薄 喆，葛 根

(天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387)

變截面懸臂梁在眾多結(jié)構(gòu)中有廣泛應(yīng)用,如微機(jī)電系統(tǒng)中的光電開(kāi)關(guān),壓電能量收集器[1],原子力顯微鏡[2]等。其振動(dòng)特性是近20年研究的重點(diǎn)。對(duì)于小振幅的線性振動(dòng),變截面懸臂梁的特征頻率和振型函數(shù)的確定是一大難點(diǎn)。對(duì)于大振幅的振動(dòng)，其非線性特性對(duì)梁的工況有極大的影響，研究者需要度量振動(dòng)的非線性的性質(zhì)(漸軟或漸硬)及得到較精確的幅頻響應(yīng)關(guān)系。

由于控制梁線性振動(dòng)的偏微分方程形式?jīng)]有簡(jiǎn)單函數(shù)解，振型函數(shù)的研究主要有四種方向。①假設(shè)截面隨梁長(zhǎng)慢變,采用攝動(dòng)法的思想,在均勻截面梁的振型函數(shù)的基礎(chǔ)上攝動(dòng),從而得到新的頻率。顯然這種方法理論推導(dǎo)計(jì)算較繁瑣[3]。②采用瑞利-里茲法，采用滿足邊界條件和正交性條件的試驗(yàn)振型函數(shù)，不斷修改項(xiàng)數(shù)，直到得到的頻率收斂。由于該方法需要不斷選擇試驗(yàn)函數(shù)，又要增加項(xiàng)數(shù)，所以非常耗費(fèi)機(jī)時(shí)[4-5]。③基于有限元的半解析法，這種方法是先用有限元建模，得到振型圖像后，用多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行逼近，然后用該多項(xiàng)式函數(shù)當(dāng)成振型函數(shù)進(jìn)行計(jì)算[6-7],因此有較大的舍入誤差。④稱為特殊函數(shù)法，通過(guò)變量變形，將方程的解設(shè)為特殊函數(shù)，如貝塞爾函數(shù)[8-9]、超幾何函數(shù)[10-11]、梅哲G函數(shù)[12-13]的形式。該種方式的缺點(diǎn)在于振型函數(shù)表達(dá)式對(duì)工程人員而言晦澀難懂，有時(shí)振型函數(shù)的系數(shù)可能是復(fù)數(shù)，導(dǎo)致畫(huà)振型圖不便，其優(yōu)點(diǎn)在于精確度高，因?yàn)樗鼪](méi)有經(jīng)過(guò)任何的近似逼近。

對(duì)于大振幅下的非線性特性，主要關(guān)注點(diǎn)在于彎曲導(dǎo)致的幾何非線性和軸向橫向位移關(guān)聯(lián)導(dǎo)致的慣性非線性。這兩種非線性項(xiàng)系數(shù)一般來(lái)自對(duì)變截面梁的偏微分方程的伽遼金法。得到幾何非線性系數(shù)和慣性非線性系數(shù)之后，需要對(duì)整體非線性的性質(zhì)進(jìn)行度量(漸硬或漸軟)。在均勻截面和變截面的懸臂梁研究中，多尺度法都被用以獲取系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)及度量漸軟或漸硬特性的有效非線性系數(shù)。

針對(duì)以上的研究現(xiàn)狀。本文的工作如下：①首先用凱恩方程對(duì)一個(gè)均勻厚度，從固定端向自由端沿軸線逐漸收窄的懸臂梁動(dòng)力學(xué)建模，建模過(guò)程中已經(jīng)考慮幾何非線性和慣性非線性。相比于原來(lái)的先用偏微分后伽遼金截?cái)嗟姆椒?，此方法得到的幾何非線性系數(shù)和慣性非線性系數(shù)表達(dá)式更加簡(jiǎn)潔。②對(duì)模型的線性部分直接求解模態(tài)函數(shù)，在計(jì)算軟件的幫助下，本文采用超幾何函數(shù)和梅哲G函數(shù)的線性組合可保證解的準(zhǔn)確度，振型頻率和有限元法結(jié)果、瑞利里茲法結(jié)果對(duì)比后，高度一致。代入幾何非線性系數(shù)和慣性非線性系數(shù)表達(dá)式后，發(fā)現(xiàn)結(jié)果和原來(lái)的伽遼金方法結(jié)果完全一致，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性。③對(duì)系統(tǒng)非線性特性的研究沒(méi)有使用廣為人知的多尺度法，因?yàn)楸娝苤喑叨确ǖ倪m用范圍是弱非線性振動(dòng)。本文采用了更適用于強(qiáng)非線性振動(dòng)的變分法和能量平衡法，并在能量平衡法的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)得到了相圖近似效果更好的結(jié)果。并且基于這些結(jié)果得到了有效非線性系數(shù)。

1 動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程

如圖1所示，假設(shè)該歐拉伯努利梁為沿著軸線漸窄的等厚度懸臂梁，其特征為：長(zhǎng)度L，固定邊的寬度b0，自由端的寬度為bl，厚度為h，楊氏彈性模量為E，密度為ρ。沿軸向建立軸線坐標(biāo)s，梁的微段長(zhǎng)度為ds，橫向位移w(s,t)和軸向位移u(s,t)。重力效果忽略不計(jì)。

1.1 凱恩方程

(1)

(2)

該懸臂梁假設(shè)為金屬的不可伸長(zhǎng)，如圖1(b)所示，橫向位移w(s,t)和水平位移u(s,t)的關(guān)系如下:

(3)

式中：ξ為形式變量.梁的變形可表示為:

(4)

(5)

(6)

式中：(·)表示對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo)。梁的彎矩M和彎曲變形能U表示為:

(7)

(8)

式中：(′)表示對(duì)s的偏導(dǎo)數(shù)。 把式(7)代入式(8),最終的彎曲變形能為：

(9)

假設(shè)第i階梁的模態(tài)方程為：

wi(s,t)=φi(s)qi(t)

(10)

式中：φi(s)為暫時(shí)未知的模態(tài)空間分布函數(shù)。在自由振動(dòng)假設(shè)下，本文不考慮內(nèi)共振的影響。

將式(10)代入式(5)、(6)和(9)后，再統(tǒng)一代入凱恩方程：

(11)

(12)

引入無(wú)量綱變化關(guān)系：

(13)

1.2 基于超幾何函數(shù)和梅哲G函數(shù)的振型

接下來(lái)我們需要確定振型函數(shù)φ，由線性振動(dòng)的常厚度、線性變寬度的懸臂梁偏微分振動(dòng)方程可知：

(14)

邊界條件為:

w(0,t)=0,w′(0,t)=0,

EI(s)w″(s,t)|s-L=0,[EI(s)w″(s,t)]′|s-L=0

(15)

采用上述相同的無(wú)量綱變換，將式(10)代入式(14)可得：

(16)

(1-pζ)φβ4-[(1-pζ)φ″]″=0

(1-pζ)φ″|ζ=1=0,[(1-pζ)φ″]′|ζ=1=0

(17)

對(duì)于常截面懸臂梁(p=0)模態(tài)方程為眾所周知的：

φ(ζ)=cosh(βζ)-cos(βζ)+

(18)

式中：β是特征方程式(19)的根

1+cos(β)cosh(β)=0

(19)

但是，對(duì)于本文研究的變截面梁而言，模態(tài)方程沒(méi)有如此簡(jiǎn)單。本文對(duì)式(17)直接求解，可得一組由超幾何函數(shù)和梅哲-G函數(shù)線性組合而成的基函數(shù)[12-13]:

φi(ζ)=C1iφ1i+C2iφ2i+C3iφ3i+C4iφ4i,

i=1,2,3,4

(20)

式中：Ci為待定系數(shù)。

(21)

超幾何函數(shù)pFq和梅哲G函數(shù)的定義如下：

pFq(a1,a2…ap;b1,b2…bq;z)=

(22)

(23)

式(22)、(23)中z為獨(dú)立自變量,a1-ap和b1-bq為實(shí)常數(shù)。在式(23)中η為一個(gè)復(fù)變量,m,n,p,q為滿足0≤m≤q,0≤n≤p,的整數(shù)，Γ()表示歐拉Gamma函數(shù)。關(guān)于超幾何函數(shù)pFq和梅哲G函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)及相互關(guān)系不在本文贅述，可參考數(shù)學(xué)工具手冊(cè)。事實(shí)上用數(shù)學(xué)軟件Mathematica或Maple都可實(shí)現(xiàn)從式(17)中第一個(gè)等式直接求解出式(20)的過(guò)程。

為確定待定系數(shù)Ci和βi，需考慮式(17)后的四個(gè)邊界條件。

(24)

1.3 常微分振動(dòng)方程的系數(shù)確定

有了φi(ζ)函數(shù)，常微分方程式(13)可以重新寫為

(25)

式中系數(shù)含義為:無(wú)量綱固有頻率ωi,無(wú)量綱彎曲幾何非線性系數(shù)α1i,無(wú)量綱慣性非線性系數(shù)α2i。

表1 前兩階模態(tài)的系數(shù)Ci和βi

(a) 第一階模態(tài)

(b) 第二階模態(tài)

(26)

由以往的文獻(xiàn)中對(duì)于均勻截面懸臂梁的研究而眾所周知的結(jié)論：幾何非線性系數(shù)α1i決定了方程的漸硬特性，而慣性非線性系數(shù)α2i決定了方程的漸軟特性，我們需要研究不同的形狀參數(shù)p對(duì)這兩個(gè)系數(shù)的影響結(jié)果。

在計(jì)算式(26)之前，需要驗(yàn)證本文的推導(dǎo)過(guò)程的正確性，可將文獻(xiàn)[14]中由牛頓微元法推導(dǎo)出來(lái)的模型進(jìn)行對(duì)比。其文中的動(dòng)力學(xué)偏微分控制方程：

(27)

采用上文相同的無(wú)量綱化可得：

w(0,t)=0,w′(0,t)=0,

(1-pζ)w″(1,t)=0,[(1-pζ)w″(1,t)]′=0

(28)

用伽遼金法對(duì)各項(xiàng)乘以φ再對(duì)ζ沿著梁長(zhǎng)從 0 到 1積分，則各系數(shù)可得：

(29)

比較式(26)和式(29)可知，各系數(shù)的表達(dá)形式完全不同，本文方法得出的式(26)比式(29)更加簡(jiǎn)短。但是如果將式(20)連帶表1的各系數(shù)分別代入式(26)和式(29)，前兩階振型的系數(shù)計(jì)算值是完全相同的。結(jié)果如表2所示。這就證明了本文建模方法的正確性。

由表2可知，隨著懸臂梁的自由端逐漸收尖，前兩階振型的自由振動(dòng)的固有頻率、幾何非線性系數(shù)和慣性非線性系數(shù)都在逐漸增大。本文方法得到的線性固有頻率的值可以和文獻(xiàn)[14]中的有限元方法、及瑞利-里茲法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

表2 前兩階模態(tài)的方程系數(shù)

表3 不同方法得到的圓頻率rad/s的比較

Tab.3 Comparison of the frequency (rad/s) obtained by different methods

階數(shù)本文有限元半解析瑞利-里茲均勻梁振型131.68231.6831.5931.6831.752174.275174.3174.43174.27173.9

從表3來(lái)看，本文方法和里茲-瑞利法還有有限元直接模擬法最一致，直接用均勻截面梁振型的方法精度最低，半解析法精度優(yōu)于直接用均勻截面的振型，低于其他方法，原因可能是曲線擬合時(shí)的舍入誤差。接下來(lái)我們研究方程的漸硬或漸軟特性。

在文獻(xiàn)[15]研究中，作者們用多尺度法得出了一個(gè)判斷系統(tǒng)究竟是漸硬還是漸軟特性的參數(shù)，稱為有效非線性系數(shù)：

(30)

當(dāng)δi>0說(shuō)明i階振型呈現(xiàn)漸硬特性，反之，呈現(xiàn)漸軟特性。本文也要研究隨著截面形狀參數(shù)p的變大，系統(tǒng)的有效非線性系數(shù)將如何變化。

文獻(xiàn)[14-15]采用的研究方法為多尺度法，是適用于弱非線性振動(dòng)的有效方法，但是如果振幅較大、非線性較強(qiáng)時(shí)，求解的頻率精度略有不足，目前不知用式(30)表示的有效非線性系數(shù)判斷漸硬漸軟特性是否合理。所以需要更精確的方法求得響應(yīng)頻率，進(jìn)而進(jìn)一步研究有效非線性系數(shù)的合理性。

2 求解響應(yīng)幅頻關(guān)系及有效非線性系數(shù)

處理含有非線性項(xiàng)的振動(dòng)方法非常多，有基于攝動(dòng)思想的多尺度法、平均法等，它們一般適用于弱非線性振動(dòng)?；谙到y(tǒng)哈密爾頓函數(shù)能量的變分法，和能量平衡法等，既可以適用于弱非線性也適用于強(qiáng)非線性。本文采用變分法[16]和能量平衡法(EBM)[17]兩種方法來(lái)研究振動(dòng)的幅頻關(guān)系，因?yàn)槠溆?jì)算過(guò)程相比攝動(dòng)法簡(jiǎn)單易操作而且精度較高。

2.1 變分法

假設(shè)式(25)的初值條件為：

(31)

式(25)的變分方程為：

(32)

假設(shè)近似解的形式為：

y=Acos(θ)，θ=ω10t

(33)

式中的ω10為待定的響應(yīng)頻率，A為振幅。將式(33)代入式(32)，可得：

(34)

需要保證J(y)對(duì)不同的A保持不變，因此需要J(y)對(duì)A求偏導(dǎo)數(shù)等于零。

(35)

可解得：

(36)

2.2 能量平衡法及改進(jìn)

式(25)的哈密爾頓能量為：

(37)

將近似解式(33)代入式(37)后，得：

(38)

(39)

(40)

令這兩個(gè)值H1、H2相等可解得：

(41)

可見(jiàn)式(36)和式(41)完全一致，它們和由多尺度法得出的結(jié)果[18]式(42)略有不同。

(42)

圖3為對(duì)一階振型的數(shù)值模擬的結(jié)果，實(shí)線為龍格庫(kù)塔法結(jié)果、散點(diǎn)線為能量平衡法結(jié)果、點(diǎn)劃線為多尺度法結(jié)果。在振幅較小時(shí)，兩類方法的結(jié)果很接近，如圖3(a)、(b)所示，其中我們選擇p=0.7，振幅為A=0.05。雖然多尺度法不如能量平衡法的結(jié)果精確，但是可以容忍。然而隨著振幅的變大，多尺度法的結(jié)果是令人無(wú)法接受的，當(dāng)選擇A=0.2時(shí)，如圖3(c)，多尺度的誤差已經(jīng)極大，而能量平衡法的位移結(jié)果尚佳。變分法和能量平衡法兩種方法得到的頻率結(jié)果精度雖然頗高,在對(duì)于模擬較大振幅的振動(dòng)相圖時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然位移誤差不大,但是速度誤差頗大, 如圖3(d)所示，因此本文提出一個(gè)基于能量平衡法的改進(jìn)算法。

鑒于本文非線性項(xiàng)的階數(shù)最高為3階，可假設(shè)方程的解的形式為：

y=acosω10t+(A-a)cos 3ω10t

(43)

(44)

(45)

將H3、H4作差，令平均誤差為零：

(46)

如此可以解出未知系數(shù)a。

采用上述方法可解出當(dāng)p=0.7，A=0.2和A=0.4時(shí)的系數(shù)a分別為：0.202 9和0.416 8，響應(yīng)頻率ω10為4.966 2和5.021 6。如圖3(c)、(d)、(e)、(f)所示,在振幅很大，非線性很強(qiáng)時(shí)，本文的方法能獲得比能量平衡法更佳的近似逼近。尤其在圖3(e)、(f)可以看出, 本文方法的逼近數(shù)值解的精度尤高于能量平衡法。

(a) 振幅A=0.05時(shí)的時(shí)間歷程圖

(b) 振幅A=0.05時(shí)的相圖

(c) 振幅A=0.2時(shí)的時(shí)間歷程圖

(d) 振幅A=0.2時(shí)的相圖

(e) 振幅A=0.4時(shí)的時(shí)間歷程圖

(f) 振幅A=0.4時(shí)的相圖

圖3p=0.7不同振幅下各方法的一階振型響應(yīng)圖

Fig.3 Frequency-amplitude response for the first mode withp=0.7

經(jīng)由以上的分析可知，響應(yīng)頻率的表達(dá)式用(41)式應(yīng)優(yōu)于用多尺度法表示的(42)式，所以基于(41)式研究系統(tǒng)的漸硬或漸軟特性更為合理。當(dāng)ω10大于原始基頻ω時(shí)，系統(tǒng)顯示漸硬特性；反之，為漸軟特性。

(47)

解得3α1>2ω2α2，因此用δ=3α1-2ω2α2大于零或小于零來(lái)判斷系統(tǒng)的漸硬、漸軟特性無(wú)論是對(duì)強(qiáng)非線性還是弱非線性都是合理的。對(duì)本文各例的有效非線性系數(shù)如表4所示。

表4 前兩階有效非線性系數(shù)δ

從表4可以看出,無(wú)論p的取值多少，一階振型均為漸硬特性；二階振型均為漸軟特性。

3 結(jié) 論

本文采用凱恩法的建模和基于超幾何函數(shù)和梅哲G函數(shù)對(duì)變截面梁的線性振型的表達(dá)是成功的。理論上得到了精確的線性振動(dòng)基頻，不同于攝動(dòng)法或半解析法，本法沒(méi)有取近似，所以結(jié)果準(zhǔn)確和有限元法的對(duì)應(yīng)結(jié)果良好。凱恩法得到的幾何非線性系數(shù)和慣性非線性系數(shù)和其他方法得到的系數(shù)也完全一致。

本文采用變分法和能量平衡法求解強(qiáng)非線性的幅頻響應(yīng)是妥當(dāng)?shù)?，在振幅較大時(shí)，即使多尺度法得到的結(jié)果已經(jīng)完全失效時(shí)，這兩種方法的頻率結(jié)果仍非?？尚??；谀芰科胶夥ǖ母倪M(jìn)法得到了更精確的響應(yīng)近似表達(dá)式。

從變分法和能量平衡法得到的幅頻關(guān)系導(dǎo)出的有效非線性系數(shù)和用多尺度法導(dǎo)出的有效非線性系數(shù)具有完全相同的表達(dá)式。因此說(shuō)明該表達(dá)式既適用于弱非線性也適用于強(qiáng)非線性振動(dòng)。