■江蘇省江都中學(xué) 唐海軍
立體幾何主要考查空間想象能力(識圖、畫圖、用圖、構(gòu)圖)、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、將 “空間問題平面化、模型化和代數(shù)化”的轉(zhuǎn)化能力,以及一些重要的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。同學(xué)們在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中受認(rèn)知水平所限,容易出現(xiàn)種種思維誤區(qū),本文對立體幾何中的易錯(cuò)題歸類剖析,給出錯(cuò)因分析和提醒,希望能助同學(xué)們一臂之力。
例1如圖1,網(wǎng)格紙上的小正方形邊長為1,粗線是一個(gè)棱錐的三視圖,則此棱錐的體積為( )。
圖1
錯(cuò)解:由三視圖知,四棱錐的底面為正方形,其邊長為2,高為2,則體積故選A。
錯(cuò)因剖析:湊巧蒙對答案,還原幾何體時(shí)缺少模型化的意識。
正解:由三視圖知該棱錐為一個(gè)邊長為2的正方體中的四棱錐,如圖2所示,底面是矩形A1B1CD,寬CD=2,長因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1,所以平面A1B1CD⊥平面ADD1A1,過D1作A1D的垂線D1E,則有D1E⊥ 平面A1B1CD,即 高D1E=所以棱錐的體積V=
圖2
提醒:由三視圖還原幾何體求體積,要弄清幾何體的特征,把三視圖中的數(shù)據(jù)、圖形特點(diǎn)準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為對應(yīng)幾何體中的線段長度、圖形特點(diǎn),進(jìn)而用公式求解。若幾何體的三視圖中至少有兩個(gè)視圖為三角形,則該幾何體為錐體;如果三視圖中出現(xiàn)兩個(gè)或三個(gè)矩形或直角三角形,就可考慮以長方體為載體進(jìn)行視圖還原。
例2如圖3,在棱長為5 的正方體ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=2,Q是A1D1的中點(diǎn),P是棱C1D1上的動點(diǎn),則四面 體PQEF的 體 積( )。
圖3
A.有最小值的一個(gè)變量
B.有最大值的一個(gè)變量
C.沒有最值的一個(gè)變量
D.一個(gè)不變量
錯(cuò)解:選A 或B或C。
錯(cuò)因剖析:忽略三棱錐體積等積變換的目標(biāo):找出易求的底面和高。
正解:連接QA,則QA為Q點(diǎn)到AB的距離。又因?yàn)镋F=2,故S△QEF為定值。又因?yàn)镃1D1∥AB,則由線面平行的判定定理易得C1D1∥面QEF。又P是棱C1D1上的動點(diǎn),故P點(diǎn)到平面QEF的距離也為定值,即四面體PQEF的底面積和高均為定值,所以四面體PQEF的體積為定值。故選D。
提醒:對于三棱錐的體積,可任選一面作底面,目標(biāo)是易求出該底面面積和對應(yīng)的高。
例3一個(gè)盛滿水的三棱錐容器,不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D,E,F,且知SD∶DA=SE∶EB=CF∶FS=2∶1,如圖4 所示,若仍用這個(gè)容器盛水,則最多可盛水的體積是原來的( )。
圖4
錯(cuò)解:選A 或B或C。
錯(cuò)因剖析:不理解這個(gè)容器盛水最多的意義,由過D或F作面ABC的平行平面,通過規(guī)則幾何體的體積求出不規(guī)則幾何體的體積。
正解:當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí),容器盛水最多,所以則最多可盛水的體積是原來故選D。
提醒:理解這個(gè)容器盛水最多的意義是解答的關(guān)鍵,將非規(guī)則體轉(zhuǎn)化為規(guī)則體進(jìn)行求解。
例4斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形,側(cè)棱長等于b,一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角,求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積和體積。
錯(cuò)解:側(cè)面積體積
錯(cuò)因剖析:錯(cuò)解中把三棱柱當(dāng)作直三棱柱求側(cè)面積和體積,缺少作直截面化斜為直的方法。
圖5
正解:“過BC作平面與AA1垂直于M”是求解的關(guān)鍵。 如圖5,過點(diǎn)B作BM⊥AA1于M,連接CM,在△ABM和△ACM中, 因 為AB=AC,∠MAB= ∠MAC=45°,MA為公共邊,所以△ABM≌△ACM,所以∠AMC= ∠AMB=90°,所 以AA1⊥ 面BMC,即平面BMC為直截面。又BM=CM所以△BMC的周長為因?yàn)槔忾L為b,所以S側(cè)= (1+ 2)ab,V=S△BMC·AA1=
提醒:斜棱柱的側(cè)面積和體積的計(jì)算,常常依據(jù)題設(shè)的特殊性構(gòu)建棱的直接面,利用割補(bǔ)法化歸為底面為直接面、高為側(cè)棱長的直棱柱,其S側(cè)=C直截面×L側(cè)棱,V=S直截面×L側(cè)棱。
例5如圖6 所示,已知E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的點(diǎn),且AE=C1F。 求 證:四 邊 形BED1F是平行四邊形。
圖6
錯(cuò) 解:在 正 方 體ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ADD1∥平面B1BCC1,由兩平行平面與第三平面相交得交線平行,故D1E∥FB,同理可證D1F∥EB,故四邊形EBFD1為平行四邊形。
錯(cuò)因剖析:盲目地套用平面幾何定理。
正解:在△ABE和△C1D1F中,因?yàn)锳B=C1D1,AE=C1F,∠EAB= ∠FC1D1=90°,所以Rt△EAB≌Rt△FC1D1,所以EB=D1F。 同 理 可 證D1E=BF。 連 接EF,BD1,則它們相交于各自中點(diǎn),從而B,E,F,D1四點(diǎn)在同一平面內(nèi)。 所以四邊形EBFD1是平行四邊形。
提醒:平面幾何中的有關(guān)結(jié)論在空間不一定成立,平面幾何中的結(jié)論在立體幾何中應(yīng)用時(shí)應(yīng)遵循兩點(diǎn):(1)空間中放在同一平面內(nèi)用;(2)先證明在空間是真命題再用。
例6△ABC的邊BC上的高線為AD,BD=a,CD=b,將△ABC沿AD折成大小為θ的二面角B-AD-C,若則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是( )。
A.銳角三角形
B.鈍角三角形
C.直角三角形
D.形狀與a、b的值有關(guān)的三角形
錯(cuò)解:選D。
錯(cuò)因剖析:將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清,易瞎猜。
正解:作出平面圖形(圖7)和空間圖形(圖8),尋求折疊前后在同一平面內(nèi)的圖形為不變量切入,如圖8,且BD=a,CD=b,由余弦定理所以BC2=b2-a2,則BD⊥BC。又AD⊥面BCD,所以AD⊥BC,所 以BC⊥ 面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC為直角三角形。故選C。
圖7
圖8
提醒:翻折與展開是一個(gè)問題的兩個(gè)方面,均要注意平面圖形與立體圖形各個(gè)對應(yīng)元素的相對變化,元素間的大小與位置關(guān)系。在翻折過程中,處在同一個(gè)半平面內(nèi)的元素是不變的,弄清這一點(diǎn)是解決這類問題的關(guān)鍵。
例7如圖9,在四棱錐V-ABCD中, 底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD,求 二面角A-VD-B的余弦值。
圖9
錯(cuò)解:過V作VO⊥AD于O,由已知平面VAD⊥底面ABCD,所以VO⊥底面ABCD,所以以O(shè)A,OV分別為x軸,z軸建立如圖10所示的空間坐標(biāo)系,分別計(jì)算出面VAD與面VBD的法向量為n1=(0,1,0),所 以
所以二面角A-VD-B的余弦值為
剖析:法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ),本題中觀察知二面角A-VD-B為銳二面角。
正解:錯(cuò)解中應(yīng)補(bǔ)充,由圖形知二面角A-VD-B為銳二面角,則二面角A-VD-B的余弦值為
提醒:利用空間向量求二面角,先求兩平面的法向量,利用向量的夾角公式求出兩法向量的夾角,二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補(bǔ),具體是哪一種,一般有兩種判斷方法:(1)根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角;(2)根據(jù)兩法向量的方向判斷。
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考數(shù)學(xué))2019年11期