馬 戈，謝 進，汪 燦，鄒 政

(西南交通大學 機械工程學院，四川 成都 610031)

0 引言

壓電耦合系數(shù)對于計算俘能器將機械能轉化為電能具有重要影響。在壓電線性本構關系中，壓電耦合系數(shù)被認為是常數(shù)[1]；但也有研究結果認為壓電本構關系是非線性的[2]，即壓電耦合系數(shù)Θ與壓電陶瓷應變X之間為二次非線性關系，即Θ=θ(1+α|X|+βX2)，其中θ為線性壓電本構關系中的壓電耦合常數(shù)，α和β分別為非線性壓電耦合一、二次項系數(shù)。

在俘能器的性能分析中，Triplett等[3]將一次非線性壓電耦合系數(shù)α≠0，β=0。結果表明，當激勵較大時，非線性機電耦合關系能更準確預測俘能器輸出功率。Stanton等[4]利用非線性壓電本構方程推導出了壓電耦合系數(shù)的二次非線性表達式，即α≠0，β≠0。Silva等[1]分別研究了壓電耦合為常數(shù)、并考慮一、二次非線性耦合系數(shù)，研究結果表明：壓電耦合的二次非線性能很好地與實驗結果吻合，且非線性壓電耦合在共振點處對俘能器輸出功率影響較大。Cellular等[5]將二次非線性壓電耦合系數(shù)引入到雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，證明其適用于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，且能夠提升俘能器的功率轉化率。

現(xiàn)有對俘能器非線性壓電耦合系數(shù)的研究都是以單自由度俘能器為對象展開的，且忽略了對振動位移的研究。

本文研究的L型梁俘能器是一個二自由度系統(tǒng)[6-7]，且振動位移能對俘能器的使用壽命有一定影響[8]。本文將二次非線性壓電耦合系數(shù)引入到L型梁俘能器的性能分析中，比較不同激勵幅值下非線性壓電耦合系數(shù)對俘能器振動與性能的影響及其與線性壓電耦合系數(shù)下俘能器振動與性能之間的差異。

1 L型梁俘能器的數(shù)學模型

圖1 L型梁俘能器模型圖

采用與文獻[9]相同的集中參數(shù)法建立系統(tǒng)的計算模型。計算模型為二自由度的彈簧-質量塊系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 集中參數(shù)模型圖

根據(jù)牛頓第二定律和基爾霍夫定律，得到圖2所示的L型梁壓電俘能器的壓電耦合控制方程：

(1)

式中：Mi為等效質量；Ki為等效剛度；Ci為等效阻尼，其中下角i=1時表示L型梁主梁參數(shù)，i=2時為副梁參數(shù)；X1為主梁相對Z的位移;X2為副梁相對主梁的相對位移；R為外接電路負載電阻;Cp為俘能器等效電容；F(X1)為磁力[11]。

對壓電耦合方程無量綱化，可得系統(tǒng)無量綱方程：

(2)

其中無量綱參數(shù)為

(3)

(4)

X1=Lx1

(5)

X2=Lx2

(6)

t=ω1τ

(7)

(8)

V=ev

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

m=αL

(21)

n=βL2

(22)

式中:L為主梁長度值;MA、MB分別為兩個永磁鐵的磁化強度;VA、VB為永磁鐵的體積；μ0為真空磁導率；d為兩永磁鐵之間的磁間距。

非線性壓電耦合一、二次項系數(shù)α和β經(jīng)過無量綱化后變?yōu)闊o量綱參數(shù)為m和n。

俘能器的輸出功率采用無量綱均方電壓表示：

(23)

式中:N為選取的結果中無量綱電壓值的個數(shù);v1為主梁的無量綱電壓。

2 不同激勵幅值下非線性壓電耦合系數(shù)對系統(tǒng)響應的影響

研究表明,只有當激勵幅值達到一定值時非線性壓電耦合的輸出功率與線性壓電耦合的輸出功率才會表現(xiàn)出明顯的差異。據(jù)此，本文研究了在不同激勵幅值下L型梁俘能器的非線性壓電耦合系數(shù)的變化對輸出功率與振動位移的影響。

采用四階龍格-庫塔法對式(2)進行數(shù)值求解，設置初始條件為0，選取無量綱參數(shù)ξ1=0.014 6，ξ2=0.012 3，μ=1.211 4，η=1.755 3，a=0.022 5，b=1.036 2，χ=0.05，λ=0.05，?=0.5。

2.1 不同激勵幅值下系數(shù)m對系統(tǒng)響應的影響

取系數(shù)n=0.5，對A0分別為0.1g(g=9.8 m/s2),1g,10g3種情況進行研究。

1)A0=0.1g時得到系統(tǒng)響應隨m的變化如圖3所示。

圖3 A0=0.1 g時系統(tǒng)響應隨m的變化

由圖3可知，非線性機電耦合系數(shù)不改變系統(tǒng)的共振頻率，且對共振點處的輸出功率v2和x1的值有影響，此結論與文獻[1]的結論一致。在后面的研究中為清楚地說明該參數(shù)對v2及x1的影響，僅展示俘能器在第一、二個共振點處的系統(tǒng)響應，分別稱為共振點1和共振點2。

A0=0.1g時，L型梁俘能器在兩個共振點處的x1與v2隨m變化的曲線圖如圖4、5所示。當變參數(shù)取0值時，與線性情況下的曲線接近甚至重合。

圖4 A0=0.1 g兩共振點v2隨m的變化

圖5 A0=0.1 g共振點1中x1隨m的變化

由圖4可知，在俘能器的兩個共振點處，壓電俘能器的v2隨m的增大而增大。m取負值時，小于線性壓電耦合下的v2；m取正值時，大于線性壓電耦合下的v2。在共振點1處，非線性壓電耦合與線性壓電耦合的v2的差異為-1.195%～1.195%；在共振點2處，此差異為-0.28%～0.28%?？傊?，當A0=0.1g時，兩種耦合關系下俘能器的v2差異較小，可認為兩種耦合關系下俘能器的v2相等。

由圖3(b)可知，當A0=0.1g時，只在共振點1處，俘能器的x1受m的影響而產(chǎn)生差異，如圖5所示。由圖5可知，俘能器的x1隨m的增大而減小。m取負值時，大于線性壓電耦合下的x1；m取正值時，小于線性壓電耦合下的x1。非線性壓電耦合與線性壓電耦合的x1之間的差異為-0.308%～0.257%。

總之，兩種耦合下系統(tǒng)的x1差異較小，可認為x1相同。

2)A0=1g時俘能器在兩個共振點處系統(tǒng)響應隨m的變化如圖6、7所示。

圖6 A0=1 g兩共振點v2隨m的變化

圖7 A0=1 g兩共振點x1隨m的變化

由圖6、7可知，A0=1g與A0=0.1g對應的曲線隨m變化的趨勢相同，只是在共振點2處，非線性壓電耦合項對俘能器的x1也會受m的影響而產(chǎn)生差異。

非線性壓電耦合與線性壓電耦合下俘能器在兩個共振點處的v2差異分別為-10.71%～9.59%和-2.93%～2.79%，x1的差異分別為-3.12%～2.54%和-0.058%～0.029%。

總之，在此激勵幅值下，考慮非線性壓電耦合項與線性壓電耦合的俘能器響應在共振點1處產(chǎn)生了明顯的區(qū)別。

3)A0=10g時俘能器在兩共振點處系統(tǒng)響應如圖8、9所示。

圖8 A0=10 g兩共振點v2隨m的變化

圖9 A0=10 g兩共振點x1隨m的變化

由圖8可知，在此激勵幅值下，兩個共振點處俘能器的帶寬會隨m的增大而增大。

由圖9(b)可知，在共振點2處，x1的幅值表現(xiàn)出隨m的增大先減小后增大的復雜趨勢，對應的共振頻率呈現(xiàn)硬化特征。

在此激勵幅值下，考慮非線性壓電耦合項與線性壓電耦合在兩個共振點處的v2的差異分別為-48.15%～104.22%和-27.73%～21.28%，x1的差異分別為-3.14%～1.28%和0～2.5%。

總之，在此激勵幅值下，兩種壓電耦合關系作用下的俘能器在兩共振點處的響應差異明顯。

2.2 不同激勵幅值下系數(shù)n對系統(tǒng)響應的影響

取系數(shù)m=0.5，對A0分別為0.1g,1g,10g3種情況進行研究。

1)A0=0.1g時系統(tǒng)響應如圖10、11所示。

圖10 A0=0.1 g時共振點1中v2隨n的變化

圖11 A0=0.1 g時共振點1中x1隨n的變化

在A0=0.1g下，俘能器的輸出響應只在共振點1處隨n變化。由圖10,11可知,非線性壓電耦合下俘能器的輸出功率隨n值增大而增大，x1隨n值的增大而減小。本文研究中n的取值范圍內，無論n取何值，考慮非線性壓電耦合項的v2都大于線性壓電耦合下的v2，x1都小于線性壓電耦合下的x1。

在A0=0.1g下，考慮非線性壓電耦合項與線性壓電耦合在兩個共振點處的v2的差異為0.585%～0.608%，x1差異為-0.154%。

總之，在A0=0.1g下，兩種壓電耦合下俘能器的響應差異較小，可忽略。

2)A0=1g時系統(tǒng)響應如圖12、13所示。

圖12 A0=1 g兩共振點v2隨n的變化

圖13 A0=1 g共振點1中x1隨n的變化

由圖12,13可知，系統(tǒng)響應隨n值的變化趨勢與A0=0.1g時的趨勢一致，不同之處是俘能器的v2在共振點2處也表現(xiàn)出隨n值變化的特點。

在A0=1g下，考慮非線性壓電耦合項與線性壓電耦合在兩個共振點處v2的差異分別為3.65%～5.37%和1.33%～1.39%。而x1僅在共振點2處存在差異，為-1.84%～1.04%。

總之，在A0=1g下，兩種壓電耦合關系俘能器的響應已存差異不可忽略。

3)A0=10g時系統(tǒng)響應如圖14、15所示。由圖14可知，在A0=10g下的兩個共振點處，俘能器的工作帶寬隨n值增大而增大。

圖14 A0=10 g兩共振點v2隨n的變化

圖15 A0=10 g兩共振點x1隨n的變化

由圖15(b)可知，在共振點2處，俘能器的共振頻率也出現(xiàn)硬化響應的特征。

在A0=10g下，考慮非線性壓電耦合項與線性壓電耦合在兩個共振點處的v2的差異分別為0～82.61%和6.97%～13.73%，x1的差異分別為-2.65%～0和-1.33%～2%。

總之，俘能器在共振點處兩種耦合關系作用下得到的響應有較大差異。

3 結論

本文研究了非線性機電耦合對二自由度系統(tǒng)L型梁雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的輸出功率和主梁運動的影響，主要結論如下：

1) L型梁雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器在受到激勵幅值較小時，非線性壓電耦合項對俘能器輸出功率及主梁的運動的影響較小，以線性耦合計算即可。但當激勵幅值較大時，在本文研究所取參數(shù)下，激勵幅值大于10g時，非線性壓電耦合與線性壓電耦合下的輸出功率與振動位移存在明顯差異。

2) 非線性壓電耦合項的兩個系數(shù)對俘能器輸出功率及主梁的運動的影響總趨勢相同。隨著系數(shù)的增大，俘能器的輸出功率增大，振動位移減小。這也與張宇等[10]在研究雙穩(wěn)態(tài)中常數(shù)壓電耦合系數(shù)變化導致系統(tǒng)響應變化的結果一致。另外，本文的研究表明，當激勵幅值為10g時，俘能器的工作帶寬隨這兩個系數(shù)的增大而增大，并且在共振點2處出現(xiàn)硬化響應的特征。

3) 非線性壓電耦合項的兩個系數(shù)對俘能器輸出功率及主梁運動的影響的區(qū)別是：m取正值時，非線性壓電耦合下俘能器的輸出功率才大于線性壓電耦合下的輸出功率，振動位移才小于線性壓電耦合下的振動位移；若取負值，則相反。而n的變化使非線性壓電耦合下的輸出功率總是大于線性壓電耦合下的輸出功率，振動位移總是小于線性壓電耦合下的振動位移。