王 歡，趙立純,，劉敬娜

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029,2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

Hopf分岔是指當(dāng)分岔參數(shù)發(fā)生變化且經(jīng)過(guò)分岔值時(shí)，從平衡狀態(tài)產(chǎn)生孤立的周期運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象[1]，它作為動(dòng)態(tài)分岔的一種，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物模型、機(jī)械工程、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等得到了廣泛應(yīng)用.如周帥，肖敏等人[2]將Hopf分岔理論應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，建立了一種非對(duì)稱雙環(huán)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型，并選擇單環(huán)的時(shí)滯和為分岔參數(shù)，利用Hopf分岔理論，得到了雙環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件和分岔判據(jù)，為深入了解神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為機(jī)理奠定基礎(chǔ)；張麗娟，王福昌等人[3]應(yīng)用Hopf分岔理論，對(duì)帶有擴(kuò)散和時(shí)滯效應(yīng)的傳染病模型進(jìn)行分析，得出了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的條件以及擴(kuò)散導(dǎo)致不穩(wěn)定、時(shí)滯導(dǎo)致失穩(wěn)的條件，為預(yù)測(cè)疾病的爆發(fā)提供了參考；蔣超，楊強(qiáng)等人[4]將Hopf分岔理論應(yīng)用于機(jī)械工程中，建立了雙質(zhì)體振動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行沖失濾波控制，并利用Hopf分岔定理，給出了Hopf分岔臨界位置和線性增益之間的關(guān)系、非線性增益與極限環(huán)幅值的關(guān)系，為振動(dòng)器械的設(shè)計(jì)與控制提供依據(jù)；Chol-ung Choe等人[5]將Hopf分岔理論應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，采用多尺度法和主穩(wěn)定函數(shù)法，給出了網(wǎng)絡(luò)中時(shí)滯耦合穩(wěn)定軌道的判據(jù)，為維持網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定提供一定參考.

在蚜蟲(chóng)生態(tài)系統(tǒng)中，蚜蟲(chóng)及捕食性天敵種群呈消長(zhǎng)動(dòng)態(tài)規(guī)律，即隨著天敵種群數(shù)量的增長(zhǎng)，蚜蟲(chóng)數(shù)量隨之下降，其后天敵數(shù)量隨蚜蟲(chóng)的減少而降低，進(jìn)而隨著天敵種群數(shù)量減少，蚜蟲(chóng)種群數(shù)量上升[6].上述消長(zhǎng)過(guò)程可能導(dǎo)致蚜蟲(chóng)種群數(shù)量超過(guò)危害作物的程度，如果此危害發(fā)生在灌漿期，可以通過(guò)改變Hopf分岔位置將消長(zhǎng)過(guò)程移至灌漿期前或延遲到灌漿期后.針對(duì)此現(xiàn)象，本文基于具有時(shí)滯效應(yīng)的蚜蟲(chóng)種群模型，建立相應(yīng)的控制模型，根據(jù)Hopf分岔理論，設(shè)計(jì)控制器以避免蚜蟲(chóng)種群的爆發(fā).

1 模型建立與分析

考慮以下蚜蟲(chóng)種群模型[7]

(1)

其中x為蚜蟲(chóng)種群密度，a是出生率減死亡率，b/2c是閾值密度.

考慮氣候、自然天敵、蚜蟲(chóng)種群自身代謝等諸多因素對(duì)蚜蟲(chóng)種群數(shù)量的影響，魏雪瑩等用以下時(shí)滯模型表示環(huán)境對(duì)蚜蟲(chóng)種群的調(diào)節(jié)作用：

(2)

其中a0(>0)為時(shí)滯參數(shù)，m為常量.

(3)

結(jié)合模型(2)和(3)，得

(4)

(5)

實(shí)際上，模型(5)中的r1刻畫(huà)的是環(huán)境對(duì)蚜蟲(chóng)種群的影響程度，為此本文將其作為模型的主要參數(shù)，利用Hopf分岔理論，確定系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的臨界位置，具體過(guò)程如下:

(6)

模型(6)在O(0，0，0)處的Jacobian矩陣為

相應(yīng)的特征方程為

f(λ)=|λE-J|=

特征根為

由模型發(fā)生Hopf分岔的條件，來(lái)確定模型(5)發(fā)生Hopf分岔的條件.

(ⅰ)特征方程特征根實(shí)部為零，根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足如下式子:

(ⅱ)特征方程有一對(duì)虛特征根，根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足如下式子:

(ⅲ)特征根實(shí)部對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為零，根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足如下式子:

綜上所述，得定理1.

如果系統(tǒng)的Hopf分岔行為發(fā)生在農(nóng)作物的灌漿期內(nèi)，可能會(huì)危害農(nóng)作物的生長(zhǎng)，為此，通過(guò)設(shè)計(jì)控制器使Hopf分岔移到灌漿期前或延遲到灌漿期后.

2 控制器設(shè)計(jì)

對(duì)模型(5)，如果蚜蟲(chóng)種群的生存環(huán)境不能調(diào)節(jié)蚜蟲(chóng)種群密度時(shí)，可采用人工調(diào)節(jié)天敵數(shù)量的方法對(duì)其進(jìn)行控制，相應(yīng)表達(dá)式為

(7)

其中z是天敵種群的密度，α是其吸收率，d是其自然死亡率.

由(7)得

(8)

(9)

結(jié)合模型(5)和模型(9)得具有沖失濾波器的蚜蟲(chóng)種群控制模型

(10)

對(duì)模型(10)，仍對(duì)平衡點(diǎn)A*(x*，y*，w*)進(jìn)行分析.為了研究線性控制對(duì)Hopf分岔位置的影響，對(duì)于模型(10)，設(shè)

u=p1(x-dw)，

(11)

對(duì)式(10)作變換x1=x-x*，y1=y-y*，w1=w-w*，得

(12)

模型(12)在O(0,0,0)處的Jacobian矩陣為

相應(yīng)的特征方程為

f(λ)=|λE-J|=λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

其中

記Δ1=a1，Δ2=a1a2-a3.

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，滿足以下條件時(shí)模型(10)產(chǎn)生Hopf分岔：

(ⅰ)滿足Δ1=a1>0，根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足

(13)

(ⅱ)滿足Δ2=a1a2-a3=0，根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足

(14)

其中A=3c(x*)2-2bx*+r1mx*-a.

(15)

綜上所述，得定理2.

定理2對(duì)模型(10)，如果控制u=p1(x1-dw1)，滿足式(13)，(14)，(15)，則模型仍存在Hopf分岔，但Hopf分岔臨界位置發(fā)生改變.

注由式(14)知，可通過(guò)調(diào)節(jié)線性控制增益p1來(lái)確定Hopf分岔位置，其中，p1>0時(shí)可將Hopf分岔位置前移，p1<0時(shí)可將其后移，從而使蚜蟲(chóng)種群的最大值發(fā)生在農(nóng)作物灌漿期之外，以減少對(duì)農(nóng)作物的危害.

3 數(shù)值仿真

圖1 模型(5)控制前后的相平面圖