浙江省衢州市白云學(xué)校 (郵編：324000)

2019年5月底區(qū)教研室舉行了優(yōu)質(zhì)課評(píng)比，賽前4天公布了賽課素材：八年級(jí)下冊(cè)書(shū)本第128頁(yè)設(shè)計(jì)題，如下圖所示.

圖5-21

先準(zhǔn)備一張矩形紙片和一張平行四邊形紙片，然后嘗試以下操作.

1. 把平行四邊形紙片補(bǔ)成一個(gè)矩形. 怎樣操作能使分割紙的條數(shù)最少？

2. 把矩形紙片割補(bǔ)成一個(gè)角為60°的平行四邊形，怎樣操作能使分害線最少？

通過(guò)上述活動(dòng)，你獲得哪些經(jīng)驗(yàn)？

(請(qǐng)與你的同伴交流)

試一試：由兩個(gè)正方形組成的紙?zhí)幦鐖D5-21. 把它割補(bǔ)成一個(gè)更大的正方形，并使分割線的條數(shù)最少.

賽課要求：請(qǐng)圍繞課本素材，開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)一節(jié)相關(guān)內(nèi)容的小專題復(fù)習(xí)課，注意突出素材的核心思想與方法.筆者作為參賽選手參加了比賽，并取得了第一名，現(xiàn)把整節(jié)課的備課心路歷程與大家做一交流.

1 素材分析

本素材出自浙教版課本第五章特殊平行四邊形第3節(jié)正方形這一小節(jié)課后的一個(gè)設(shè)計(jì)題，學(xué)生剛好學(xué)完平行四邊形、特殊平行四邊形的所有知識(shí).從素材中可看出這是一節(jié)操作課，所運(yùn)用的結(jié)論是剪拼前后面積相等.如何把一節(jié)操作課開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)成一節(jié)小專題復(fù)習(xí)課？且復(fù)習(xí)哪些知識(shí)點(diǎn)？是屬基礎(chǔ)復(fù)習(xí)、還是拓展提升？同時(shí)又如何突出素材的核心思想與方法？并且素材要突出哪方面的核心思想與方法呢？

2 學(xué)情分析

本次比賽是借班上課，學(xué)生來(lái)自優(yōu)質(zhì)生源大量流失的農(nóng)村初中，已學(xué)完平行四邊形與特殊平行四邊形的知識(shí)，且相關(guān)復(fù)習(xí)課剛結(jié)束，全班32個(gè)學(xué)生，基礎(chǔ)性的單元測(cè)驗(yàn)成績(jī)及格以上人數(shù)達(dá)16人，即將學(xué)習(xí)下一章反比例函數(shù)的知識(shí).

3 二次設(shè)計(jì)

3.1 第一次設(shè)計(jì)——剪拼中的學(xué)問(wèn)

問(wèn)題1 把平行四邊形紙片割補(bǔ)成一個(gè)矩形，怎樣操作能使分割線的條數(shù)最少？

圖1(Ⅰ) 圖1(Ⅱ) 圖1(Ⅲ)

如圖1(Ⅰ-Ⅱ)學(xué)生先找分割線、再動(dòng)手剪拼，最后根據(jù)圖1(Ⅲ)寫(xiě)出已知，求證，再完成證明過(guò)程.

結(jié)論：(1)形與數(shù)有聯(lián)系的(面積)，數(shù)的問(wèn)題(面積)可以用形來(lái)體現(xiàn)；

(2)剪拼問(wèn)題是需要嘗試調(diào)整的，最后需要對(duì)照要求檢驗(yàn)是否符合要求.

板書(shū)：嘗試——發(fā)現(xiàn)——表達(dá)——證明——?dú)w納.

剪拼前后：面積相等.

問(wèn)題2 反之，如果把矩形紙片割補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，怎樣操作能使分割線最少？

圖2(Ⅰ) 圖2(Ⅱ) 圖2(Ⅲ)

如圖2(Ⅰ-Ⅱ)學(xué)生先找分割線、再動(dòng)手剪拼，最后根據(jù)圖2(Ⅲ)寫(xiě)出已知，求證，再完成證明過(guò)程.

引導(dǎo)學(xué)生：按問(wèn)題1收獲的結(jié)論：發(fā)現(xiàn)——嘗試——表達(dá)——證明——?dú)w納去解決問(wèn)題.

問(wèn)題3 如果把矩形紙片割補(bǔ)成有一個(gè)角為60°的平行四邊形，怎樣操作能使分割線最少？

圖3(Ⅰ) 圖3(Ⅱ)

圖4

問(wèn)題4 如果用一塊兩邊滿足1∶2的矩形紙片割補(bǔ)成一個(gè)更大的正方形，并且使分割線最少？

問(wèn)題5如果是一大一小的二個(gè)正方形，你還能拼成一個(gè)更大的正方形嗎？并且要分割線最少.

圖5(Ⅰ) 圖5(Ⅱ) 圖5(Ⅲ) 圖5(Ⅳ)

如圖5(Ⅰ-Ⅲ)學(xué)生先找分割線、再動(dòng)手剪拼，最后根據(jù)圖5(Ⅳ)寫(xiě)出已知、求證，再完成證明過(guò)程.

引導(dǎo)學(xué)生：按問(wèn)題1收獲的結(jié)論：發(fā)現(xiàn)——嘗試——表達(dá)——證明——?dú)w納去解決問(wèn)題

小結(jié)

在今天的剪拼問(wèn)題中，你獲得了哪些經(jīng)驗(yàn)？

(1)剪接問(wèn)題是需要嘗試調(diào)整的，最后需要對(duì)照要求檢驗(yàn)是否符合要求的，即解決問(wèn)題之后是需要推理論證的；

(2)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式不是唯一的，只要努力探索，你一定行；

(3)數(shù)形是有關(guān)聯(lián)的，數(shù)的問(wèn)題可以用形來(lái)體現(xiàn)，形的問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)來(lái)思考.

今天以剪拼問(wèn)題為載體，我們回顧了哪些知識(shí)呢？

平行四邊形，特殊平行邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形全等的判定及性質(zhì).

3.2 第一次設(shè)計(jì)的思考

對(duì)照比賽要求：首先課堂上剪拼后花了很多時(shí)間證明，似乎體現(xiàn)了復(fù)習(xí)的味道，但只是讓學(xué)生在剪拼后完成了幾道證明題而已，學(xué)生只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林，沒(méi)有自身體會(huì)到復(fù)習(xí)的目的何在，沒(méi)有體會(huì)到知識(shí)的價(jià)值，學(xué)習(xí)是被動(dòng)的；其二直接由問(wèn)題4的矩形剪拼過(guò)度到問(wèn)題5，學(xué)生還沒(méi)有尋找分割線的經(jīng)驗(yàn)，跨度太大；其三比賽所要體現(xiàn)的核心思想在哪？學(xué)生唯一的收獲是解決問(wèn)題的套路：發(fā)現(xiàn)——嘗試——表達(dá)——證明——?dú)w納.對(duì)于發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)什么？怎么嘗試尋找分割線，分割線的尋找有沒(méi)有依據(jù)可尋？

深挖素材：為什么教材要在整一章特殊平行四邊形的內(nèi)容結(jié)束后安排了這個(gè)設(shè)計(jì)題？它為最后一個(gè)操作活動(dòng)起到了什么作用呢？帶著以上思考，有了第二次設(shè)計(jì)：

3.3 第二次設(shè)計(jì)——怎樣剪拼成正方形

教學(xué)目標(biāo) :

(1)從一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分割線的尋找思路.

(2)從特殊到一般，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)——推理——?dú)w納出分割線的尋找思路，從中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

(3)通過(guò)層層深入的問(wèn)題串，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，解決問(wèn)題時(shí)的遷移能力.

教學(xué)重點(diǎn)：尋找分割線的形成思路.

教學(xué)難點(diǎn)：尋找用任意邊長(zhǎng)的2塊正方形剪拼成更大的正方形分割線的形成思路.

問(wèn)題1 用最少的分割線把一個(gè)平行四邊形紙片割補(bǔ)成矩形，你會(huì)怎樣操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生能做出如下分割：

討論：你是怎么想到這條分割線的？

形成想法：從目標(biāo)圖形的特征出發(fā)尋找思路.目標(biāo)圖形是矩形，而矩形的特征是有直角.

問(wèn)題2 用最少的分割線把一個(gè)矩形割補(bǔ)成含有60°角的平行四邊形紙片，你會(huì)怎樣操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生能做出如下分割：

討論：你是怎么想到這條分割線的？

形成想法：從目標(biāo)圖形的特征出發(fā)尋找思路.

目標(biāo)圖形是平行四邊形，特征是有600角的平行四邊形.

問(wèn)題3 用最少的分割線把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片割補(bǔ)成一個(gè)大正方形，你會(huì)怎樣操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生能作出如下分割：

討論：你是怎么想到這條分割線的？

形成想法：從目標(biāo)圖形的特征出發(fā)尋找思路.

歸納想法：

討論：上述三個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的剪拼方法，是如何想到的？你發(fā)現(xiàn)了什么？

形成方法：從目標(biāo)圖形特征出發(fā)尋找思路.

(說(shuō)明：以上用時(shí)12-15分鐘)

問(wèn)題4 用最少的分割線把一個(gè)長(zhǎng)為2寬為1的長(zhǎng)方形紙片割補(bǔ)成一個(gè)正方形，你會(huì)怎樣操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生能依照問(wèn)題3作出如下分割：

如果學(xué)生有困難，教師作如下引導(dǎo)：

(1)目標(biāo)圖形是什么圖形？

(2)這個(gè)正方形有什么特征？

(3)正方形的面積為2，邊長(zhǎng)為多少？

問(wèn)題5用最少的分割線把邊長(zhǎng)分別為1與2的正方形紙片割補(bǔ)成一個(gè)更大的正方形，你會(huì)怎樣操作？

先讓學(xué)生自主嘗試，如果有的學(xué)生會(huì)，要重視讓學(xué)生講明白如何想到的.

如果學(xué)生有困難，教師作如下引導(dǎo)：

(1)目標(biāo)圖形是什么圖形？

(2)這個(gè)正方形有什么特征？

(3)正方形的面積為5，邊長(zhǎng)為多少？

問(wèn)題6 如下圖，用最少的分割線把邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形紙片割補(bǔ)成一個(gè)更大的正方形，你會(huì)怎樣操作？

先讓學(xué)生自主嘗試，如果有的學(xué)生會(huì)，要重視讓學(xué)生講明白如何想到的.

如果學(xué)生有困難，教師作如下引導(dǎo)：

(1)這個(gè)問(wèn)題與問(wèn)題5有什么區(qū)別與聯(lián)系？

(2)目標(biāo)圖形是什么圖形？

(3)這個(gè)正方形有什么特征？

(4)正方形的面積為a2+b2，邊長(zhǎng)為多少？

歸納想法：

討論：上述三個(gè)問(wèn)題的剪拼方法，是如何想到的？你發(fā)現(xiàn)了什么？

形成方法：從目標(biāo)圖形特征出發(fā)尋找思路，關(guān)鍵是找到與目標(biāo)正方形的邊長(zhǎng)等長(zhǎng)的割線.

小結(jié)

你認(rèn)為剪拼問(wèn)題如何尋找分割線的？以剪拼問(wèn)題為載體，今天我們主要復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)？通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，對(duì)你今后解決新的問(wèn)題，有怎樣的幫助？

第二次的教學(xué)設(shè)計(jì)以“找——剪——拼”這個(gè)操作流程對(duì)每個(gè)問(wèn)題展開(kāi)，解決每個(gè)問(wèn)題時(shí)又緊緊圍繞你是如何尋找分割線展開(kāi)分析，首先從角度特征尋找分割線，然后從邊長(zhǎng)與角度二方面的特征尋找分割線；最后通過(guò)把相等的角重合、相等的邊重合來(lái)拼接，由易到難，由特殊到一般，讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象化，抓住問(wèn)題的前后聯(lián)系點(diǎn)，先體會(huì)運(yùn)用遷移、推理的能力解決一般性的問(wèn)題，最后逐漸內(nèi)化為一種自身的能力，并主動(dòng)運(yùn)用這種能力解決復(fù)雜問(wèn)題.

4 教后反思

(1)關(guān)于素材的處理

數(shù)學(xué)教學(xué)，就教材教教材不行，就知識(shí)教知識(shí)也不行，必須要跳出教材、教知識(shí)，跳出知識(shí)得經(jīng)驗(yàn)，跳出經(jīng)驗(yàn)長(zhǎng)智慧，所以我們的教學(xué)不僅是知識(shí)層面和方法層面的教育，而更應(yīng)上升到智慧層面，素養(yǎng)層面的教育.而每一個(gè)素養(yǎng)的落實(shí)不是靠說(shuō)教，要靠具體的問(wèn)題，學(xué)生從具體簡(jiǎn)單的問(wèn)題獲得經(jīng)驗(yàn)，然后通過(guò)遞進(jìn)式的問(wèn)題，鞏固這種經(jīng)驗(yàn)，變成學(xué)生解決問(wèn)題的一種智慧，用這種智慧去應(yīng)對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題.

比如——問(wèn)題1：由矩形最大特征是直角，自然想到只要在原圖形中作垂直的分割線，從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生從目標(biāo)圖形的特征尋找分割線，即從角這個(gè)角度尋找分割線，且無(wú)數(shù)種分割法的共同特征都是垂直，問(wèn)題2再次引導(dǎo)學(xué)生從角這個(gè)角度尋找分割線，只要在原圖形中作60°角這條分割線即可.

而問(wèn)題3，雖然是1條分割線向2條分割的過(guò)渡，但因是學(xué)生身邊熟悉不過(guò)的素材，學(xué)生輕松找到2條分割線，如果說(shuō)此時(shí)對(duì)要考慮2條分割線的位置與邊長(zhǎng)的關(guān)系問(wèn)題核心不夠凸顯的話，那么問(wèn)題4再次以另一個(gè)面目呈現(xiàn)問(wèn)題3——用一個(gè)寬為1，長(zhǎng)為2的矩形剪拼成一個(gè)正方形，通過(guò)追問(wèn)，你認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題與問(wèn)題3有什么共同點(diǎn)，此時(shí)猶如涓涓細(xì)流匯成大江大海，學(xué)生因2個(gè)問(wèn)題相同的本質(zhì)而興奮，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題4就是問(wèn)題3——寬為1，長(zhǎng)為2的矩形可以看成2個(gè)邊長(zhǎng)都為1的正方形，為后續(xù)學(xué)生解決一般性的問(wèn)題做足了遷移能力的鋪墊.就這樣學(xué)生的遷移能力在潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲中得到滲透，此時(shí)再適時(shí)地追問(wèn)尋找分割線時(shí)要考慮幾方面的特征？——邊長(zhǎng)與角度，但當(dāng)2個(gè)方面都要滿足時(shí)，可以采用控制變量法，比如先滿足邊長(zhǎng)，再滿足角度，學(xué)生在問(wèn)題1與2尋找分割線時(shí)只滿足角度的特征基礎(chǔ)上又收獲了當(dāng)多個(gè)變量都要滿足時(shí)，先滿足一個(gè)變量的尋找方法.分割線的尋找思路明朗化、清晰化、條理化.

從問(wèn)題5到問(wèn)題6，是學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用遷移能力解決問(wèn)題，一波三折，難點(diǎn)不攻自破，學(xué)生很快自己找到問(wèn)題的方法與思路，體會(huì)到遇到復(fù)雜的一般性的問(wèn)題可以從特殊到一般，從特殊的問(wèn)題尋找解決問(wèn)題的方式方法從而把它遷移到一般性的問(wèn)題中.

(2)關(guān)于教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

教學(xué)過(guò)程是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的核心，教學(xué)任務(wù)、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)對(duì)象的分析、教學(xué)媒體的選擇，課堂教學(xué)組織形式，都將在教學(xué)過(guò)程中得到體現(xiàn).課堂教學(xué)要求我們關(guān)注學(xué)生的主動(dòng)參與，讓學(xué)生在尋找中、剪拼中、在情感的體驗(yàn)中，進(jìn)行有效生長(zhǎng).在這樣的理念下，整節(jié)課不是沿著“教”這條單線前行，而在“學(xué)”與“教”的交錯(cuò)中，按照教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)動(dòng)態(tài)前行.為此本節(jié)課的設(shè)計(jì)有如下特點(diǎn)：

①情境導(dǎo)入——遵循從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)

課始利用學(xué)生熟知的素材，把這作為“突破口”，找到解決新問(wèn)題與學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“切合點(diǎn)”，把解決新問(wèn)題所需要的知識(shí)“同化”或“順應(yīng)”結(jié)合到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，從而體會(huì)所學(xué)知識(shí)的價(jià)值.如前面3個(gè)問(wèn)題，都從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，為學(xué)生提供非常自然、流暢的思維場(chǎng)景(通過(guò)老師提問(wèn)：你是怎么尋找分割線的？)為遷移能力的發(fā)展作深入思考.

②自主式探究——凸顯問(wèn)題的本質(zhì)

整個(gè)操作活動(dòng)始終圍繞“你是如何來(lái)尋找分割線的？”這一中心問(wèn)題展開(kāi)的遷移活動(dòng)，在探究中，根據(jù)目標(biāo)圖形的特征尋找分割線是核心，它是有效的思維生長(zhǎng)的載體.

由特殊到一般，有力地落實(shí)《課標(biāo)》提出的“螺旋上升”不斷獲取推理能力的要求.

③小結(jié)反思——基于提升學(xué)生思維能力

好的課堂教學(xué)，不僅應(yīng)當(dāng)引人入勝，還應(yīng)有發(fā)人深省，余味無(wú)窮的小結(jié)反思.課堂小結(jié)不僅僅是對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理，歸納總結(jié)，理清知識(shí)脈絡(luò)，還要促進(jìn)知識(shí)的拓展，延伸、遷移、生長(zhǎng)，以便實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生思維的目的.

操作課，表面培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力，但是更主要的是通過(guò)操作課，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)操作背后的數(shù)學(xué)思考，為什么要這么操作，操作的依據(jù)是什么，如尋找分割線的依據(jù)是什么，其他位置的分割線是否可行？它們有無(wú)共同點(diǎn)？有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的操作？這些都是操作課中要慢慢滲入的“最優(yōu)化思想”——用最少的分割線，以及數(shù)形結(jié)能力，從目標(biāo)圖形的特征出發(fā)尋找分割線.

陌生的操作該怎么辦？通過(guò)容易、熟悉的問(wèn)題體會(huì)、啟發(fā)，到小變式問(wèn)題的嘗試，最后運(yùn)用特殊到一般、實(shí)際問(wèn)題抽象化、建模、遷移能力、推理能力這些解決問(wèn)題常用的手段加以內(nèi)化主動(dòng)解決復(fù)雜的問(wèn)題，并總結(jié)出解決問(wèn)題的一般性的經(jīng)驗(yàn)，并能透過(guò)問(wèn)題看本質(zhì)，高站位，看到操作背后隱藏的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維.這些就是操作課中要落實(shí)的關(guān)鍵能力.