(上饒中學， 江西 上饒 334000)

心理學認為聯(lián)想是通過感知目前的事物想起與之相關(guān)的其他事物的現(xiàn)象。在數(shù)學解題過程中，聯(lián)想是一種幫助我們建立數(shù)學對象與有關(guān)知識間聯(lián)系的橋梁。而人們在對事物發(fā)生認識時，聯(lián)想思維是會在事物聯(lián)系的基礎(chǔ)上，形成一種由此及彼的思維活動，它在這過程中起著至關(guān)重要的關(guān)聯(lián)作用。在探索一些未明的知識時，腦海中已有的知識會和這些知識發(fā)生關(guān)聯(lián)，進而解決這些問題。在解決數(shù)學問題的過程中，需要先分析題目中已知的條件和想要得到的結(jié)果，進而思索到可以使用的法則、定理、公式，并在此基礎(chǔ)上尋得解題的方法。文獻[1-4]對中學數(shù)學如何解題進行了分析,文獻[5]對如何教和學數(shù)學進行了討論。本文將對中學數(shù)學中聯(lián)想思維的培養(yǎng)方式及作用進行深入的研究。

1 中學數(shù)學題解題過程中聯(lián)想思維法的作用

1.1 能使數(shù)學問題化表為里

數(shù)學知識是由很多基礎(chǔ)知識構(gòu)成的，但很多時候，解決問題的要點就在于這些基礎(chǔ)知識上。

1.2 能使數(shù)學問題化繁為簡

在解析幾何中，書本上定義了平面上兩點A(x1,y2),B(x1,y2)的距離:

1.3 能使數(shù)學問題化堵為暢

愛因斯坦認為：科學研究最可貴的要素之一是直覺思維，與之類似的，直覺思維在解決數(shù)學問題時能幫助聯(lián)想思維源源不斷地涌出，使得我們在詳細地分析問題后，不需要完整的推理，就能夠觸及問題的實質(zhì)，進而能夠預判?？梢哉f聯(lián)想是靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的。當然，在碰到一些難以下手的數(shù)學問題時，我們也需要靠聯(lián)想思維產(chǎn)生的靈感來將原本受阻的題目解決。

例2已知

首先我們能很快看出這是一道在已知三者(a,b,c)關(guān)系的基礎(chǔ)上，要求三者之間比例的題目。

最后，我們再通過觀察這個方程還有個根是1。故根據(jù)此思想,由韋達定理得到：

通過例2，我們可以發(fā)現(xiàn)在求解一些數(shù)學問題時,在聯(lián)想思維的啟發(fā)下，馬上就能水落石出,撥云見日。

上述例子告訴我們，聯(lián)想思維在解決數(shù)學問題中發(fā)揮著重要的作用。但聯(lián)想思維并不是憑空而來的，是需要在具體解題中培養(yǎng)出來的。如何培養(yǎng)學生的聯(lián)想思維解決數(shù)學問題是數(shù)學老師的主要任務之一。但學生之間，教學內(nèi)容之間都存在著巨大的差異，要因材施教，我們要使用不同的教學方法。那么，怎樣的教學才是有效的呢？下面介紹幾種方法。

2 在中學數(shù)學解題過程中培養(yǎng)聯(lián)想思維的方法

聯(lián)想法拉近了數(shù)學題目中條件和結(jié)論的關(guān)系，它在解中學數(shù)學題時起著承上啟下的作用。由于中學生思維發(fā)展還不太成熟，也就不能全面地看待問題。因此，我們需要合理地引導學生在解題時使用聯(lián)想思維，把問題簡單化。

2.1 舉一反三，拓寬聯(lián)想的空間

聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的先導。猜想則是在直覺的引導下產(chǎn)生的結(jié)果。而直覺是一種不需要在腦中進行復雜地思索，就能快速關(guān)聯(lián)和整合已知的零星、單獨的信息的一種思維活動，每個人關(guān)聯(lián)和整合的能力各不相同，取決于個人的聯(lián)想空間。因此，我們需要經(jīng)常引導學生聯(lián)想自己將要面臨的問題。

看到例題，我們能很快發(fā)現(xiàn)等式結(jié)構(gòu)和三角不等式非常相似，在此基礎(chǔ)上，我們可以聯(lián)想到

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosx·cosy。

再由f(x)聯(lián)想到cosx,又由cos(π/2)聯(lián)想到f(a/2)=0，最后，我們就能猜想π是類似于a，f(x)則是以2a為周期的函數(shù)。由此我們可以看出，合適的聯(lián)想帶來的直覺常?？梢詭椭覀兏斓亟鉀Q問題。這給我們數(shù)學教學帶來啟示——在教學中應充分注重培養(yǎng)學生思維的形式。

2.2 啟迪直覺，探求數(shù)學美

數(shù)學簡單性、對稱性、統(tǒng)一性就是我們常說的數(shù)學美。我們在做題時如果能夠?qū)?shù)學問題的特征與數(shù)學美感相結(jié)合，大腦就能在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上不假思索地產(chǎn)生審美直覺，幫助我們大致地確定解題的基本方向。

例4如實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3。那么y/x的最大值是多少？

圖1 y/x與直線y/kx的關(guān)系

3 幾種常用的聯(lián)想思維方法的應用

聯(lián)想思維是求解數(shù)學題的基本思考方法之一。已知和未知間的聯(lián)想就是解決數(shù)學問題思維本質(zhì)。但這種聯(lián)想并不能清楚地推理出，因此，我們在解題時，需要先進行觀察，有時還需要畫出相應的示意圖，再根據(jù)條件聯(lián)想到與解題相關(guān)的解題方法，進而找出條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終得到解題的思路。下面舉例說明。

3.1 貼近聯(lián)想

從問題或者問題中的部分想象到與之同樣或相近的思維方法叫做接近聯(lián)想。例如，從“雙曲線上的點到兩個焦點的距離”聯(lián)想到使用“雙曲線的定義”。

例5設雙曲線x2-y2=1的兩個焦點分別為A1、A2，點P在雙曲線上，且滿足∠A1PA2=900，則ΔA1PA2的面積是( )?A．1 B．2 C．3 D. 4

(1)通過分析可以看到：點P到兩焦點A1和A2距離是ΔA1PA2上的兩邊PA1和PA2。(2)可以聯(lián)想到：雙曲線的定義(接近聯(lián)想),|m-n|=2a(設|PA1|=m,|PA2|=n)。(3)可以看到：ΔA1PA2是直角三角形，問題與其三邊有關(guān)。(4)進一步聯(lián)想到：勾股定理：m2+n2=(2c)2(貼近聯(lián)想)。(5)可以看到：結(jié)論是求S=m·n。(6)最后聯(lián)想到：把|m-n|=2a平方，可出現(xiàn)mn，再利用2m+2n=2(2c)，即得，m·n的值。從而得到選項A的結(jié)果。

3.2 相近聯(lián)想

通過問題中的條件或結(jié)論，聯(lián)想到與它相似的知識并解決問題的方法叫做相似聯(lián)想。如，(1)看到x+y+z=xyz形式的式子，聯(lián)想到在非直角△ABC中：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,從而設x=tanA,y=tanB,z=tanC來解題；(2)看到“a2+b2”聯(lián)想到“復數(shù)的?！薄肮垂啥ɡ怼薄包c(a,b)到原點的距離”“圓的方程x2+y2=r2”，并利用這些知識來解決這個問題，等等。

3.3 反向聯(lián)想

具有對立關(guān)系的數(shù)學對象之間的聯(lián)想叫做逆向聯(lián)想。如果碰到難以想到對立面的復雜結(jié)論，我們就需要對此結(jié)論的對立面進行分析、化簡，進而解決問題。例如，由“x>0”聯(lián)想到“x≤0”；由“至少有一個實根”聯(lián)想到“無實根”；由“同一平面內(nèi)兩條直線相交平行”聯(lián)想到“同一平面內(nèi)兩條直線相交”等。

例6已知在三個方程x2+4ax+3-4a=0,x2+(a-1)x+a2,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，求實數(shù)a的取值范圍？

分析：結(jié)論中的“三個方程中至少有一個方程有實根”，如果直接解就要各種類別討論，情況較多，容易遺漏。此時聯(lián)想到它的“反面”。由此把問題轉(zhuǎn)化為：“三個方程全無實根”易解決，即：Δ1<0且Δ2<0且Δ3<0，解得-1

4 總結(jié)

在傳授學生解題方法時，為了幫助學生理解知識，激發(fā)學生的積極性，需要盡可能地鼓勵學生通過不同的角度進行聯(lián)想。但培養(yǎng)聯(lián)想能力光這樣還不夠，擁有踏實的基礎(chǔ)知識和基本技能也是必要條件，否則與問題相似的知識很難在腦中被搜索出來。