王 歡，趙立純,，劉敬娜

(1.遼寧師范大學 數(shù)學學院,遼寧 大連 116029,2.鞍山師范學院 數(shù)學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007)

Hopf分岔是指當分岔參數(shù)發(fā)生變化且經(jīng)過分岔值時，從平衡狀態(tài)產(chǎn)生孤立的周期運動的現(xiàn)象[1]，它作為動態(tài)分岔的一種，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物模型、機械工程、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等得到了廣泛應用.如周帥，肖敏等人[2]將Hopf分岔理論應用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，建立了一種非對稱雙環(huán)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型，并選擇單環(huán)的時滯和為分岔參數(shù)，利用Hopf分岔理論，得到了雙環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件和分岔判據(jù)，為深入了解神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)行為機理奠定基礎(chǔ)；張麗娟，王福昌等人[3]應用Hopf分岔理論，對帶有擴散和時滯效應的傳染病模型進行分析，得出了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的條件以及擴散導致不穩(wěn)定、時滯導致失穩(wěn)的條件，為預測疾病的爆發(fā)提供了參考；蔣超，楊強等人[4]將Hopf分岔理論應用于機械工程中，建立了雙質(zhì)體振動機系統(tǒng)的動力學方程，對系統(tǒng)進行沖失濾波控制，并利用Hopf分岔定理，給出了Hopf分岔臨界位置和線性增益之間的關(guān)系、非線性增益與極限環(huán)幅值的關(guān)系，為振動器械的設(shè)計與控制提供依據(jù)；Chol-ung Choe等人[5]將Hopf分岔理論應用于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，采用多尺度法和主穩(wěn)定函數(shù)法，給出了網(wǎng)絡(luò)中時滯耦合穩(wěn)定軌道的判據(jù)，為維持網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定提供一定參考.

在蚜蟲生態(tài)系統(tǒng)中，蚜蟲及捕食性天敵種群呈消長動態(tài)規(guī)律，即隨著天敵種群數(shù)量的增長，蚜蟲數(shù)量隨之下降，其后天敵數(shù)量隨蚜蟲的減少而降低，進而隨著天敵種群數(shù)量減少，蚜蟲種群數(shù)量上升[6].上述消長過程可能導致蚜蟲種群數(shù)量超過危害作物的程度，如果此危害發(fā)生在灌漿期，可以通過改變Hopf分岔位置將消長過程移至灌漿期前或延遲到灌漿期后.針對此現(xiàn)象，本文基于具有時滯效應的蚜蟲種群模型，建立相應的控制模型，根據(jù)Hopf分岔理論，設(shè)計控制器以避免蚜蟲種群的爆發(fā).

1 模型建立與分析

考慮以下蚜蟲種群模型[7]

(1)

其中x為蚜蟲種群密度，a是出生率減死亡率，b/2c是閾值密度.

考慮氣候、自然天敵、蚜蟲種群自身代謝等諸多因素對蚜蟲種群數(shù)量的影響，魏雪瑩等用以下時滯模型表示環(huán)境對蚜蟲種群的調(diào)節(jié)作用：

(2)

其中a0(>0)為時滯參數(shù)，m為常量.

(3)

結(jié)合模型(2)和(3)，得

(4)

(5)

實際上，模型(5)中的r1刻畫的是環(huán)境對蚜蟲種群的影響程度，為此本文將其作為模型的主要參數(shù)，利用Hopf分岔理論，確定系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的臨界位置，具體過程如下:

(6)

模型(6)在O(0，0，0)處的Jacobian矩陣為

相應的特征方程為

f(λ)=|λE-J|=

特征根為

由模型發(fā)生Hopf分岔的條件，來確定模型(5)發(fā)生Hopf分岔的條件.

(ⅰ)特征方程特征根實部為零，根據(jù)此條件r1應滿足如下式子:

(ⅱ)特征方程有一對虛特征根，根據(jù)此條件r1應滿足如下式子:

(ⅲ)特征根實部對參數(shù)的導數(shù)不為零，根據(jù)此條件r1應滿足如下式子:

綜上所述，得定理1.

如果系統(tǒng)的Hopf分岔行為發(fā)生在農(nóng)作物的灌漿期內(nèi)，可能會危害農(nóng)作物的生長，為此，通過設(shè)計控制器使Hopf分岔移到灌漿期前或延遲到灌漿期后.

2 控制器設(shè)計

對模型(5)，如果蚜蟲種群的生存環(huán)境不能調(diào)節(jié)蚜蟲種群密度時，可采用人工調(diào)節(jié)天敵數(shù)量的方法對其進行控制，相應表達式為

(7)

其中z是天敵種群的密度，α是其吸收率，d是其自然死亡率.

由(7)得

(8)

(9)

結(jié)合模型(5)和模型(9)得具有沖失濾波器的蚜蟲種群控制模型

(10)

對模型(10)，仍對平衡點A*(x*，y*，w*)進行分析.為了研究線性控制對Hopf分岔位置的影響，對于模型(10)，設(shè)

u=p1(x-dw)，

(11)

對式(10)作變換x1=x-x*，y1=y-y*，w1=w-w*，得

(12)

模型(12)在O(0,0,0)處的Jacobian矩陣為

相應的特征方程為

f(λ)=|λE-J|=λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

其中

記Δ1=a1，Δ2=a1a2-a3.

根據(jù)文獻[1]，滿足以下條件時模型(10)產(chǎn)生Hopf分岔：

(ⅰ)滿足Δ1=a1>0，根據(jù)此條件r1應滿足

(13)

(ⅱ)滿足Δ2=a1a2-a3=0，根據(jù)此條件r1應滿足

(14)

其中A=3c(x*)2-2bx*+r1mx*-a.

(15)

綜上所述，得定理2.

定理2對模型(10)，如果控制u=p1(x1-dw1)，滿足式(13)，(14)，(15)，則模型仍存在Hopf分岔，但Hopf分岔臨界位置發(fā)生改變.

注由式(14)知，可通過調(diào)節(jié)線性控制增益p1來確定Hopf分岔位置，其中，p1>0時可將Hopf分岔位置前移，p1<0時可將其后移，從而使蚜蟲種群的最大值發(fā)生在農(nóng)作物灌漿期之外，以減少對農(nóng)作物的危害.

3 數(shù)值仿真

圖1 模型(5)控制前后的相平面圖