作過(guò)程如下：①確立卡方檢驗(yàn)的檢驗(yàn)水準(zhǔn)和檢驗(yàn)假設(shè)；②對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和概率值進(jìn)行求解，并將概率值和檢驗(yàn)水準(zhǔn)進(jìn)行比較，從而對(duì)兩組樣本是否來(lái)自同一總體做出判斷。具體實(shí)現(xiàn)的理論和方法如下：

（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確立檢驗(yàn)水準(zhǔn)

本文中，運(yùn)用卡方檢驗(yàn)的檢驗(yàn)方法，分析兩組樣本數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)性，判斷兩組樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自同一整體。檢驗(yàn)開始，首先要確立檢驗(yàn)假設(shè)和檢驗(yàn)水準(zhǔn)。

以四格表資料為例，見表1，該表統(tǒng)計(jì)了某道題的對(duì)錯(cuò)情況，判斷甲組和乙組的正確率是否有差異。其中a、b、c、d 是兩個(gè)樣本率比較的基本數(shù)據(jù)，R1、R2、C1、C2是R 行、C 列邊緣合計(jì)數(shù)據(jù)。

提出假設(shè)H0和H1，并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)為α。令兩組總體的正確率分別為π1和π2，假設(shè)兩組的總體正確率相同，檢驗(yàn)兩組樣本率是否由于抽樣誤差引起的檢驗(yàn)水準(zhǔn)為0.05。其統(tǒng)計(jì)學(xué)符號(hào)表示為：

H0：π1=π2（甲組和乙組總體正確率相等）

H1:π1≠π2（甲組和乙組總體正確率不等）

α=0.05

表1 卡方檢驗(yàn)數(shù)據(jù)四格表

如果假設(shè)H0成立，則兩組總體正確率相等；如果假設(shè)H1成立，則兩組總體正確率不等。

（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和概率

假設(shè)和檢驗(yàn)水準(zhǔn)確立后，需要對(duì)具體的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和概率P 值進(jìn)行求解。通過(guò)四格表數(shù)據(jù)計(jì)算得出γ2的大小，結(jié)合自由度ν，從而確定概率P。最后將概率P 值和檢驗(yàn)水準(zhǔn)α 進(jìn)行比較，從而對(duì)總體做出判斷。

對(duì)于四格表資料，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2的四格表專用公式為：

四格表的自由度為：ν=（R-1）（C-1）=（2-1）（2-1）=1，式中R 為行數(shù)，C 為列數(shù)。

根據(jù)χ2，在ν=1 的卡方分布曲線下找到比χ2更極端的尾部面積，即為P 值。在四格表的χ2檢驗(yàn)中，其自由度為1，常用的χ2界值是

將概率P 值與α 進(jìn)行比較，P≤α 則拒絕H0，得出兩樣本來(lái)自不同總體的結(jié)論；P＞α，則不拒絕H0，認(rèn)為兩樣本來(lái)自同一整體。

2.難度預(yù)測(cè)模型的建立

選取典型的《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題作為相關(guān)性分析的對(duì)象，將電子與通信技術(shù)學(xué)科學(xué)生部分科目的成績(jī)與 《電磁場(chǎng)與電磁波》 習(xí)題的答題情況進(jìn)行量化分析，得到與習(xí)題之間的聯(lián)系有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的科目。最后對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行l(wèi)ogistics 回歸分析，得到相應(yīng)的回歸系數(shù)，從而建立《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題難度估計(jì)模型。本文通過(guò)二項(xiàng)分類logistic 回歸算法，用logistic 函數(shù)預(yù)測(cè)一個(gè)樣本屬于正樣本的概率值，從而建立難度預(yù)測(cè)模型。模型建立的過(guò)程如下：①作者首先通過(guò)單變量分析從眾多變量中篩掉一些可能無(wú)意義的變量，再將剩余變量構(gòu)建logistic 回歸模型。②模型建立后，作者通過(guò)似然比檢驗(yàn)的算法，對(duì)回歸模型進(jìn)行全局性檢驗(yàn)，從而判斷整個(gè)模型的擬合情況。③最后根據(jù)logistic 回歸參數(shù)估計(jì)方法，用最大似然估計(jì)方法去求模型具體的參數(shù)數(shù)值，從而建立難度估計(jì)模型。具體實(shí)現(xiàn)的理論與方法如下：

（1）單變量分析

考慮到《電磁場(chǎng)與電磁波》科目的內(nèi)容和特點(diǎn)，筆者選取了一些科目的成績(jī)作為能夠代表學(xué)生能力量化指標(biāo)的樣本數(shù)據(jù)。在進(jìn)行l(wèi)ogistic 回歸前，由于變量較多，筆者先通過(guò)單變量分析（卡方檢驗(yàn)）考慮所有自變量和應(yīng)變量之間的關(guān)系，篩掉一些可能無(wú)意義的變量。為了避免遺漏某些重要科目，在分析時(shí)，作者將P 值放寬，定為0.1?？ǚ綑z驗(yàn)中，采用有與無(wú)一個(gè)自變量的-2LL 改變量作為卡方統(tǒng)計(jì)量，具體操作步驟與上文抄襲因素的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)相同。

（2）回歸模型的全局性檢驗(yàn)

回歸模型建立后，需要對(duì)整個(gè)模型的擬合情況做出判斷。以單變量分析篩選后的各科成績(jī)及《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題難度作為自變量，《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題對(duì)錯(cuò)作為應(yīng)變量。在logistic 回歸模型擬合中，可采用似然比檢驗(yàn)進(jìn)行全局性假設(shè)檢驗(yàn)。

設(shè)由m 個(gè)觀察值X1，X2，…，Xm組成的隨機(jī)樣本來(lái)自密度函數(shù)為F（X，βj）的總體，其中βj為未知參數(shù)。要檢驗(yàn)的假設(shè)為：

H1:各βj（j=1，2，…m）不全為0；

檢驗(yàn)水準(zhǔn)為α。

求解似然比統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量的具體步驟如下：①先擬合不包含待檢驗(yàn)因素的Logistic 模型，求對(duì)數(shù)似然函數(shù)值lnL0；②再擬合包含待檢驗(yàn)因素的Logistic 模型，求新的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值lnL1；③最后比較兩個(gè)對(duì)數(shù)似然函數(shù)值的差異，若兩個(gè)模型分別包含1 個(gè)自變量和P 個(gè)自變量，則似然比統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量G 可表示為:

該統(tǒng)計(jì)量服從卡方分布，其自由度為自變量個(gè)數(shù)的改變量。

似然比統(tǒng)計(jì)量取值在0～1 之間，取值大小表示模型的擬合效果，其值越小，越接近于0，說(shuō)明模型擬合效果越好。

（3）求解回歸系數(shù)，建立難度預(yù)測(cè)模型

本研究中，應(yīng)變量Y 為《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題對(duì)錯(cuò)，其分布符合二項(xiàng)分布，對(duì)記為1，錯(cuò)記為0。自變量分別為《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題難度和學(xué)生能力。

根據(jù)logistic 回歸參數(shù)估計(jì)方法，用最大似然估計(jì)方法去求模型的參數(shù)，估計(jì)出在其它自變量固定不變的情況下，每個(gè)自變量對(duì)題目結(jié)果取1 或0 的概率的數(shù)值影響大小。得出自變量所對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)，最終建立出相應(yīng)的難度預(yù)測(cè)模型為：

五、研究結(jié)果與分析

1.剔除抄襲因素

（1）正確率差異分析

經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)取得的部分習(xí)題正確率如表2 所示，從中可以發(fā)現(xiàn)以下現(xiàn)象：①正確率高（高于80%）的習(xí)題中，兩組樣本數(shù)據(jù)正確率差異并不明顯。②正確率適中或偏低（低于80%）的習(xí)題中，兩組樣本數(shù)據(jù)正確率存在明顯差異。

根據(jù)上述現(xiàn)象，我們做出以下判斷：①對(duì)于正確率高（高于80%）的習(xí)題，學(xué)生發(fā)生習(xí)題抄襲行為的概率小。②對(duì)于正確率適中或偏低（低于80%）的習(xí)題，學(xué)生發(fā)生習(xí)題抄襲行為的概率更大。

（2）卡方檢驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

以《電磁場(chǎng)與電磁波》某一習(xí)題數(shù)據(jù)為例，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行卡方檢驗(yàn)，判斷兩組樣本是否來(lái)自同一整體。得到表3 和表4：①由表3 可知報(bào)告記錄缺失值情況，本例中180 個(gè)數(shù)據(jù)皆為有效值，無(wú)缺失值。②由表4 可知，χ2=35.434，P=0.000；似然卡方比值為35.731，P＜0.05，在0.05 檢驗(yàn)水準(zhǔn)下拒絕H0，說(shuō)明兩組數(shù)據(jù)樣本來(lái)自不同的總體，甲組和乙組的正確率差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

對(duì)于正確率適中或偏低（低于80%）的習(xí)題，使用相同數(shù)據(jù)的題目，正確率會(huì)高于使用不同數(shù)據(jù)的題目。正確率高的數(shù)據(jù)樣本來(lái)自乙組，正確率低的數(shù)據(jù)樣本來(lái)自甲組。

由上述分析可得，在0.05 的檢驗(yàn)水準(zhǔn)下，甲組和乙組經(jīng)檢驗(yàn)來(lái)自于不同總體，且乙組正確率較甲組高，故認(rèn)為乙組存在抄襲行為。

表2 部分習(xí)題正確率

表3 案例處理結(jié)果

表4 卡方檢驗(yàn)結(jié)果

2.學(xué)生能力因素的分析結(jié)果

在將每個(gè)變量放入難度估計(jì)模型前，采用單變量檢驗(yàn)的方法，檢驗(yàn)上述各科目與《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題對(duì)錯(cuò)之間有無(wú)聯(lián)系。將典型習(xí)題對(duì)錯(cuò)結(jié)果作為應(yīng)變量，各科目成績(jī)作為自變量，通過(guò)多次的關(guān)聯(lián)性分析，得出《高等數(shù)學(xué)下》與《大學(xué)物理下》兩門課程與《電磁場(chǎng)與電磁波》關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的結(jié)論。

經(jīng)過(guò)整理得出，在檢驗(yàn)水準(zhǔn)α=0.10 下，《電磁場(chǎng)與電磁波》部分典型題目與《高等數(shù)學(xué)下》和《大學(xué)物理下》兩門課程的關(guān)聯(lián)性情況如表5 所示。

表5 典型習(xí)題對(duì)錯(cuò)關(guān)聯(lián)性分析結(jié)果

由該結(jié)果可初步認(rèn)為，在0.10 的檢驗(yàn)水準(zhǔn)下，變量《高等數(shù)學(xué)下》成績(jī)、《大學(xué)物理下》成績(jī)與應(yīng)變量之間的聯(lián)系具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

3.難度估計(jì)模型建立

（1）在表6 中，Model 一行可以看到logistic 回歸模型中所有參數(shù)是否均為0 的似然比檢驗(yàn)結(jié)果。P＜0.1 表示本次擬合的模型中，至少有一個(gè)變量的OR 值有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，即模型總體有意義。故《高等數(shù)學(xué)下》成績(jī)、《大學(xué)物理下》成績(jī)、題目難度對(duì)學(xué)生能否做對(duì)《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題有顯著影響。

（2）在模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，P=0.444，P 值不小于檢驗(yàn)水準(zhǔn)，即P＞0.1，故我們認(rèn)為當(dāng)前數(shù)據(jù)中的信息已經(jīng)被充分提取，模型擬合優(yōu)度較高。

（3）由表7 可知，由3 個(gè)自變量獲得了logistic 回歸概率預(yù)測(cè)模型，且這3 個(gè)變量都有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。令《高等數(shù)學(xué)下》成績(jī)?yōu)锳、《大學(xué)物理下》成績(jī)?yōu)锽、習(xí)題難度為C。A、B、C 所對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)分別為：0.020、0.014、4.584。結(jié)合上文公式和數(shù)據(jù)可建立預(yù)測(cè)模型為：

表6 模型系數(shù)的綜合檢驗(yàn)

表7 參數(shù)估計(jì)值

六、結(jié)論

本文運(yùn)用量化分析和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的研究方法以及對(duì)比測(cè)試的研究方法，對(duì)《電磁場(chǎng)與電磁波》習(xí)題難度估計(jì)模型的建立進(jìn)行了較為深入的研究，現(xiàn)將本文研究結(jié)論總結(jié)如下：

通過(guò)正確率客觀量化題目難度，排除人為量化題目難度時(shí)專家經(jīng)驗(yàn)、情感等個(gè)人主觀因素的影響，客觀量化題目難度。通過(guò)開發(fā)的自定義習(xí)題生成系統(tǒng)布置《電磁場(chǎng)與電磁波》課程習(xí)題，可以排除抄襲因素對(duì)難度的影響，使得對(duì)題目難度的研究更為客觀。

對(duì)于《電磁場(chǎng)與電磁波》這門理論性、系統(tǒng)性強(qiáng)的課程，可以通過(guò)《高等數(shù)學(xué)下》和《大學(xué)物理下》的成績(jī)代表學(xué)生的能力?！峨姶艌?chǎng)與電磁波》 課程涉及大量數(shù)學(xué)計(jì)算，并與《大學(xué)物理》中“電磁學(xué)”知識(shí)緊密聯(lián)系，因此，理論分析和具體事例都說(shuō)明本文提出的學(xué)生能力代表方式具有可取之處。

最后，通過(guò)排除抄襲因素實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的正確率、被試者《高等數(shù)學(xué)下》和《大學(xué)物理下》成績(jī)得出《電磁場(chǎng)與電磁波》課程難度估計(jì)模型。該模型可以運(yùn)用在高等院校電子與通信技術(shù)學(xué)科、物理學(xué)學(xué)科、數(shù)學(xué)相關(guān)科目的習(xí)題布置中，幫助教師針對(duì)不同的教學(xué)目的布置難度適宜的習(xí)題。

受條件和時(shí)間所限，本研究存在以下可以提高之處：研究中涉及很多變量，雖然考慮到了對(duì)無(wú)關(guān)變量的控制，但在實(shí)際操作中無(wú)法完全控制無(wú)關(guān)變量的影響。同時(shí)，受數(shù)據(jù)數(shù)量獲取的限制，雖然數(shù)據(jù)基本符合研究對(duì)樣本的要求，但如果能夠增加樣本的數(shù)量，則可以使本文的研究質(zhì)量得到進(jìn)一步提高。