宋愷殷 金凱樂 李發(fā)元

摘要：“雙8字”型無碳小車的循跡過程沒有電子控制設(shè)備的參與，完全由機(jī)械結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，因此各機(jī)構(gòu)的尺寸、形狀、安裝位置等幾何條件對(duì)于軌跡有重要影響。以基于蝸輪蝸桿結(jié)構(gòu)的“雙8字”型無碳小車為基礎(chǔ)，總結(jié)其中對(duì)軌跡有重要影響的幾何關(guān)系，得出數(shù)學(xué)模型，給出控制“雙8字”型無碳小車的軌跡的方法，從而能更加科學(xué)地根據(jù)要求來調(diào)整軌跡。

Abstract： The tracking process of double-8-character carbon-free car is completely realized by mechanical structure without the participation of electronic control equipment， so geometric conditions such as size， shape and installation position of each mechanism have an important impact on the trajectory. The double-8-character type of worm wheel and worm structure is taken as an example to summarize the geometric relationship which has an important impact on the trajectory. The method of controlling the trajectory of the double-8-character type carbon-free car is explored， so that the trajectory can be adjusted more scientifically according to the requirements.

關(guān)鍵詞：無碳小車;雙8字;循跡;蝸輪蝸桿;軌跡調(diào)整;幾何關(guān)系;數(shù)學(xué)模型

Key words： carbon-free car;double-8-character;tracking process;worm wheel and worm structure;trajectory adjustment; geometric relations;mathematical model

中圖分類號(hào)：TP23? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-4311（2019）34-0238-04

0 引言

無碳小車是一種僅僅依靠4焦耳（重力加速度g取10m/s2）重力勢(shì)能作為能量來源的三輪結(jié)構(gòu)小車[1]，旨在實(shí)現(xiàn)重力勢(shì)能的高效利用，節(jié)能環(huán)保。無碳小車需要實(shí)現(xiàn)按照指定路徑行進(jìn)的功能，由于其沒有電子控制系統(tǒng)，循跡過程完全由機(jī)械結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)[2]，一些機(jī)構(gòu)的幾何特征對(duì)于軌跡有關(guān)鍵影響?！半p8字”型無碳小車在循跡過程中需要繞樁行進(jìn)，樁距為變量（350±50mm）軌跡如圖1所示。如何根據(jù)不同的的樁距來調(diào)整小車機(jī)械結(jié)構(gòu)中的參數(shù)使之能最大限度地完成循跡過程是文中討論的主要問題。

1? 研究背景

目前比較常用的無碳小車的轉(zhuǎn)向微調(diào)機(jī)構(gòu)有螺旋測(cè)微頭機(jī)構(gòu)[3]和蝸輪蝸桿機(jī)構(gòu)[4]。目前的研究主要通過MATLAB進(jìn)行仿真[5]，能得出理想化的結(jié)果。但是無碳小車中的各部分具有耦合關(guān)系，各自由度均為不直接可控自由度，并且整車系統(tǒng)中沒有反饋使之形成閉環(huán)，系統(tǒng)發(fā)散。[6]在實(shí)際操作過程中，由零件磨損、二次裝配精度和場(chǎng)地條件等因素的影響，實(shí)際情況可能會(huì)與仿真結(jié)果有較大的出入，需要進(jìn)行調(diào)整。因此，本文以自主設(shè)計(jì)的基于蝸輪蝸桿和凸輪機(jī)構(gòu)的“雙8字”形無碳小車為研究基礎(chǔ)（該構(gòu)型小車在第六屆全國(guó)大學(xué)生工程能力競(jìng)賽中獲得了國(guó)家級(jí)一等獎(jiǎng)，證書編號(hào)：2019021002）;總結(jié)無碳小車在行進(jìn)過程中的幾何關(guān)系和幾何要素，建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，指導(dǎo)無碳小車的微調(diào)過程，使之更好地跑出預(yù)期軌跡。研究所用的無碳小車如圖2、圖3所示。

2? 結(jié)構(gòu)方案

2.1 傳動(dòng)機(jī)構(gòu)方案

小車的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)如圖4所示。重錘繞在定滑輪的小圓上，重錘下落，通過定滑輪轉(zhuǎn)向，從而通過繩子帶動(dòng)凸輪軸旋轉(zhuǎn)。凸輪與大齒輪均與凸輪軸固連，因此凸輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)大齒輪和凸輪同步轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪與小齒輪嚙合，大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)帶動(dòng)小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，小齒輪帶動(dòng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，從而驅(qū)動(dòng)小車前進(jìn)。從動(dòng)輪與后輪軸之間安裝有軸承，以此來實(shí)現(xiàn)差速轉(zhuǎn)向。

2.2 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)方案

研究基于自主設(shè)計(jì)的基于蝸輪蝸桿機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)向微調(diào)機(jī)構(gòu)，使微調(diào)過程更清晰直觀。利用凸輪機(jī)構(gòu)配合蝸輪蝸桿結(jié)果實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向[7]。轉(zhuǎn)動(dòng)手?jǐn)Q螺絲將帶動(dòng)蝸桿旋轉(zhuǎn)，從而帶動(dòng)蝸輪旋轉(zhuǎn)。蝸輪和前叉均通過頂絲固連在前輪轉(zhuǎn)向軸上，前輪與前輪軸一起固定在前叉上。蝸輪蝸桿機(jī)構(gòu)具有較高的傳動(dòng)比，能夠縮小調(diào)節(jié)的幅度從而實(shí)現(xiàn)更精細(xì)的調(diào)節(jié)。因此可以通過旋轉(zhuǎn)手?jǐn)Q螺絲來實(shí)現(xiàn)前輪的初始偏角的微調(diào)。

3? 幾何關(guān)系分析

3.1 車定滑輪-凸輪軸傳動(dòng)比與小車最大行進(jìn)圈數(shù)的關(guān)系

小車每完成一個(gè)“雙8”字軌跡的行駛會(huì)進(jìn)行4次變向，即軌跡的曲率中心的所在側(cè)發(fā)生四次變化。因此，小車每行駛過一個(gè)“雙8”字，凸輪必須旋轉(zhuǎn)兩圈來完成四次變向。如圖4所示，H代表重錘最大的下落距離。則定滑輪旋轉(zhuǎn)的最大圈數(shù)凸輪旋轉(zhuǎn)的最大圈數(shù)設(shè)定滑輪-凸輪軸傳動(dòng)比為P，則于是小車能行駛的最大圈數(shù)可以看出，在結(jié)構(gòu)不變和給定重錘下落高度的情況下，定滑輪-凸輪軸的傳動(dòng)比P越大，小車能行駛的圈數(shù)越多，且二者成正比關(guān)系。

3.2 凸輪安裝位置與推桿擺角的關(guān)系坐標(biāo)系和轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化模型如圖6所示，凸輪安裝位置到前輪轉(zhuǎn)向軸中軸線的Y向距離為d，凸輪軸到前輪轉(zhuǎn)向軸的中心距離為e。由可以求得cosα的值，又角α與β為平行線間對(duì)錯(cuò)角，因此cosα=cosβ。又在⊿def中由勾股定理知設(shè)推桿的最大x向推進(jìn)距離為c，則c=b-a。因此在⊿fgc中，依據(jù)余弦定理有再對(duì)⊿fgc使用一次余弦定理有從而可以求出角θ的值其中a，b，e均為固定量，只有凸輪安裝位置到前輪轉(zhuǎn)向軸中軸線的Y向距離d為變量，因此，推桿擺角θ是凸輪安裝位置d的單值函數(shù)

3.3 軌跡曲率半徑與前輪初始偏角和凸輪安裝位置的關(guān)系?如圖7所示建立坐標(biāo)系。設(shè)小車前輪與Y軸的初始夾角為Φ，到達(dá)B處時(shí)小車前輪與X軸的夾角為ξ，前輪轉(zhuǎn)向軸到后輪軸的中心距離為h（定值），小車行駛到A處時(shí)的的曲率半徑為i，小車行駛到B處時(shí)的曲率半徑為j。可以看出而推桿與前輪通過前輪軸固連在一起，因此結(jié)合3.2的結(jié)論，ξ與Φ具有如下關(guān)系于是有即兩端的圓弧軌跡的曲率半徑僅有前輪的初始偏角決定，而中段圓弧的曲率半徑由前輪的初始偏角和凸輪的安裝位置共同決定。

3.4 軌跡周長(zhǎng)約束關(guān)系

小車的前輪軌跡、主動(dòng)輪軌跡、從動(dòng)輪軌跡是一組等距曲線。以小車走完一個(gè)完整 “雙8字”為一周，根據(jù)傳動(dòng)關(guān)系，每一周凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)兩圈，則主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)設(shè)主動(dòng)輪的軌跡周長(zhǎng)為m，結(jié)合3.3的分析可知設(shè)主動(dòng)輪的直徑為l，軌跡周長(zhǎng)應(yīng)與主動(dòng)輪行駛距離相等從而有根據(jù)張連兆，劉富成，王碩，曹丹丹[8]等人的研究，軌跡的中段圓弧和端段圓弧的曲率半徑j(luò)和i對(duì)于軌跡的形狀有影響，軌跡的具體表達(dá)式的求解在數(shù)學(xué)上具有困難，導(dǎo)致Φ和d的關(guān)系無法求解。但是通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得知，在可調(diào)范圍內(nèi)，對(duì)于給定的d值，僅有唯一的Φ值使軌跡符合要求，即對(duì)于給定的d，方程m（？準(zhǔn)，d）=c具有唯一解Φ0，因此可以進(jìn)行函數(shù)插值來近似求解d與Φ的關(guān)系。

3.5 前輪初始偏角、凸輪安裝位置、最適樁距三者間的近似關(guān)系

根據(jù)3.4的分析，每個(gè)d值僅對(duì)應(yīng)一個(gè)Φ值使軌跡符合正“雙8字”，通過實(shí)驗(yàn)可以得到一組映射。

而根據(jù)3.3的分析，每一組（di，Φi）都對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的軌跡，即每一組（di，Φi）對(duì)應(yīng)一個(gè)最合適的樁距ki，于是得到映射。

利用拉格朗日插值多項(xiàng)式進(jìn)行函數(shù)插值[9]由此即可以建立Φ關(guān)于d的插值多項(xiàng)式Φn（d）和k關(guān)于d的插值多項(xiàng)式kn（d）。其插值余項(xiàng)

4? 實(shí)際測(cè)試

以西北工業(yè)大學(xué)無碳小車創(chuàng)新實(shí)踐基地中基礎(chǔ)基本相同兩組成員為實(shí)驗(yàn)樣本，兩組成員使用相同“雙8字”型無碳小車，該小車與本研究所基于的無碳小車構(gòu)型相同。告知其中一組成員上述內(nèi)容并指導(dǎo)其結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算與調(diào)整，另一組給予相同的時(shí)間條件，但不提供理論指導(dǎo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果以行進(jìn)的最大圈數(shù)為指標(biāo)，每完成一個(gè)“雙8”字軌跡的行駛記為完成一圈，圈數(shù)越多代表成績(jī)?cè)胶?。每組測(cè)試三次，測(cè)試結(jié)果見表1。

組2在測(cè)試中重錘均未能下落到最底端，在重錘下落完全之前小車便撞樁停止行進(jìn)，造成了重力勢(shì)能的大量浪費(fèi)。而組1則在被告知和指導(dǎo)使用本分析后跑出了42圈的成績(jī)，重錘下落至最底端?？梢?，本分析對(duì)于無碳小車軌跡調(diào)整的指導(dǎo)意義顯著。

5? 結(jié)束語(yǔ)

本研究對(duì)“雙8字”型無碳小車進(jìn)行了一系列的幾何關(guān)系分析，揭示了“雙8字”型小車的循跡原理，著重分析了凸輪安裝位置和前輪初始偏角對(duì)軌跡的影響，利用函數(shù)插值的方法進(jìn)行擬合，指出了如何調(diào)整凸輪的初始位置和前輪的初始偏角使軌跡與給定的障礙樁距相適應(yīng)的方法。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法對(duì)于無碳小車的軌跡調(diào)整的指導(dǎo)作用顯著，使之能夠有效地利用重力勢(shì)能。

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