廣東省廣州市育才中學(510080)雷 娟

筆者2019年3月在廣州市越秀區(qū)全區(qū)教研活動作《“七年級下代數(shù)”教材分析和教學建議》公開發(fā)言，其中講到《“二元一次方程組應用題”的教學建議》，教研組長總結點評“即使生源層次不同，每個教師聽后都會有所收獲”，同時獲得在場教師好評.筆者會后反思感悟，再結合所聽兩節(jié)相關公開課，就二元一次方程組應用題課型如何設計教學，整理思路，總結如下:

一、分層遞進，根據(jù)生源差異，設計層次不同的題組

針對參差不齊的生源，因人而異，因材施教，根據(jù)學生的認知差異設計由淺到深的系列題組層層遞進，步步深入，全面培養(yǎng)不同學生的學習能力，讓每個學生學有所得[1].具體做法為設計三組層次不同的題組.第一組基礎題針對學弱生，設計容易入手，簡單易明的基礎題，注重基礎知識的掌握和基本能力的培養(yǎng);第二組中等題針對中等生，設計難度中等，鞏固基礎，靈活運用的題組;第三組提升題針對學優(yōu)生，設計難度較大，拓展提升，綜合運用的題組，如期末統(tǒng)考或中考題的壓軸題等.

下以一節(jié)筆者任教的二元一次方程組應用題專題課為例(所任教班級生源兩級分化較大):列方程組解應用題，首先找出已知量和未知量，關鍵是找出題目中的兩個等量關系.教學中首要先引導學生找出題目的等量關系關鍵句或者分析題意找出隱含的等量關系.面對學弱生，首先以熟悉簡單的實際問題入手，降低難度，使學生容易入手，教學中可以放慢速度，引導學生充分審題，學會在題干用劃線法找出等量關系句，手把手找出等量關系.

基礎題 例1李巍有中國郵票和外國郵票共335 張，中國郵票的張數(shù)比外國郵票的張數(shù)的3 倍少17 張.中國郵票和外國郵票各多少張？

分析:題目中含有兩個未知數(shù)，列出兩個等量關系.

(1)中國郵票的張數(shù)+外國郵票的張數(shù)=335;

(2)中國郵票的張數(shù)=3×外國郵票的張數(shù)-17;

設計意圖以一道簡單易明的題目入手，讓學弱生能盡快入門.

中等題 例2甲乙分別從相距20 千米的兩地出發(fā)，相向而行.如果甲比乙早出發(fā)30 分鐘，那么在乙出發(fā)后1 小時，他們相遇;如果同時出發(fā)，那么1 小時后兩人還相距11 千米.求甲乙的速度？

設計意圖以一道難度中等的路程類型應用題，引出路程題的關鍵是畫出行程示意圖.

中等題 例3(課本P99 探究一)養(yǎng)牛場原有30 只大牛和15 只小牛，一天約用飼料675kg;一周后又購進12 只大牛和5 只小牛，這時一天約用飼料940kg;飼養(yǎng)員李大叔估計每只大牛一天約用飼料18 20kg，每只小牛一天約用飼料7 8kg，你能否通過計算檢驗他的估計？

設計意圖本例題有關估算與精確計算的比較，開放地尋求設計方案，目的讓學生一題多解，再優(yōu)中選優(yōu)，體會不同方法的優(yōu)劣.

提升題例4某商場計劃撥款9 萬元從廠家購進50 臺電視機，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機，出廠價分別為甲種每臺1500 元，乙種每臺2100 元，丙種每臺2500 元.

(1)若商場同時購進其中兩種不同型號電視機共50 臺，用去9 萬元，請你研究一下商場的進貨方案;

(2)若商場銷售一臺甲種電視機可獲利150 元，銷售一臺乙種電視機可獲利200 元，銷售一臺丙種電視機可獲利250 元.在同時購進兩種不同型號電視機的方案中，為使銷售時獲利最多，你選擇哪種進貨方案？

(3)若商場準備用9 萬元同時購進三種不同型號的電視機50臺，請你設計進貨方案.

設計意圖在上一題難度中等的課本方案題的基礎上，拓展提升，以二元一次方程組應用題為基礎，有機糅合多知識點綜合運用于方案設計.針對學優(yōu)生的特點，選取難度大的綜合壓軸題，大大提升這一層次學生的興趣和能力.

二、變式提升，針對中考熱點，進行變式教學

變式教學是指教師通過改變題目的條件結論，轉化問題的形式和內容，但萬變不離其宗，不改變問題的實質和核心知識點以及解題思路，有意識讓學生理解問題變與不變的本質[1].變式教學運用于初中數(shù)學課堂，讓學生脫離了枯燥無趣的題海訓練，一題多用，一題多變，一題多解，多題重組，多題歸一，借題發(fā)揮，以點帶面，達到做一題通一類的效果.變式教學有利于加深理解概念，抓住問題本質，探索問題的內涵聯(lián)系和外延關系，大大促進學生的探究意識和多維度理解問題的能力.

下以筆者所在學校朱允華老師執(zhí)教的越秀區(qū)公開課《8.3 實際問題與二元一次方程組(2)》為例:

例1如圖1，用5 個一樣 大小的小長方形恰好可以拼成如圖所示的大長方形，若小長方形的周長是12cm，求小長方形的長和寬[2].

圖1

設計意圖以最簡單的圖形入手，讓學生學會數(shù)形結合，通過分析題意結合幾何圖形得出等量關系.

變式1如圖2，大長方形圖案由10 個完全一樣的小長方形拼成，且每個小長方形的周長為100cm，求小長方形的長和寬.

圖2

設計意圖增加小長方形的個數(shù)，加大尋找等量關系的難度.但解題思路延續(xù)例1.

變式2如圖3，在長為10m，寬為8m 的長方形空地中，沿平行于長方形各邊的方向分割出三個完全一樣的小長方形花圃，求三個小長方形花圃的面積之和.

圖3

設計意圖層層遞進，變換圖形，結合生活實際，但通過觀察圖形找出兩個等量關系的思路不變.

變式3小龍在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8 個一樣大的小長方形，恰好可以拼成一個大長方形，如圖4所示;陳曄看見了說“我來試一試”，結果陳曄七拼八湊，拼成一個如圖5的正方形，中間留下一個洞，恰好是邊長2mm 的小正方形，你能算出小長方形的長和寬嗎？

圖4

圖5

設計意圖從上題一個圖形變成兩個圖形，從一個圖形對應兩個等量關系變成一個圖形對應一個等量關系.

變式4圖6是由22 個周長為20cm 的小長方形是拼接成的一個大長方形，當中出現(xiàn)三個大小一樣的小正方形空隙，試求出三個小正方形空隙的面積和.

圖6

設計意圖把簡單圖形提升到復雜圖形的組合，讓學生在一個主題下不斷提升，題目千變萬化，解題思路不變.

變式5如圖7，用一些長短相同的小木棍，連續(xù)擺正方形或六邊形要求每兩個相鄰的圖形只有一條公共邊.已知擺放的正方形比六邊形多4 個，并且一共用了110 個小木棍，問連續(xù)擺放了正方形和六邊形各多少個？

圖7

設計意圖結合找規(guī)律，把圖形相關的二元一次方程組應用題解題思路更廣泛運用到綜合題.

三、改編課例，源于課本，不拘泥于課本

教材中許多例題，都具有典型性，示范性，探索性，不能簡單地就題論題，應一題多變，根據(jù)學生實際情況，進行適當變化，引申，挖掘，使不同層次的學生都學有所得，學生對知識掌握更系統(tǒng)，開闊學生思路，激發(fā)學生求知欲望.改編教材需要教師深入研究教材，熟悉課標考點，才能用好教材，用活教材[3].

下以一道課本例題的具體教學為例:筆者所在班教授課本“七下例題P99 探究二”，按常規(guī)講法講解，效果不佳，部分學生似懂非懂，學弱生無從入手.在后續(xù)測驗原題重做，學生得分率不高.筆者反思問題所在:此例題難度大，尤其對于剛從小學升上來的初一學生，有幾個知識點學生知識儲備不足，認識不清，在基礎不牢的前提下，做綜合應用題自然無從下手.故筆者經(jīng)過學習研究，和同備課組老師教研討論，參考河南師范大學附屬中學付帥老師的課件《二元一次方程組(2)》，在此基礎上對此例題進行改編，并把這種做法在廣州市越秀區(qū)教研會議做全區(qū)發(fā)言，此后再結合越秀區(qū)鄺晶晶老師2019年4月執(zhí)教的公開課《實際問題與二元一次方程組(面積分割問題)》，做進一步調整，具體做法如下:

(原題“課本P99 探究二”):據(jù)統(tǒng)計資料，甲和乙的單位面積產(chǎn)量的比是1:2，把一塊長為20m，寬為10m 的長方形土地分為兩塊小長方形土地，分別種植甲和乙.怎樣劃分這塊土地，才能使甲和乙的總產(chǎn)量的比是3:4？

(改編后自編題):1.把一塊長為10m，寬為5m 的長方形土地分成兩塊小長方形土地，使得其中一塊小長方形土地的面積為30m2，你是怎么分的？請畫出分割線.

2.甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量分別為10kg/m2、20kg/m2，并且已知甲的種植面積為30kg/m2，乙的種植面積為20kg/m2，則甲種作物的總產(chǎn)量是___kg，乙種作物的總產(chǎn)量是___kg.

3.甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2，并且已知甲的種植面積為30kg/m2，乙的種植面積為20kg/m2，則甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是___.

4.據(jù)統(tǒng)計資料，甲和乙的單位面積產(chǎn)量的比是1:2，把一塊長為20m，寬為10m 的長方形土地分為兩塊小長方形土地，分別種植甲和乙.怎樣劃分這塊土地，才能使甲和乙的總產(chǎn)量的比是3:4？

圖8

5.若將長方形土地改為上底為100 米，下底為200 米，高為100 米的直角梯形土地，甲和乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2，怎樣劃分這塊土地，才能使甲和乙兩種作物的總產(chǎn)量的比還是3:4[4]？

圖9

6.據(jù)統(tǒng)計資料，甲和乙的單位面積產(chǎn)量的比是1:2，用一條線段將一塊長為20m，寬為10m 的長方形土地分為兩部分土地，分別種植甲和乙.怎樣劃分這塊土地，才能使甲和乙的總產(chǎn)量的比是3:4？

(1)兩個長方形; (2)一個三角形和一個梯形; (3)兩個梯形.

圖10

設計意圖

1.針對學生的幾個思維難點，搭建腳手架，分解難點，做到一個問題設計一小問，難點逐個擊破.例如學生對分割和總產(chǎn)量和比例等幾個問題陌生，改編后針對如何分割設計第1 問，針對總產(chǎn)量如何求設計第2 問，針對比例問題設計第3問.

2.針對生源層次較好的班級，可以把題目進行變式拓展.如原題“分割矩形面積”，改編后設計第5 問“能否把梯形面積平分”，難度加大，增強了學優(yōu)生的好奇心和興趣.

3.針對生源優(yōu)異的班級，可以把題目進一步拓展，在第4問“把一塊長為20m，寬為10m 的長方形分成兩個長方形”的基礎上，改編成第6 問“用一條線段將一塊長為20m，寬為10m 的長方形土地分為兩部分土地”.使學生大開眼界，大大提升學生的探究問題和解決開放性問題的能力.

綜上所述，二元一次方程組應用題課型的設計思路和具體做法如下:(一)分層遞進，根據(jù)生源差異設計層次不同的題組;(二)變式提升，針對中考熱點，進行變式教學;(三)改編課例，源于課本，不拘泥于課本.筆者希望通過此文分享，能給出一個具體可行的二元一次方程組應用題教學思路和具體做法借鑒，另外拋磚引玉引起更多的思考，把這一教學思路推廣拓展到更多更廣的教學案例.