王賀元, 張 穎

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

Lorenz方程是將滿(mǎn)足一定邊界條件的Navier-Stokes方程和熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行傅立葉展開(kāi)后截?cái)喽a(chǎn)生的[1-2]。其實(shí)際背景來(lái)源于簡(jiǎn)化的大氣對(duì)流模型,兩平行板間充滿(mǎn)流體從下板加熱,熱量從下至上傳遞,當(dāng)溫度比較低時(shí),熱量通過(guò)熱傳導(dǎo)方式傳遞,流體不發(fā)生運(yùn)動(dòng)。當(dāng)溫度增高時(shí),液體就要發(fā)生對(duì)流,當(dāng)溫度繼續(xù)升高時(shí),液體會(huì)發(fā)生對(duì)流。在熱壓力條件下不可壓縮的流體運(yùn)動(dòng)可以被描述為如下偏微分方程組:

(1)

其中u=u(x,y,z)為流體的速度場(chǎng),T=T(x,y,z)為流體的溫度場(chǎng),在這個(gè)方程中式中常數(shù)g,ε,v和k分別表示重力加速度,熱膨脹系數(shù),運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù),ΔT為兩板間的溫度差,p為流體的壓力場(chǎng),在邊界上u=u(x,y,z)。

1 豎直截面上的二維對(duì)流問(wèn)題

僅考慮豎直截面上二維流動(dòng)問(wèn)題,引入函數(shù)τ(x,z,t),它的梯度為速度場(chǎng),同時(shí)引入θ(x,z,t)為流體的溫度場(chǎng),并且在靜態(tài)條件下θ(x,z,t)=T(x,z,t)-T0,這里的T0在兩板間呈線性遞減,假定流體不可壓縮,則方程(1)可表示為如下形式:

函數(shù)ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)在邊界上滿(mǎn)足

(4)

對(duì)ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)傅立葉展開(kāi)成如下形式:

(5)

在具體截?cái)噙^(guò)程中,將m1m2,n1,n2,賦予具體的值,使得ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)成為具體的式子,然后將ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)代入式(2)～式(4)中,經(jīng)過(guò)復(fù)雜計(jì)算通過(guò)待定系數(shù)得到截?cái)喾匠獭?/p>

依照上述截?cái)嗟姆椒?在截取五模類(lèi)Lorenz方程組時(shí),將ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)展式設(shè)為如下形式:

(6)

其中x1相當(dāng)于通項(xiàng)中的A1,x2相當(dāng)于通項(xiàng)中的A2,x3相當(dāng)于通項(xiàng)中的A11,x4相當(dāng)于通項(xiàng)中的A12,x5相當(dāng)于通項(xiàng)中的B02,C1,C2為常系數(shù)。

經(jīng)運(yùn)算得

把上述各式代入式(2)和式(3)中,再利用邊界條件(4)經(jīng)整理并根據(jù)物理意義取定其中的參數(shù)得到如下五模類(lèi)Lorenz方程組:

(14)

其中r與溫度有關(guān),稱(chēng)為Rayleigh數(shù)。

2 數(shù)值模擬

上述非線性方程組(14)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,下面我們來(lái)數(shù)值模擬當(dāng)參數(shù)r變化時(shí)方程組的動(dòng)力學(xué)行為如下(取坐標(biāo)為x2,x4,x5):

圖1 r=48.3 繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Fig.1 r=48.3 Rotate about a point

1) 圖1表示當(dāng)r=48.3時(shí)方程組的解軌線不斷繞一點(diǎn)(平衡點(diǎn))旋轉(zhuǎn),且越轉(zhuǎn)越密,此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定,圖2(r=69.2)為軌線繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的另外一種形態(tài),軌線不斷增多且向一起靠攏;圖3表示當(dāng)r=71.4時(shí),系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔[3-6],出現(xiàn)了極限環(huán);圖4所示當(dāng)r=72.3時(shí)由原先的繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變?yōu)槔@兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

2) 圖5(r=74)、圖6(r=76)為系統(tǒng)不斷分岔出一些新軌線,新軌線繼續(xù)繞兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn),即發(fā)生了混沌現(xiàn)象,出現(xiàn)奇怪吸引子[6]。

圖2 r=69.2軌線聚集Fig.2 r=69.2 Rail line to gather

圖4 r=72.3繞2點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Fig.4 r=72.3 Rotation about two points

圖5 r=74奇怪吸引子 Fig.5 r=74 Strange attractor

3) 圖7～圖11分別給出了系統(tǒng)的分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、龐加萊截面、返回映射和功率譜,它們展現(xiàn)了系統(tǒng)混沌行為的普適特征。

圖6 r=76奇怪吸引子Fig.6 r=76 Strange attractor

圖7 分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram

圖8 最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.8 The largest lyapunov index

圖9 r=84.65龐加萊截面Fig.9 r=84.65 Poincare spectru

圖10 r=84.65返回映射Fig.10 r=84.65 Return to the map

圖11 r=84.65功率譜Fig.11 r=84.65 Power spectrum

3 結(jié) 論

本文介紹了Lorenz方程截?cái)嗟幕痉椒?對(duì)Navier-Stokes方程與熱傳導(dǎo)方程中的速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)等變量進(jìn)行二維傅立葉展開(kāi),經(jīng)過(guò)復(fù)雜運(yùn)算最后得到新五模方程組,并對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了數(shù)值模擬。