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        借助二次函數(shù)圖像解不等式

        2019-12-26 05:48:30文陶建燕
        初中生世界 2019年47期
        關鍵詞:拋物線

        文陶建燕

        (作者單位:江蘇省南京市江寧區(qū)銅井初級中學)

        文陶建燕

        我們知道,函數(shù)、方程、不等式之間存在聯(lián)系,研究三者之間的聯(lián)系繞不開對函數(shù)圖像的研究,今天我們來“透過現(xiàn)象看本質”,借助函數(shù)圖像解不等式。

        例1已知:如圖1,拋物線y=x2-2x-3。

        (1)求該拋物線與x軸的交點A,B的坐標。

        (2)x取何值時,y>0?

        圖1

        追問:結合圖像,你能描述(1)(2)在函數(shù)圖像中的意義嗎?

        【解析】(1)求二次函數(shù)的圖像與x軸交點坐標,只需令y=0,將二次函數(shù)轉化為一元二次方程x2-2x-3=0,求出方程的解x1=3,x2=-1,即交點坐標為A(-1,0),B(3,0);或者將x軸看成直線y=0,只需求方程組的解即可。

        (2)我們知道,只要令y>0,即可將二次函數(shù)轉化為不等式x2-2x-3>0,可如何解這個不等式呢?目前我們沒有研究過如何解這樣的不等式,因此我們只有借助二次函數(shù)圖像。從上下方向看,y>0表示在x軸(直線y=0)上方的圖像,從左右方向看,y>0表示在交點A的左側、交點B的右側的圖像。

        為了直觀地表示出應變量y>0對應的圖像,采用“劃線分區(qū)”的方法,即分別過交點A、B作平行于y軸的直線,將圖像分為三個區(qū)域:A點左側,A、B兩點之間,B點右側。其中拋物線在x軸(直線y=0)上方的是A點左側和B點右側部分。這一方法是依據(jù)對應的函數(shù)圖像和交點的位置關系產(chǎn)生的,因此應用時關鍵要找準交點再劃線分區(qū)。

        圖2

        由圖2知,x的取值為x<-1或x>3。

        【小結】“數(shù)形結合”最能展現(xiàn)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式之間的關系:

        數(shù)形y=x2-2x-3賦今y=0值今y=0 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3賦 今y>0值 今y>0范 今y>0圍 今y>0 x2-2x-3=0拋物線與直線的兩個交點部分函數(shù)圖像

        理解了二次函數(shù)與一元二次方程、不等式之間的本質聯(lián)系,掌握了“劃線分區(qū)”的小妙法,你會解這一類不等式嗎?我們來試試看。

        變式1借助函數(shù)圖像解不等式x2-2x-3≤-3。

        圖3

        【解析】不等式x2-2x-3≤-3表示y≤-3,結合函數(shù)圖像,表示拋物線在直線y=-3下方的部分。在拋物線上畫出直線y=-3,求出直線與拋物線的交點C(0,-3)、E(2,-3)。過交點C、E作y軸的平行線,把圖像分成3個區(qū)域:交點C的左側,C、E之間,交點E右側。其中交點C、E之間的圖像,表示y≤-3,即自變量x的取值范圍是0≤x≤2。

        變式2借助函數(shù)圖像解不等式x2-2x-3<x-5。

        圖4

        【解析】不等式x2-2x-3<x-5可看成拋物線y2=x2-2x-3與直線y1=x-5之間的不等關系,即y2<y1。與變式1不同的是,平行于x軸的直線變?yōu)橐话愕闹本€,結合圖像表示拋物線在直線的下方部分。同樣用“劃線分區(qū)”的方法解題。交點D、E之間的圖像即為所求,自變量的取值范圍為1<x<2。

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