張 杰

（東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林吉林 132012）

數(shù)學(xué)是幾乎所有自然科學(xué)和工程技術(shù)研究的基礎(chǔ)，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計算機(jī)的普及，數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，以空前的廣度和深度向經(jīng)濟(jì)、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透，數(shù)學(xué)理論與計算技術(shù)的不斷進(jìn)步使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個重要組成部分。大學(xué)數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力方面具有獨特的地位和難以替代的重要作用。人們對各種問題的要求越來越精確，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛和深入，數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴(kuò)充。

在創(chuàng)新人才的培養(yǎng)過程中，需要改變數(shù)學(xué)教學(xué)的觀念，不僅需要學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而且要有科技人才應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素質(zhì)，即科學(xué)思維方法、邏輯推理能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)能力和計算機(jī)應(yīng)用能力。通過這種教學(xué)使學(xué)生了解如何利用數(shù)學(xué)知識和方法去分析問題和解決問題，使他們在以后的工作中能經(jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)和利用計算機(jī)軟件去解決問題。在保持傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)點的同時，融入討論式、問題式、案例式教學(xué)。使學(xué)生能在教師的指導(dǎo)下，選擇從自己周圍遇到的和社會生活中出現(xiàn)的有興趣的問題，用類似科學(xué)研究的方式去解決。這樣做法既有利于教師組織教學(xué)，也適合于教師引導(dǎo)學(xué)生對一些問題進(jìn)行“研究”和“探索”訓(xùn)練。這種探索有利于訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，鍛煉學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法及數(shù)學(xué)軟件解決問題的能力，有利于培養(yǎng)和發(fā)掘優(yōu)秀人才。

1 算例分析

某染料廠用甲、乙、丙三種原料混合配制出A、B、C三種不同的產(chǎn)品。原料甲、乙、丙每天的最大供應(yīng)量分別為100、100、60千克，每千克單價分別為65、25、35元。

由于A、B、C三種產(chǎn)品的質(zhì)量限制，要求產(chǎn)品A中含原料甲不少于50%，含原料乙不超過25%；產(chǎn)品B中含原料甲不少于25%，含原料乙不超過50%；產(chǎn)品C的原料配比無限制，產(chǎn)品A、B含原料丙比例無限制。產(chǎn)品A、B、C每千克的售價分別為50、35、25元。

問應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能使所獲利潤達(dá)到最大？

首先，將信息提煉并制表，可得問題的全部信息見表1。

表1 產(chǎn)品信息表

（1）確定決策變量

設(shè)xij表示第i種產(chǎn)品中含第j種原料的數(shù)量（單位：千克），見表2

產(chǎn)品 原料乙甲丙A B C x11x12x13x21x22x 23 x31x32x33

（2）確定約束條件

原料配比約束：

日供應(yīng)量約束：

（3）確定目標(biāo)函數(shù)

此問題的目標(biāo)為獲利最大，因此目標(biāo)函數(shù)為：

問題的數(shù)學(xué)模型為：

利用LINGO軟件求解，結(jié)果見下表

產(chǎn)品 原料甲乙丙A B C 100 50 50 0 0 0 0日供應(yīng)量上限100 100 0 0 6 0

日獲利最大值為500元。

2 問題的進(jìn)一步討論分析

2.1 產(chǎn)品最低售價的確定

進(jìn)一步分析可知，原料過剩。在原有決策變量的基礎(chǔ)上，添加三個價格變量，設(shè)

產(chǎn)品A的售價為x1，產(chǎn)品B的售價為x2，產(chǎn)品C售價為x3，單位不變。

原料產(chǎn)品甲乙售價A B C x x 11 x13 x1 12 22 x 21 x x 23 x丙2 x31 x32 x33 x3

定價原則為：

（1）滿足產(chǎn)品配比限制；

（2）三種資源消耗完畢；

（3）每種產(chǎn)品的售價不低于其成本價。

即除原料配比約束外，增加兩個約束條件：

（1）三種資源消耗完畢：

（2）售價不低于成本：

由于要確定三種產(chǎn)品的最低定價，因此目標(biāo)函數(shù)為求利潤的最小值：

問題的數(shù)學(xué)模型為：

利用LINGO軟件求解，得

在滿足定價原則的前提下，最低定價為：產(chǎn)品A—48元，產(chǎn)品B—40元，產(chǎn)品C—39元，此時為零利潤。

2.2 最低定價下，原料消耗完畢的最大利潤

下面計算在最低定價下，原料消耗完畢時的最大利潤

利用LINGO軟件求解，得

日獲利最大值：840元

日獲利最大值：840元。

2.3 產(chǎn)品售價增加對配比方案的影響

進(jìn)一步分析產(chǎn)品售價增加對配比方案的影響，設(shè)

則問題的數(shù)學(xué)模型為：

利用LINGO軟件對目標(biāo)函數(shù)中變量u、v、w的系數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，結(jié)果如下：

分析結(jié)果如下：

（1）產(chǎn)品A的售價增加對配比方案沒有影響；

（2）產(chǎn)品B的售價增加幅度不超過3.5元時，方案不變；

（3）產(chǎn)品C的售價增加幅度不超過9元時，方案不變。

對該案例的研究過程做如下總結(jié)：

（1）本案例在原有的條件下建模求解，其結(jié)果存在原料過剩以及利潤偏低的問題，原因是產(chǎn)品定價不合理造成的；

（2）在合理的定價原則下，建立產(chǎn)品定價模型并求解，得到了三種產(chǎn)品的最低定價；

（3）在最低定價下，重新求最大利潤，并且對產(chǎn)品售價的變化做靈敏度分析。

3 結(jié)論

解決實際問題過程中需要注意以下四點：

（1）在建立數(shù)學(xué)模型的時候盡量避免使用等式約束；

（2）對求解結(jié)果要給予解釋及合理性分析，逐步改進(jìn)模型；

（3）對實際案例中繁雜的信息要善于提煉、列表；

（4）對于具有兩個腳標(biāo)的決策變量，最好用表格的形式表示。