廣東省廣州市華僑外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(510095)操明剛 陳錦喜

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者以信息的輸入、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部的心理表征，進(jìn)而獲得心理意義的過(guò)程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是對(duì)學(xué)生知識(shí)、技能、概念、法則在心理上組織起恰當(dāng)?shù)挠行дJ(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的層級(jí)劃分對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著不容忽視的意義.

一、什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的層級(jí)劃分

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度所決定，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要有一定的心理基礎(chǔ)，選擇和調(diào)動(dòng)起相對(duì)稱的知識(shí)圖式，其學(xué)習(xí)水平是一個(gè)信息或要素組織的過(guò)程，同時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)還需要認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再組織.英國(guó)的S·Pirie 和加拿大的T·Kieren 提出了一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展的“超回歸”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平模型，兩位學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)劃分為八個(gè)水平，即原始認(rèn)知、產(chǎn)生表象、性質(zhì)認(rèn)知、形式化、觀察評(píng)述、構(gòu)造化和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造.而文[2]則認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)大體上經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)型認(rèn)識(shí)階段、形式化認(rèn)識(shí)階段、關(guān)系型認(rèn)識(shí)階段和觀念型認(rèn)識(shí)階段的四個(gè)層級(jí)水平，來(lái)描述數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步深入的過(guò)程.

二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平層級(jí)劃分理論的應(yīng)用

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是各地中考試卷中出現(xiàn)較多的題型，動(dòng)態(tài)幾何是關(guān)于幾何圖形存在動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖形等方面的問(wèn)題，它集點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、線段的運(yùn)動(dòng)、圖形的變化于一身，集幾何、代數(shù)于一體，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)探究特殊位置時(shí)的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，從而建立方程或函數(shù)模型求解.動(dòng)態(tài)幾何題往往借用陳題改編，對(duì)此學(xué)生似曾相識(shí)，卻又都蘊(yùn)藏著不同程度的變化.既保證了學(xué)生在中考時(shí)心理不至于產(chǎn)生大的波動(dòng)，同時(shí)，試題的變化又使學(xué)生無(wú)法進(jìn)行簡(jiǎn)單的模仿或復(fù)制，較好地考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，使試題承載了良好的考試信度和考試效度.人民教育出版社章建躍博士指出:“構(gòu)建恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題(系列)是有效教學(xué)的基本線索，問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的一條基本原則，有了恰時(shí)恰點(diǎn)適度的問(wèn)題，學(xué)生有效地獨(dú)立思考、自由探究、合作交流才能有平臺(tái).”“經(jīng)過(guò)教學(xué)，學(xué)生將會(huì)有哪些變化，會(huì)做哪些以前不會(huì)做的事，……教學(xué)目標(biāo)的制定反映了教師對(duì)教學(xué)、教材以及學(xué)生理解的整體水平，是教學(xué)水平的集中體現(xiàn).那種‘一步到位’的教學(xué)目標(biāo)，顯然不符合要求，也是教學(xué)水平不高的表現(xiàn).”

圖1

筆者以動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的課堂教學(xué)為例，就數(shù)學(xué)教學(xué)水平的層級(jí)劃分理論加以說(shuō)明，具體如下:從一道基本的幾何問(wèn)題(人教版第二十七章第71 頁(yè)第13 題)談起，如圖1所示，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm?

解析正方形PQMN的QM邊在BC上，所以PN//BC，所以△APN ～△ABC，由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，易求得答案.由于此題所給數(shù)據(jù)具體，方法常規(guī)，求解過(guò)程學(xué)生一般不會(huì)產(chǎn)生障礙，將數(shù)量關(guān)系聯(lián)系函數(shù)為線索尋求表征形式化.

變式1如果四邊形PQMN為△ABC的內(nèi)接矩形，AD是BC邊上的高，邊BC= 120mm，AD= 80mm，設(shè)PN=xmm，矩形PQMN的面積為ymm 則

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)x為何值時(shí)y有最大值，且y最大值是多少?

說(shuō)明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平層級(jí)劃分的第一階段為經(jīng)驗(yàn)型認(rèn)識(shí)階段.這個(gè)階段的認(rèn)識(shí)就是通常所說(shuō)的直觀水平，學(xué)生將教學(xué)對(duì)象看作一個(gè)直觀的整體，常使用典型例子代表一類數(shù)學(xué)對(duì)象，這個(gè)階段的認(rèn)識(shí)，更多地包含一些模仿的、平面的、非本質(zhì)甚至到謬誤成分.此時(shí)做變式就是挖掘教材題目的價(jià)值，適時(shí)適度地拓展其內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生的視覺(jué)表象，探究動(dòng)態(tài)幾何的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)理關(guān)系，變式1 也僅停留在這個(gè)階段.

變式2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)函數(shù)y=x,y=的圖象交于點(diǎn)A.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA方向以每秒1 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，作PQ//x軸，交直線BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與△OAB重疊部分的面積為S.

圖2

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)試求出點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)的關(guān)系式;

(3)在(2)的條件下，S是否有最大值? 若有，求出t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值;若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(4)若點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊部分面積最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足的條件是什么?

解析(1)由所給函數(shù)解析式聯(lián)立方程組可得所以A(4,4).

(2)點(diǎn)P在y=x上，OP=t，則點(diǎn)P坐標(biāo)為點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為并且點(diǎn)Q在y=上.所以即點(diǎn)Q坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

(4)顯然，當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A后繼續(xù)按照原來(lái)的方向、原來(lái)的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，重疊的部分面積最大為△OAB的面積，于是，問(wèn)題就變?yōu)楫?dāng)t為何值時(shí)正方形正好將△OAB覆蓋，這時(shí)，故t滿足的條件是

說(shuō)明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平層次劃分的第二階段為形式化認(rèn)識(shí)階段.形式化認(rèn)識(shí)意味著學(xué)生對(duì)自身知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的一種整理、組織和概括、這一過(guò)程在第一階段經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)不斷積累的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)各種具體模型的識(shí)別、分化，達(dá)到對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的形式化理解和形式化認(rèn)識(shí)的產(chǎn)生.變式2 的新穎之處是將基本圖形置于一次函數(shù)的背景之中，使函數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題有機(jī)結(jié)合，隨著p 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，正方形PQMN 與△OAB 重疊部分的圖形發(fā)生了改變，其中的分類討論等數(shù)學(xué)思想方法形成形式化認(rèn)識(shí)，第4 問(wèn)的設(shè)置是本題的亮點(diǎn).

變式3如圖3，在銳角△ABC中，BC=9,AH ⊥BC于 點(diǎn)H，且AH= 6，點(diǎn)D為AB邊上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，交AC于點(diǎn)E.設(shè)△ADE的高AF為x(0＜x ＜6)，以DE為折線將△ADE翻折，所得的△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y(點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)A′落在AH所在的直線上).

圖3

圖4

(1)分別求出當(dāng)0＜x≤3 與3＜x ＜6 時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大? 最大值是多少?

解析(1)①當(dāng)0＜ x≤ 3時(shí)，由折疊得到的△A′ED落在△ABC內(nèi)部如圖5，重疊部分為△A′ED，因 為DE//BC，所以∠ADE= ∠B,∠AED= ∠C，所以△ADE ～△ABC，所以即又因?yàn)镕A′=FA=x，所以·A′F=所以

圖5

②當(dāng)3＜x ＜6 時(shí)，由折疊得到的△A′ED有一部分落在△ABC外，如圖6，重疊部分為梯形EDPQ，因?yàn)镕H=6-AF=6-x，A′H=A′F -FH=x-(6-x)= 2x-6，又因?yàn)镈E//PQ，所以△A′PQ ～△A′DE，所以PQ=3(x-3).所以

圖6

(2)當(dāng)0＜ x≤ 3 時(shí)，y的最大值:當(dāng)3＜x ＜6 時(shí)，由+18x-27 =可知:當(dāng)x=4 時(shí)，y的最大值:y2=9，因?yàn)閥1＜y2，所以當(dāng)x=4 時(shí)，y有最大值，y最大值為9.

說(shuō)明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平層次劃分的第三階段為關(guān)系型認(rèn)識(shí)階段.關(guān)系型認(rèn)識(shí)是在相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中把握知識(shí)的內(nèi)涵和本質(zhì).雖然形式化認(rèn)識(shí)已涉及概括化和本質(zhì)化水平，但仍局限于對(duì)單一的數(shù)學(xué)對(duì)象，更沒(méi)有意識(shí)地區(qū)別它與其它知識(shí)的異同點(diǎn)和層次，也不明確各種數(shù)學(xué)對(duì)象的適用范圍即表現(xiàn)出比較低的解題遷移水平.變式3 是將基本幾何題與軸對(duì)稱變換聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)D 的運(yùn)動(dòng)，重疊部分的圖形就在三角形與梯形之間變化關(guān)系上突顯出來(lái)，變式3 需要學(xué)生提取已有的知識(shí)網(wǎng)內(nèi)的相關(guān)知識(shí)并融為一體去分析求解，其學(xué)習(xí)水平層次劃分屬關(guān)系型認(rèn)識(shí).

變式4如圖7，△ABC的高AD為3，BC為4，直線EF//BC，交線段AB于E，交線段AC于F，交AD于G，以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF(點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線EF的異側(cè))，設(shè)EF為x，△PEF與四邊形BCEF重合部分的面積為y.

圖7

(1)求線段AG(用x表示);

(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍.

解析(1)由EF//BC，所以△AEF ～ △ABC，AD ⊥ BC于D交EF于G，所以所以

(2)由圖和已知條件知，△AEF ～ △ABC從而得AG表達(dá)式，分兩種情況;當(dāng)點(diǎn)P在四邊形BCFE的內(nèi)部或BC邊上時(shí) 如圖8，易得的關(guān)系

圖8

圖9

說(shuō)明此題多次用到三角形相似的性質(zhì)，適當(dāng)作輔助線找三角形相似，把幾何關(guān)系用函數(shù)表示出來(lái)，是很好的題型.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平層次劃分的第四階段為觀念型認(rèn)識(shí)階段.觀念型認(rèn)識(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)整體把握，具有發(fā)展性英語(yǔ)整體性的特點(diǎn)，觀念型認(rèn)識(shí)的針對(duì)最弱，但涵蓋范圍最廣，知識(shí)升華到觀念型認(rèn)識(shí)，可認(rèn)為達(dá)到學(xué)習(xí)水平的頂層，但不能說(shuō)僅限于此，在認(rèn)知驅(qū)動(dòng)下將會(huì)從深度和廣度兩方面不斷擴(kuò)展.變式4 可以說(shuō)是對(duì)變式3 的改進(jìn)，思維的價(jià)值更高，△PEF 不像變式3 直接翻折下來(lái)那么直觀，需要學(xué)生多作出幾個(gè)符合條件的草圖，結(jié)合圖形研究分類的范圍，變式3 的思維含量無(wú)疑大了許多.

三、幾點(diǎn)思考

3.1 對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平層級(jí)是一種大致劃分，作為一種文字描述性的劃分缺乏精確性和嚴(yán)格性.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平受縱向與橫向發(fā)展的復(fù)雜性、多元性的綜合作用影響，就縱向而言，主要體現(xiàn)在各層級(jí)水平間的交叉性和滲透性; 就橫向而言，主要體現(xiàn)于個(gè)體學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)背景和認(rèn)識(shí)風(fēng)格，不存在唯一的標(biāo)準(zhǔn).

3.2 當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平發(fā)展主要障礙有三個(gè)方面.其一，學(xué)習(xí)者因各種原因，沒(méi)有積極投身課堂的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去，其水平僅限于此，甚至不能達(dá)到層次劃分的第一階段.其二，學(xué)習(xí)者尚未應(yīng)有的心理準(zhǔn)備和知識(shí)儲(chǔ)備，這就為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)設(shè)置了障礙.其三，學(xué)習(xí)者即使認(rèn)知結(jié)構(gòu)沒(méi)有缺損，但對(duì)于教學(xué)中的內(nèi)容沒(méi)有建立聯(lián)系，也構(gòu)成學(xué)習(xí)者的障礙.

3.3 針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平層級(jí)的階段認(rèn)識(shí)，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在的學(xué)習(xí)愿望，經(jīng)常有意識(shí)地設(shè)計(jì)以某個(gè)知識(shí)技能訓(xùn)練為主線的有聯(lián)系的變式題組，通過(guò)“形異質(zhì)同”或“形近質(zhì)同”的設(shè)問(wèn)方式改變，豐富問(wèn)題設(shè)計(jì)的立意及內(nèi)涵，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中充滿自信，達(dá)到“漫江碧透，魚翔淺底”的境界.