陜西省商丹高新學(xué)校 (郵編:726400)
例1(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第19題)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
分析1 (1)可通過題意中的4an+1=3an-bn+4以及4bn+1=3bn-an-4,對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減,即可推導(dǎo)出數(shù)列{an+bn}是等比數(shù)列以及數(shù)列{an-bn}是等差數(shù)列.(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列{an+bn}以及數(shù)列{an-bn}的通項(xiàng)公式,然后利用數(shù)列{an+bn}以及數(shù)列{an-bn}的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果.
將4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4作差可得4an+1-4bn+1=3an-3bn+an-bn+8,整理可得an+1-bn+1=an-bn+2.
又a1-b1=1,故{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.
①
由{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列可得an-bn=2n-1
②
點(diǎn)評(píng)該解法依據(jù)兩個(gè)遞推式的特點(diǎn),并結(jié)合(1)的目標(biāo),利用兩式相加和相減運(yùn)算,先從整體上證明數(shù)列是等比或等差數(shù)列,然后再求得個(gè)體數(shù)列的通項(xiàng)公式的.
分析2 (1)要證明{an+bn}是等比數(shù)列,只要證明存在非零常數(shù)q,使得an+1+bn+1=q(an+bn)即可;要證明{an-bn}是等差數(shù)列,只要證明存在常數(shù)d,使得an+1-bn+1=(an-bn)+d即可.運(yùn)用待定系數(shù)法證明.
令4d=8,得d=2,所以an+1-bn+1=an-bn+2.
又a1-b1=1,故{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.
(2)同解法1.
點(diǎn)評(píng)該解法依據(jù)(1)的目標(biāo),利用兩式相加和相減運(yùn)算,先從整體上證明數(shù)列是等比或等差數(shù)列,然后再求得個(gè)體數(shù)列的通項(xiàng)公式的.
分析3 從代數(shù)方程的角度,聯(lián)立兩個(gè)遞推式將其看成是二元一次方程組,通過消元降維分別得到單個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系,再進(jìn)行求解.
解法3(消元降維法)由4an+1=3an-bn+4,得bn=-4an+1+3an+4,所以bn+1=-4an+2+3an+1+4.
代入4bn+1=3bn-an-4,得4×(-4an+2+3an+1+4)=3×(-4an+1+3an+4)-an-4,整理得
解法4(消元降維法)由4bn+1=3bn-an-4,得an=-4bn+1+3bn-4,所以an+1=-4bn+2+3bn+1-4.
以上各式相加,得bn-b1=
an=-4bn+1+3bn-4=
點(diǎn)評(píng)解法3和解法4其實(shí)是同一種方法,不同的是以哪個(gè)單數(shù)列為主來求解.在求解的過程中還運(yùn)用到了“累加法”求和,同學(xué)們需好好體會(huì).消元降維法是求解這類遞推數(shù)列問題一般性的方法.
例2 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,4an+1=3an+bn+4,4bn+1=3bn+an+4.求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
簡(jiǎn)析由于該變式?jīng)]有了像例1(1)那樣的的目標(biāo)結(jié)論的過渡,所以不方便用待定系數(shù)法求解,而運(yùn)用加減運(yùn)算法或消元降維法求解都可,請(qǐng)讀者自行完成.
例3 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,an+1=5an+3bn+7,bn+1=5bn+3an,求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
簡(jiǎn)解對(duì)于該題,由于系數(shù)相對(duì)要復(fù)雜一些,所以利用加減運(yùn)算法求解較好.
兩式相加,整理得an+1+bn+1+1=8(an+bn+1),所以數(shù)列{an+bn+1}是首項(xiàng)為a1+b1+1=4,公比為8的等比數(shù)列,故得an+bn+1=4·8n-1.
兩式相減,整理得an+1-bn+1+7=2(an-bn+7),所以數(shù)列{an-bn+7}是首項(xiàng)為a1-b1+7=8,公比為2的等比數(shù)列,故得an-bn+7=8·2n-1.
從而解得an=2·8n-1+4·2n-1-4,bn=2·8n-1+4·2n-1+3.
當(dāng)然,利用消元降維法也可以求解,讀者不妨自行完成.
例4 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=5,an+1=-2an+bn+2,bn+1=3bn-4an+4,求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
分析由于兩個(gè)遞推式中的系數(shù)沒有關(guān)系,可從代數(shù)方程的角度,利用消元降維法求解.
解(消元降維法)由an+1=-2an+bn+2,得bn=an+1+2an-2,所以bn+1=an+2+2an+1-2.
代入bn+1=3bn-4an+4,得an+2+2an+1-2=3(an+1+2an-2)-4an+4,整理得an+2-an+1-2an=0,即an+2+an+1=2(an+1+an),所以數(shù)列{an+1+an}是首項(xiàng)為a2+a1=6,公比為2的等比數(shù)列,故得an+1+an=6·2n-1=3·2n.
所以an+1-2n+1=-(an-2n),所以數(shù)列{an-2n}是首項(xiàng)為-1,公比為-1的等比數(shù)列,所以an-2n=(-1)n,從而得an=2n+(-1)n.
所以bn=an+1+2an-2=2n+2+(-1)n-2.
點(diǎn)評(píng)該題在運(yùn)用消元降維法求解轉(zhuǎn)化的過程中,兩次 “配湊”構(gòu)造等比數(shù)列,需要有較高的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
至此,遞推式形如