文黃秀旺（特級教師）

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）

第四章 二次函數(shù)

領(lǐng) 銜 人：黃秀旺

組稿團(tuán)隊(duì)：南京市初中數(shù)學(xué)黃秀旺名師工作室

聯(lián)系，就是事物之間以及事物內(nèi)部諸要素之間的相互影響、相互制約和相互作用的關(guān)系。初中階段函數(shù)的學(xué)習(xí)包含一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)。如果我們能積極運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)來學(xué)習(xí)二次函數(shù)，必將取得事半功倍的效果。

一、“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容

從一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)來看，學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)大致包括以下內(nèi)容：（1）函數(shù)的概念；（2）函數(shù)的圖像與性質(zhì)；（3）函數(shù)與相應(yīng)方程的聯(lián)系；（4）用函數(shù)解決實(shí)際問題?！岸魏瘮?shù)”的學(xué)習(xí)也是從以上幾個(gè)方面展開的。我們了解了二次函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容就相當(dāng)于知道了“到哪里去”，否則我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容將是零碎的，不知道知識展開的一般思路。

二、“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)路徑

二次函數(shù)的概念形成，也是像一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣，通過具體的實(shí)例，經(jīng)歷歸納、抽象、概括等過程（如例1），同時(shí)我們也感受到二次函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

例1填空：（1）一粒石子投入水中，激起的波紋不斷地向外擴(kuò)展，擴(kuò)大的圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式是________；

（2）用16m長的籬笆圍成一個(gè)長方形的封閉圍欄，圍欄的面積y（m2）與長方形的長x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式為_____；

（3）要給一個(gè)邊長為x（m）的正方形實(shí)驗(yàn)室鋪設(shè)地板，已知某種地板的價(jià)格為每平方米240元，踢腳線價(jià)格為每米30元，如果其他費(fèi)用為1000元，那么總費(fèi)用y（元）與x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式是_______。

【評析】通過觀察、比較，概括出上述函數(shù)關(guān)系式的共同之處，進(jìn)而引出二次函數(shù)的概念。

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，也是經(jīng)歷先由函數(shù)關(guān)系式猜想出其性質(zhì)，然后畫出函數(shù)圖像，進(jìn)一步完善函數(shù)的性質(zhì)，并借助圖像直觀感受到二次函數(shù)的一系列性質(zhì)，體會到數(shù)形結(jié)合的思想。

例2請你說說函數(shù)y=2x2具有哪些性質(zhì)？

【評析】首先通過關(guān)系式發(fā)現(xiàn)，2＞0，無論x取何值，總有x2≥0，所以y≥0；由于字母x的指數(shù)為2，所以x取互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值相等，進(jìn)一步分析可知函數(shù)圖像具有對稱性。然后通過畫函數(shù)圖像，借助圖像獲得更多函數(shù)的性質(zhì)。

類似于一次函數(shù)，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，也是從表達(dá)式和圖像兩個(gè)角度來理解的。從關(guān)系式看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函數(shù)y為0時(shí)，自變量x的取值；從二次函數(shù)的圖像看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。當(dāng)然，借助二次函數(shù)的圖像可以理解ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的意義。

例3函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1所示，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c-4=0的根的情況是（ ）。

圖1

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)異號的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

【評析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，判斷方程ax2+bx+c-4=0的根的情況即是判斷函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與過點(diǎn)（0，4）且與x軸平行的直線的交點(diǎn)情況。

例4如圖2是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖像，由圖像可知不等式ax2+bx+c＜0的解集為（ ）。

A.x＜-1或x＞5 B.x＞5

C.-1＜x＜5 D.無法確定

圖2

【評析】由圖像可知對稱軸是過點(diǎn)（2，0）且與y軸平行的直線，與x軸一個(gè)交點(diǎn)是（5，0），則另一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），結(jié)合函數(shù)圖像即可求得ax2+bx+c＜0的解集。

運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，也與一次函數(shù)、反比例函數(shù)類似，根據(jù)實(shí)際問題中的相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

當(dāng)了解了“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)路徑時(shí)，我們不僅知道“到哪里去”，更知道“怎么到那里”。從中領(lǐng)悟到研究函數(shù)的方法，有利于提升探究能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

以上我們更多看出二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)之間的類似之處或相同之處，但聯(lián)系的觀點(diǎn)并不僅僅是相似，也有不同之處。接下來重點(diǎn)交流“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”。

三、“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的深思考

許多同學(xué)會脫口而出“列表、描點(diǎn)、連線”，我不禁想問，對二次函數(shù)來說，怎么列表（列表指表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值，下同）呢？現(xiàn)在想想看，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖像是直線，所以列表時(shí)即使隨意也沒有關(guān)系。而二次函數(shù)的圖像不是直線，所以列表就沒有那么“隨意”了。那該怎么辦呢，我想最好的辦法是嘗試，只要幾位同學(xué)一起嘗試，相信對畫二次函數(shù)圖像之前的列表這一步就會感到困惑，這樣的困惑就是一種寶貴的學(xué)習(xí)財(cái)富。嘗試之后我們發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，所以回頭反思，列表是在認(rèn)識圖像是軸對稱圖形之下的理性作為，而不可以“任性”。

那連線呢？毫無疑問，連線不是用直尺連接兩個(gè)點(diǎn)。從一次函數(shù)到反比例函數(shù)，大家在“連線”這步是有體會的。同樣，對于二次函數(shù)，連線就是用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，它的圖像是“曲線”，我們稱為拋物線。

例5 畫出函數(shù)y=-x2+1的圖像。

【評析】畫二次函數(shù)的圖像的一般步驟是列表、描點(diǎn)、連線。其中列表是關(guān)鍵，通過關(guān)系式明晰了圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、圖像的對稱性，在此認(rèn)識下的“列表”才是明智之舉。如本例的列表：

-3 -2 -1 0 1 2 3 ……x y……

通過二次函數(shù)的圖像，我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)有許多性質(zhì)，比如，圖像是軸對稱圖形，圖像的開口方向因a的符號而不同，圖像有最低點(diǎn)或最高點(diǎn)，在對稱軸的左右兩邊函數(shù)y與自變量x的變化情況不同。這些性質(zhì)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)不同，但觀察圖像的視角有相似之處，所以我們在探究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，既要借助一次函數(shù)、反比例函數(shù)來聯(lián)想，也要知道它們之間的不同之處。

總之，只要我們善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)看二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們就可以對函數(shù)這一知識板塊有整體的認(rèn)識。我們不僅習(xí)得與二次函數(shù)相關(guān)的知識與方法，更能提升我們探究函數(shù)的能力，乃至提升我們探究數(shù)學(xué)的能力。