丁學(xué)成 馮曉敏

(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 河北 保定 071002)

1 引言

力學(xué)課程是物理學(xué)及相關(guān)專業(yè)學(xué)生的基礎(chǔ)課，也是學(xué)生步入大學(xué)后的第一門物理課程，部分學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難，特別是剛體力學(xué)部分，中學(xué)與大學(xué)學(xué)習(xí)方法不同以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱是困擾學(xué)生的兩個(gè)主要因素. 通過多年講授力學(xué)課程發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱這一因素更為關(guān)鍵，學(xué)生本來對(duì)定積分就比較陌生，到學(xué)習(xí)計(jì)算剛體的質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦力矩時(shí)，所給定義式為三重或二重積分的形式，考慮到學(xué)生沒有學(xué)習(xí)多重積分，而在例題和習(xí)題中只計(jì)算一些簡(jiǎn)單的定積分，即通過合理選取體元或面元將三重或二重積分簡(jiǎn)化成定積分[1～3]. 但對(duì)在何種條件下，如何選取體元或面元才能將三重積分或二重積分的定義式簡(jiǎn)化成定積分來計(jì)算沒有詳細(xì)的解題過程，致使學(xué)生理解不到位，只能采用“模仿式”的方法做題，遇到?jīng)]見過相類似的例題時(shí)就束手無策了. 另外，在定積分的計(jì)算過程中，有時(shí)用直角坐標(biāo)，有時(shí)用柱坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系，學(xué)生對(duì)如何選取合適的坐標(biāo)系進(jìn)行積分也感到困難.

本文從物理概念出發(fā)，結(jié)合截面積分法和二次積分法，并考慮到不同坐標(biāo)系下體元或面元的具體表示形式，實(shí)現(xiàn)了三重或二重積分的定義到定積分計(jì)算的銜接.

2 計(jì)算剛體質(zhì)心位置過程中體元的選取方法

剛體質(zhì)心位置rc的定義式為

(1)

其中dV為質(zhì)元的體積，ρ為剛體dV處的密度，r是質(zhì)元dV的位置矢量. 在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)心位置坐標(biāo)記作xc,yc和zc，dV寫成dxdydz[4]，則有

(2)

就數(shù)學(xué)而言，式(2)是3個(gè)三重積分，三重積分計(jì)算常用的方法有三次積分法、投影法(“先一后二”法)和截面法(“先二后一”法)，其中截面法是一種計(jì)算三重積分的最簡(jiǎn)單、最快速的方法[5]，將此方法應(yīng)用到剛體質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算中，使積分過程變得非常簡(jiǎn)單.

先來介紹一下截面法，設(shè)空間閉區(qū)域

V=(x,y,z)|c≤z≤d,(x,y)∈Dz

則有

(3)

如果在被積區(qū)域內(nèi)被積函數(shù)僅是z的函數(shù)，則

(4)

其中σ(z)為截面的面積，記作面元，把σ(z)dz記作體元.

力學(xué)中計(jì)算質(zhì)心時(shí)，一般只需要計(jì)算一個(gè)分量，另外兩個(gè)分量可以根據(jù)對(duì)稱性求出[1]，并且密度ρ多為常數(shù)或僅隨需要積分這個(gè)坐標(biāo)變化，例如需要通過積分得到xc，則密度ρ僅是x的函數(shù)，即ρ=ρ(x). 以需要計(jì)算xc為例，則式(2)中分子的被積函數(shù)可以寫成fx=xρ(x)僅是x的函數(shù)，分母被積函數(shù)ρ也只是x的函數(shù)，則有

(5)

面元σ(x)是垂直于坐標(biāo)軸x的平面，或者說σ(x)內(nèi)各點(diǎn)的x值相等，x是體元σ(x)dx的位置，這與質(zhì)心位置定義式中坐標(biāo)x是體元dV的坐標(biāo)相一致.

則

圖1 圓錐體體元示意圖

由式(5)得

(6)

根據(jù)對(duì)稱性可以得到

yc=zc=0

如果密度ρ為常數(shù)，則式(5)可以簡(jiǎn)寫成

(7)

3 計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量過程中體元的選取方法

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的體元選取方法和質(zhì)心位置計(jì)算相似，但是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和無滑滾動(dòng)都需要圓柱體對(duì)柱體軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.由于圓柱體的積分側(cè)面為柱面，一般用柱坐標(biāo)積分比較方便.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的定義式為

I=?Vr2ρdV

其中r為軸到dV的距離，ρ為dV處的密度，在柱坐標(biāo)系下dV=rdθdrdz. 如果密度ρ僅是r的函數(shù)，可以看出，在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式中被積函數(shù)fθ,r,z=r2ρ(r)僅是r的函數(shù)，則可以采用截面法進(jìn)行積分，這時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式可以寫成

(8)

其中R為圓柱體半徑，σ(r)為截面的面積，記作面元，把σ(r)dr記作體元.

例如求半徑為R，高為h，密度ρ=ρr(r≤R)的圓柱體對(duì)柱體軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 在距軸線為r處，取一厚度為dr,高為h的薄圓筒作為體元，如圖2所示. 可以看出，σr=2πrh,則

(9)

圖2 圓柱體體元示意圖

若密度ρ為常數(shù)，則

其中m=ρπR2h為圓柱體的質(zhì)量.

4 計(jì)算摩擦力矩過程中面元的選取方法

質(zhì)點(diǎn)所受力矩M的定義式為M=r×F，其中r為從軸或點(diǎn)(參考點(diǎn))到力的作用點(diǎn)的矢量，F(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)受到的合外力. 假設(shè)力均勻分布在一個(gè)平面內(nèi)，任一面元所受摩擦力為df，r為從軸或點(diǎn)指向df的作用點(diǎn)的矢量，設(shè)受力區(qū)域(積分區(qū)域)為S，則整個(gè)平面受到力矩M可以寫成

M=?Sr×df

(10)

要想把式(10)的積分結(jié)果計(jì)算出來，首先將矢量積分變成標(biāo)量積分，這就要求所有矢量元(r×df)的方向相同或?qū)ζ溥M(jìn)行分解，典型習(xí)題為摩擦力矩的計(jì)算.

例如將一半徑為R，面密度為σ的薄圓盤放在摩擦系數(shù)為μ的水平桌面上，求其繞垂直于桌面的中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的摩擦力矩. 整個(gè)圓盤各點(diǎn)均受到摩擦力，若圓盤按如圖3所示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，盤上各點(diǎn)的摩擦力矩均垂直于圖面指向外，并且r⊥df，df可以寫成df=μgσdS，因此可以將式(10)矢量積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分，有

M=?Srdf=?SrμgσdS

(11)

圖3 圓盤面元示意圖

本題的積分區(qū)域?yàn)閳A域，一般采用極坐標(biāo)比較方便，在極坐標(biāo)情況下，面元dS=rdθdr，并且被積函數(shù)fθ,r=fr，僅是r的函數(shù)，二重積分可以變成二次積分

(12)

針對(duì)本例題，fr=rμgσ，Ar=2πr，代入到式(11)得

其中m為圓盤的質(zhì)量. 如果面密度σ和摩擦因數(shù)μ是r(r≤R)的函數(shù)，式(12)仍然適用.

5 結(jié)束語

利用三重積分的截面法和二重積分的二次積分法，實(shí)現(xiàn)了用三重或二重積分定義的定義式到定積分計(jì)算的銜接. 并注意到積分區(qū)域的側(cè)面為柱面時(shí)，使用柱坐標(biāo)比較方便；而積分區(qū)域?yàn)閳A域時(shí)，使用極坐標(biāo)比較方便. 并通過例題詳細(xì)討論了用三重或二重積分定義的定義式到定積分計(jì)算的取元和解題過程.