胡小華

(江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 210036)

尺規(guī)作圖是初中平面幾何中的重要知識(shí)，是中考的熱門(mén)題型，學(xué)生需綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，多角度思考問(wèn)題.在初三第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題“過(guò)圓外一點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)，尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并說(shuō)明作圖的依據(jù)，比一比誰(shuí)的畫(huà)法多”.

學(xué)生作品展示

圖1

方法一：利用直徑所對(duì)的圓周角是直角.

連接AO，以AO為直徑作⊙B，⊙B與⊙O相交于D、E兩點(diǎn)，則AD，AE即為所求作的切線(xiàn).

理由：⊙B中∵AO是直徑，

∴∠ADO=90°即OD⊥AD.

∵AD經(jīng)過(guò)半徑OD的外端,

∴AD與⊙O相切.

圖2

該方法是由切線(xiàn)想到垂直，構(gòu)造直角的常用方法之一是利用直徑所對(duì)的圓周角是直角這一定理.再由切線(xiàn)的判定方法：過(guò)半徑外端，并且垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).切線(xiàn)的作法即轉(zhuǎn)化為主要考慮作半徑的垂線(xiàn)的方法，聯(lián)系初三剛學(xué)過(guò)的知識(shí)，我們首先想到的是直徑所對(duì)的圓周角是直角這一定理，這一方法也就順其自然而產(chǎn)生.

方法二：利用“等腰三角形三線(xiàn)合一”的性質(zhì)作垂直.

以O(shè)為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧，以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，OD與⊙O相交于點(diǎn)E，連接AE，則AE即為⊙O的切線(xiàn).另一條切線(xiàn)也可以用同樣的方法作出.

理由：∵AO=AD,

OD=BC=2OE,

∴E為OD的中點(diǎn).

∴AE⊥OD,

∴AE與⊙O相切.

要作切線(xiàn)想到垂直，而利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)也是我們常見(jiàn)的構(gòu)造垂直的方法之一.

方法三：利用勾股定理的逆定理構(gòu)造垂直.

分析：先假設(shè)切線(xiàn)畫(huà)出來(lái)了，則斜邊長(zhǎng)為AO長(zhǎng)，一條直角邊長(zhǎng)為半徑r，根據(jù)勾股定理可以求出另一條直角邊的長(zhǎng).

圖3

作∠DCH=90°，在CH上截取半徑r，交CH于點(diǎn)G，以G為圓心,AO長(zhǎng)為半徑作弧，交CD于點(diǎn)F，則CF長(zhǎng)即為所求作的切線(xiàn)長(zhǎng).

以A為圓心，CF長(zhǎng)為半徑作弧交圓O于點(diǎn)E，連接AE，則AE即為所求作的一條切線(xiàn).

理由：∵∠C=90°,

∴FC2+CG2=FG2.

又∵AO=FG,CG=OE,FC=AE,

∴AE2+OE2=AO2.

∴AE⊥OE,

∴AE是⊙O的切線(xiàn).

圖4

該作圖方法是利用勾股定理的逆定理構(gòu)造直角，想法比較獨(dú)特，通過(guò)先構(gòu)造直角找到三邊關(guān)系，再利用三邊關(guān)系構(gòu)造直角，從而創(chuàng)造切線(xiàn).學(xué)生的思維讓人眼前一亮.

方法四：利用相似作垂直證半徑.

延長(zhǎng)AO到D，使得OD=OA.以D為圓心，以⊙O直徑長(zhǎng)為半徑作弧，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交弧于點(diǎn)F，連接AF.過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AF，交AF于點(diǎn)E，則AE即為所求作的切線(xiàn).

證明：∵AD為直徑,

∴∠AFD=90°.∵OE⊥AF,∴OE∥DF,

前三種方法均是連半徑，作垂直，第四種方法是作垂直證半徑，剛好復(fù)習(xí)了初中階段的證明切線(xiàn)的兩種方法，也是學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題能力的一種體現(xiàn).

在復(fù)習(xí)期間這樣一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和潛能，圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)的思維碰撞，無(wú)不是學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、能動(dòng)性和創(chuàng)造性的綜合體現(xiàn).在解決問(wèn)題的過(guò)程中復(fù)習(xí)了初中階段常見(jiàn)的構(gòu)造垂直的幾種重要方法，我不禁感嘆“只要給學(xué)生一個(gè)舞臺(tái)，他們必將還我一片精彩”！