湖北省大冶市第一中學(xué) (郵編：435100)

在求解一些數(shù)學(xué)問題中,往往會出現(xiàn)一些除變量外完全相同的結(jié)構(gòu),解題時若能利用其同構(gòu)的特點(diǎn),尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系,繼而利用同構(gòu)后的模型性質(zhì)進(jìn)行解題,是一種非常重要的方法.本文談?wù)勍瑯?gòu)法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

1 妙用同構(gòu)求解方程

例1 解方程log5(3x+4x)=log5(5x-3x).

評注本題利用同構(gòu)思想,轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題來求解.如果f(a)=0和f(b)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特點(diǎn),則a、b可視為方程f(x)=0的兩根.

2 妙用同構(gòu)求解方程組

例2 設(shè)x、y∈R,滿足

求x+y.

解析原方程組變形為

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x5+2x+sinx,易知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增,而f(x-1)=f(1-y),故有x-1=1-y,則x+y=2.

評注本題研究對象并非x、y,而是(x-1)、(y-1),進(jìn)而變形為

觀察上下式子結(jié)構(gòu)相同,可構(gòu)造函數(shù)解決.

3 妙用同構(gòu)求值

4 妙用同構(gòu)找等量關(guān)系

例4(2009年高考遼寧理科12題)若x1滿足2x+2x=5,x2滿足2x+2log2(x-1)=5,x1+x2=( )

評注一般對于互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)問題可用同構(gòu)獲得零點(diǎn)間的關(guān)系.

5 妙用同構(gòu)求解不等式

例5(2007年高考天津文科10題)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x2,若對任意的x∈[t，t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )

評注本題通過恰當(dāng)變形,利用同構(gòu)思想,借助函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”,從而解抽象函數(shù)不等式問題.

6 妙用同構(gòu)證明不等式

例6(2001年高考全國卷理20題)已知i、m、n是正整數(shù)，且1(1+n)m.

評注本題通過將式子同構(gòu)化,化為具有統(tǒng)一函數(shù)模型的兩個式子,從而利用單調(diào)性證明.

7 妙用同構(gòu)求解超越方程

(1)求證：函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)；

(2)若對任意x∈(0，+∞)，xex-lnx≥1+kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

證明(1)略；

8 妙用同構(gòu)求參數(shù)范圍

例8 (2010年高考遼寧文科21題)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)若對任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的范圍.

解析(Ⅰ)略；

(Ⅱ)不妨假設(shè)x1≥x2,而a<-1，由(Ⅰ)知在(0，+∞)單調(diào)減少，從而?x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,等價于?x1、x2∈(0,+∞),

f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1

①

評注本題中觀察到待證的不等式f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1兩邊有相似的結(jié)構(gòu)，不妨構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+4x,然后利用此函數(shù)的性質(zhì)尋求突破口.

9 妙用同構(gòu)求解解析幾何

同構(gòu)化解題意識與技巧是一種常見的解題思路，在解題過程中，如果能看清問題中式子結(jié)構(gòu)的共性，并合理構(gòu)造共性，則可大大簡化問題，從而輕松解決問題.