安徽省六安市金安區(qū)毛坦廠學(xué)校 (郵編：237182)

幾何畫板作為一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，對培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力可以發(fā)揮重要作用.它不僅能根據(jù)幾何對象間的關(guān)系，精準(zhǔn)地畫出幾何圖形，還可以輕易地進(jìn)行幾何變換和迭代，對幾何圖形的數(shù)量屬性作出度量.動畫功能可以從運(yùn)動的觀點(diǎn)研究問題、直觀地展示幾何性質(zhì)和規(guī)律.多樣的顯示功能提高了使用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的效果.筆者通過實(shí)際的例子，探討在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，如何在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)，靈活方便地使用幾何畫板，來增進(jìn)學(xué)生的興趣、加深學(xué)生的理解和掌握、發(fā)展學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識、從而提高學(xué)生對幾何圖形的直觀想象能力素養(yǎng).

1 新知探究中

在新授課中，根據(jù)教學(xué)需要可以利用幾何畫板輔助探究，或啟發(fā)思路，或直觀顯示結(jié)論.

1.1 直觀演示顯本質(zhì)

例1二次函數(shù)各參數(shù)對圖象形態(tài)、位置的影響.

圖1

二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+h)2+k中，a決定開口，h決定對稱軸，k決定頂點(diǎn)縱坐標(biāo).在幾何畫板中，可以生成參數(shù)a、h、k可變的y=a(x+h)2+k圖象，展示當(dāng)a、h、k分別變化時，對圖象分別有什么影響.相比于傳統(tǒng)的板書作圖，更直觀展示了各參數(shù)的幾何意義.

1.2 驗(yàn)證激發(fā)證明

例2 證明平行線性質(zhì)前，先行驗(yàn)證.

作出平行線a、b后，用第三條直線c去截，度量出截得的∠1、∠2、∠3、∠4.移動點(diǎn)A、B以改變直線c,但內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系始終保持不變.利用幾何畫板，先驗(yàn)證結(jié)論恒成立，可以激發(fā)學(xué)生尋找證明過程的興趣，為下一步的證明創(chuàng)造積極的動機(jī)，促進(jìn)對思路的尋求.

例3 勾股定理逆定理，模擬尺規(guī)作圖驗(yàn)證.

圖3

遵照課標(biāo)精神，初中教材通常對勾股定理逆定理不予證明，僅用一組勾股數(shù)為三邊，手工作出對應(yīng)三角形作為驗(yàn)證.這會顯得論證不夠充分(沒有演繹推理)，而且由于舉例太少(因?yàn)楫媹D不便)，也顯示不出來歸納推理.利用幾何畫板，先以t1為長度作線段AB,再分別以A、B為圓心，t2、t3為半徑作圓，兩圓交點(diǎn)為三角形第三個頂點(diǎn).輸入t1、t2、t3的不同取值，立得相應(yīng)三角形.當(dāng)t1、t2、t3為勾股數(shù)時，能構(gòu)成Rt△,當(dāng)t1、t2、t3不是勾股數(shù)時，能構(gòu)成一般三角形或不能構(gòu)成三角形.這里的思路同手工作圖，但卻相當(dāng)節(jié)省畫圖時間.可以與手工作圖相配合，幫助學(xué)生增加對勾股定理逆定理的熟悉程度和直觀感受，同時也能進(jìn)一步加深對三角形三邊所需條件及三邊和三角形形狀之間關(guān)系的理解，為高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形邊角關(guān)系打下直觀基礎(chǔ).

又如，反比例函數(shù)k的幾何意義.

圖4

在學(xué)習(xí)完反比例函數(shù)概念和位置、增減性之后，學(xué)習(xí)k的幾何性質(zhì)時，如果先說“在雙曲線上任取一點(diǎn)P,分別向x軸和y軸作垂線段，垂足為A、B,垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形，請觀察其面積有什么特點(diǎn)”，接著拖動點(diǎn)P，學(xué)生能夠看到，雖然矩形形狀改變了，但面積始終保持不變.再引導(dǎo)學(xué)生觀察出面積和k的關(guān)系.學(xué)生會驚訝發(fā)現(xiàn)這個變動中的不變，教師再問一句“為什么？”學(xué)生將馬上陷入對“眼見為實(shí)”背后原理的探究中，如此得來的知識將非常牢固.這種移動點(diǎn)P的操作，是不借助計(jì)算機(jī)無法展示的，是傳統(tǒng)教學(xué)技術(shù)達(dá)不到的.

2.拓展探索中

2.1 畫紙筆不可畫，動紙筆不可動

例4 平面鑲嵌問題.

平面鑲嵌是數(shù)學(xué)基本問題.在初中數(shù)學(xué)四邊形內(nèi)容學(xué)習(xí)后，可以做一些簡單研究，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.把問題限制在正多邊形鑲嵌上之后，利用正多邊形內(nèi)角拼成周角，可以解方程求出多種不同組合下的鑲嵌[1].再利用幾何畫板展示不同組合，讓方程解出的“數(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)榍袑?shí)可見的“形”，使學(xué)生體會數(shù)與形的聯(lián)系，同時感受數(shù)學(xué)美.

這種復(fù)雜的圖形，是手工作圖無法快速展示的.但是利用幾何畫板的平移、旋轉(zhuǎn)、反射等變換及迭代功能，卻可以較快地準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn).

正三角形和正方形鑲嵌的情形：

正方形和正八邊形鑲嵌的情形：

任意四邊形可平面鑲嵌的情形：

圖5

由于四邊形內(nèi)角和360°,所以任意四邊形的四個內(nèi)角總可以拼成周角，因此通過旋轉(zhuǎn)、平移等變換，可以構(gòu)造出任意四邊形平面鑲嵌的圖案.隨意拉動圖中四邊形的頂點(diǎn)，就可以改變四邊形的形狀，以至整個圖案形狀的改變.無論四邊形的形狀如何，但這種平鋪方式始終能完整地鑲嵌成平面.利用幾何畫板圖形的動態(tài)性作出的超出學(xué)生想象的展示，使學(xué)生產(chǎn)生了很強(qiáng)的新鮮感，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣變得更加濃郁.

例5 兩次軸對稱變換可得平移變換和旋轉(zhuǎn)變換.

對一個圖形進(jìn)行連續(xù)兩次軸對稱變換，當(dāng)對稱軸相交時，相當(dāng)于一個旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)角是對稱軸夾角的2倍，當(dāng)對稱軸平行時，相當(dāng)于一個平移變換，平移距離是對稱軸距離的2倍[1].對稱軸位置可以改變，圖形的形狀也可以改變，直觀展示了三個幾何變換之間的內(nèi)在聯(lián)系.將孤立知識點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系顯示出來，會為同學(xué)們打開一個新天地，幫助他們強(qiáng)化用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，像孫維剛所說的“八方聯(lián)系，渾然一體”整體結(jié)構(gòu)教學(xué)觀所提倡的一樣.并且也利于學(xué)生以后學(xué)習(xí)線性代數(shù)中的變換，打下一個感性基礎(chǔ).這種對所學(xué)知識的進(jìn)一步探究雖然只是一個苗頭，但能讓學(xué)生意識到，課標(biāo)知識點(diǎn)下有著鮮活廣闊的學(xué)術(shù)世界，使他們接受到知識美的感染.

圖6 圖7

2.2 變化之中有不變，奇妙性質(zhì)蘊(yùn)其間

例6 四邊形中點(diǎn)四邊形的性質(zhì).

四邊形是除三角形外，初中研究最詳細(xì)的多邊形.各種不同四邊形間概念的區(qū)別與聯(lián)系，以及它們的性質(zhì)、判定、相關(guān)推理及習(xí)題，能很好地培養(yǎng)初中生的演繹推理能力和概念思維能力.其中有個很特別的性質(zhì)，即四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀問題.任意四邊形的中點(diǎn)四邊形，都是平行四邊形；任意矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形；任意菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形；任意正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形.形中有形，形形相依，規(guī)律非常有趣，常作為訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用各特殊四邊形性質(zhì)與判定的習(xí)題.但教師若用多題歸一的眼光來引導(dǎo)學(xué)生審視，為何有這些性質(zhì)？本質(zhì)是什么？深入挖掘，則會發(fā)現(xiàn)：由三角形中位線定理，HG與EF均平行且相等于AC,EH與FG均平行且相等于BD.因此，若AC=BD,則EFGH為菱形；若AC⊥BD,則EFGH為矩形；若AC=BD且AC⊥BD,則EFGH為正方形.原來，中點(diǎn)四邊形的形狀由其各邊是否平行和相等來決定，而這又由原四邊形的兩條對角線來決定.所以，箏形的中點(diǎn)四邊形也是矩形，任意對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形都是菱形.經(jīng)過這種對習(xí)題的挖掘與綜合，學(xué)生將潛移默化出一種探究思維，不知不覺提高數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造力和研究力，在變幻多端的具體數(shù)學(xué)問題中，抽絲剝繭找到問題本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)的抽象思維能力.

圖8 圖9

例7 一線三等角問題.

一線三等角是平面幾何證明中常見的基本模型，一線三直角是其特例.如何在變化中展示不變的性質(zhì)，幾何畫板帶來了極大方便.拖動圖中點(diǎn)A,可將∠1=∠2=∠3的大小改變?yōu)槿我饨嵌?<180°),但兩三角形相似(特例是全等)卻始終保持不變.這是手工作圖無法充分直觀展示的.

3 習(xí)題研究中

3.1 動點(diǎn)動圖與函數(shù)，一目了然在心中

例8 點(diǎn)P在矩形ABCD上沿B-C-D-A上運(yùn)動，△ABP面積關(guān)于點(diǎn)P運(yùn)動路程的圖象.

如圖10，動點(diǎn)動圖形問題，用幾何畫板動態(tài)展示最為合適.相比于傳統(tǒng)的分段分析，更能直觀顯示點(diǎn)和圖形運(yùn)動的實(shí)際情況.點(diǎn)P開始運(yùn)動時，還能在函數(shù)圖象上看到對應(yīng)于該時刻的點(diǎn).清晰地顯示了分段函數(shù)各段上的情形以及分界點(diǎn)時的情況.

圖10

對這類問題借助幾何畫板處理，有助于學(xué)生直觀把握函數(shù)概念中“一個量變化，另一個量也隨著變化……對于x在允許取值范圍內(nèi)的每一個值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)”，加深對函數(shù)和函數(shù)圖象概念的理解.按照馬克思的觀點(diǎn)，“有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)”.這種幾何畫板展示讓學(xué)生看到，很多復(fù)雜的問題中都蘊(yùn)含著函數(shù)關(guān)系，因此，很能夠提高學(xué)生用運(yùn)動和辯證的觀點(diǎn)去看待現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系，對提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很高的價值.

圖11

3.2 復(fù)雜圖形精確畫，一網(wǎng)打盡所有解

例10 正方形ABCD邊長為6，動點(diǎn)M、N滿足AM=BN,求線段CF的最小值.

圖12 圖13

易證△ADM≌△BCN,故∠3=∠2,又易由對稱性知∠1=∠2,故∠1=∠3.而∠1+∠FDA=90°,從而∠3+∠FDA=90°,因此∠DFA=90°,點(diǎn)F軌跡是以DA為直徑的半圓.在展示此題的邏輯推理解法之后，用幾何畫板精確畫圖，并拖動點(diǎn)M,讓學(xué)生親眼所見點(diǎn)F軌跡恒在隱形圓上，不可謂不是一種美的享受.

例11 如圖13，長方形ABCD中，BC=8,AB=6,沿AE折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合.有點(diǎn)P在矩形CDFE中，且△AEP和△ECP均為Rt△,求△PCD面積.

本題應(yīng)從兩個直角三角形入手，分析點(diǎn)P應(yīng)在的軌跡.要使△AEP為Rt△,則點(diǎn)P應(yīng)在圖中大半圓軌跡上，要使△ECP為Rt△,則點(diǎn)P應(yīng)在圖中小半圓軌跡上，因此點(diǎn)P應(yīng)在兩半圓交點(diǎn)P1和P2處.接著再尋找相似等關(guān)系解題.相比于手工作圖，幾何畫板展示該題，可以更加精確、快捷、清晰.常規(guī)講題方法與借助幾何畫板演示相結(jié)合，可以在習(xí)題教學(xué)中提升教學(xué)效果.

3.3 任你風(fēng)吹雨打，定值巍然不動

圖14 圖15

圖16 圖17

運(yùn)動的問題用幾何畫板運(yùn)動地展示，能突破紙筆教學(xué)的局限.變化的圖形中卻有定值，使用幾何畫板動態(tài)展示變化中的這種不變，能激起學(xué)生對物質(zhì)世界規(guī)律的相似認(rèn)識：即使自然界斗轉(zhuǎn)星移，滄海桑田，變化萬端，但總有一些客觀規(guī)律隱藏在其中.堅(jiān)持尋找這些規(guī)律，就是寶貴的科學(xué)精神.

4 數(shù)學(xué)文化與興趣激發(fā)

4.1 迭代生成繁復(fù)圖，抽象可達(dá)藝術(shù)景

圖18

幾何畫板的迭代功能，可以將多次重復(fù)的事情交給計(jì)算機(jī)去做，因此容易創(chuàng)造出大量有用的圖形.通過該功能，也能作出分形圖等美麗的圖像.勾股樹是一個方便易作的例子，可以很快制作出來，加強(qiáng)學(xué)生對幾何世界和數(shù)學(xué)世界的興趣.直角三角形三邊上的正方形，是勾股樹中的基本圖形，可用參數(shù)控制迭代深度，用動畫使樹搖動，用參數(shù)顏色使樹多彩.

4.2 函數(shù)公式有聲音，物理機(jī)器與數(shù)理

自古至今，音樂始終就與數(shù)學(xué)之間有密切的聯(lián)系[2].聲音信號可以通過傅里葉級數(shù)轉(zhuǎn)化為周期正弦信號的疊加.同學(xué)們初學(xué)函數(shù)，只知道解析式、圖像、計(jì)算，如果這時告訴他們，函數(shù)還有聲音，不同的函數(shù)還有不同的聲音，而且聲音還可以通過函數(shù)圖像直觀看到“波形”，這對孩子們的震撼無疑是非常大的.而且增加了學(xué)生們對數(shù)學(xué)與物理學(xué)等自然科學(xué)之間聯(lián)系的了解，也進(jìn)一步體會了計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代科技的魅力，有助于提高對知識整體的求知欲.

利用幾何畫板，可以對函數(shù)解析式生成“聲音”操作按鈕.如y=cos(30xπ)+tan(65xπ+20)+sin(3x2+5xe+50)·sin(1.0472+x6-9x+50)能發(fā)出充滿科技感的聲音，y=10sin(2π·512x·sgn(ln(sin(2.6πx))))能發(fā)出電話忙音，y=sin(cos(tan(ex)))能發(fā)出發(fā)動機(jī)的聲音.為什么如此呢？這從函數(shù)圖像上可以看出來.例如y=sin(cos(tan(ex)))的圖像充滿間斷與變化，有類似于周期性的特點(diǎn)，而y=10sin(2π·512x·sgn(ln(sin(2.6πx))))的圖像則更加有規(guī)律，而y=cos(30xπ)+tan(65xπ+20)+sin(3x2+5xe+50)·sin(1.0472弧度+x6-9x+50)的圖象則含有更多隨機(jī)性.接著我們再聽聽一次函數(shù)、二次函數(shù)的聲音，則只是很輕的一聲“啪”而已，這則是由于其函數(shù)圖象過于單調(diào)和簡單.由此，學(xué)生們不僅感覺打開了新世界的大門，而且能體會到初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性作用，增加信心和學(xué)習(xí)動機(jī).

圖19

5 結(jié)語

幾何畫板不僅可以作為教師教學(xué)的輔助工具，也可以作為學(xué)生數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師應(yīng)加強(qiáng)對幾何畫板的學(xué)習(xí)，并在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)合理使用.根據(jù)義務(wù)教育新課程標(biāo)準(zhǔn)以及教育信息化發(fā)展規(guī)劃等國家文件的要求，教師應(yīng)積極主動親近教育信息技術(shù)、更新思想觀念、改進(jìn)教學(xué)方式，將信息化手段與學(xué)科教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，利用信息化手段補(bǔ)充傳統(tǒng)教學(xué)之不足，培養(yǎng)更全面更高素質(zhì)的現(xiàn)代化建設(shè)人才.