b>0),其離心率為 ,點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn),已知點(diǎn)A(0,-2),直線AF的斜率為 ,設(shè)坐標(biāo)的原點(diǎn)為O,試回答下列"/>
任莉
[摘 ?要] 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí),高考在考查時(shí)常綜合其他知識(shí)進(jìn)行,其中分析圓錐曲線中三角形面積最值是較為典型的代表,該問題突破求解的關(guān)鍵是合理構(gòu)建三角形的面積模型,聯(lián)合圓錐曲線知識(shí)完成轉(zhuǎn)化. 文章以一道圓錐曲線綜合題為例開展解法探究,模型提煉拓展.
[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;三角形;面積;模型;割補(bǔ)
問題呈現(xiàn),解法探究
1. 問題呈現(xiàn)
例1:已知橢圓E的方程為 + =1 (a>b>0),其離心率為 ,點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn),已知點(diǎn)A(0,-2),直線AF的斜率為 ,設(shè)坐標(biāo)的原點(diǎn)為O,試回答下列問題:
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點(diǎn)A作動(dòng)直線l,與橢圓E相交于點(diǎn)P和Q,試求△OPQ面積最大時(shí)直線l的方程.
2. 解法探究
(1)該問求橢圓E的方程,需要求出半軸長(zhǎng)a和b的值,根據(jù)條件可知e= = ,點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn),則其坐標(biāo)為(c,0),則直線AF的斜率可以表示為k= = ,從而可解得a=2,c= ,則b=1,所以橢圓C的方程為 +y2=1.
(2)該問求所構(gòu)△OPQ的面積最大時(shí)動(dòng)直線l的方程,需要在橢圓內(nèi)構(gòu)建三角形模型,分析其最大值. 直線l經(jīng)過定點(diǎn)A,其斜率不確定,需要對(duì)其加以討論.
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),即l垂直于x軸,分析可知不符合題意.
②當(dāng)直線l不與x軸相垂直時(shí),設(shè)其斜率為k,則l可以表示為y=kx-2,設(shè)l與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo):P(x1,y1),Q(x2,y2),設(shè)原點(diǎn)O到PQ的距離為d,則△OPQ的面積可以表示為S△OPQ= ·PQ·d,因此只需要表示出PQ和d的長(zhǎng),然后聯(lián)立構(gòu)建函數(shù)關(guān)系即可,其中PQ可以通過聯(lián)立直線l與橢圓的方程來(lái)實(shí)現(xiàn),而d則可以利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)完成,具體如下:
聯(lián)立為y=kx-2與 +y2=1,整理可得(1+4k2)x2-16kx+12=0,Δ>0時(shí)可解得x1,2= ,而PQ= ·x1-x2,原點(diǎn)O到直線PQ的距離d= ,有S△OPQ= ·PQ·d= . 設(shè) =t,則t>0,S△OPQ= ,而t+ ≥4,分析可知當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí),即k=± 時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)△OPQ的面積取得最大值,對(duì)應(yīng)的直線l的方程為y=± x-2.
評(píng)價(jià)分析,模型提煉
上述是高考常見的圓錐曲線壓軸題,主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程與橢圓的位置關(guān)系,其中涉及幾何與函數(shù)兩大模塊知識(shí),對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高,尤其是第二問分析三角形面積最大情形下直線的方程,既需要構(gòu)建相應(yīng)的面積模型,又需要結(jié)合代數(shù)分析法來(lái)研究面積最值. 上述求解的突破過程有以下幾點(diǎn)值得探究審視.
1. 把握?qǐng)D像聯(lián)系,提取特征關(guān)系
整體來(lái)看,上述屬于圓錐曲線中三角形的面積分析題,其含有兩大特點(diǎn):一是以橢圓為研究背景,二是所構(gòu)三角形為動(dòng)態(tài)圖形. 因此第(2)問的求解需要準(zhǔn)確識(shí)別圖像聯(lián)系,包括橢圓、動(dòng)直線l的特點(diǎn),以及兩者之間的聯(lián)系,即橢圓的長(zhǎng)半軸位于x軸上,與動(dòng)直線l有兩個(gè)交點(diǎn):P和Q,這兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)O構(gòu)建了所求三角形.
2. 借用代數(shù)不等式,研究面積最值
無(wú)論直線與曲線的位置關(guān)系如何,最終都需要確定分析面積最值的策略,這也是圓錐曲線綜合題突破的關(guān)鍵點(diǎn).一般而言分析最值有兩種策略:一是將其視為不等關(guān)系,借用不等式來(lái)完成;二是構(gòu)建二次函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)完成.上述解題的過程則充分考慮到問題的特殊性,融合兩者,首先構(gòu)建面積函數(shù),然后借用均值不等式簡(jiǎn)化分析,從而達(dá)到了化簡(jiǎn)的目的,也為后續(xù)面積模型的構(gòu)建指明了方向——設(shè)未知,構(gòu)函數(shù).
3. 數(shù)形充分融合,構(gòu)建面積模型
構(gòu)建求解三角形的面積模型是第(2)問求解的核心所在,也是其精華所在,求解圓錐曲線背景下的三角形面積需要充分利用圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)和幾何特點(diǎn). 上述基于三角形的面積公式 bh確定了以直線與橢圓的交點(diǎn)弦為底,以原點(diǎn)到交點(diǎn)弦的距離為高的三角形模型,從而將交點(diǎn)條件充分利用. 同時(shí)上述所用的面積模型也是圓錐曲線壓軸題的經(jīng)典模型,其構(gòu)建過程具有極大的研究?jī)r(jià)值.
【交點(diǎn)弦面積模型】
如圖1所示,點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的一定點(diǎn),直線l與橢圓相交于點(diǎn)A和B,則△ABP的面積模型可以采用如下構(gòu)建方式.
將其視為以交點(diǎn)弦AB為底、以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形,過點(diǎn)P作AB的垂線,垂足為點(diǎn)H,則PH就為底AB上的高,所以△ABP的面積可以表示為S△ABP= ·AB·PH,其中AB可視為橢圓內(nèi)的弦,PH為頂點(diǎn)P到直線AB的距離,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,因此根據(jù)相關(guān)知識(shí)有:
弦長(zhǎng)公式:AB= ·x1-x2 (x1和x2為兩交點(diǎn)的坐標(biāo)),
點(diǎn)到直線的距離公式:d=PH= .
從而有S△ABP= ·AB·PH= ?·x1-x2· ,因此在實(shí)際解題時(shí)可以直接利用該面積模型來(lái)構(gòu)建思路,如下所示:
【模型應(yīng)用示例】
例2:設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1,已知其兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(- ,0)和( ,0),且經(jīng)過點(diǎn) , .
(1)試求橢圓的方程;
(2)直線l的斜率為k,經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),且與橢圓相交于點(diǎn)A和B,試求△OAB面積的最大值.
解析:(1)該問結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)、經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo),以及橢圓的定義,很容易求得標(biāo)準(zhǔn)方程中的a= ,b=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1.
(2)該問分析所構(gòu)三角形的面積最大值,可以采用上述的面積模型,設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),顯然直線斜率存在,直線l的方程為:y=kx-2. 聯(lián)立橢圓E和直線l的方程,可得(1+3k2)x2-12kx+9=0,則x1+x2= ,x1x2= . 參照模型可將△OAB視為以點(diǎn)O為頂點(diǎn)、以線段AB為底的三角形. 設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d,則三角形的面積可以表示為S△OAB= ·AB·d,其中AB= ·x1-x2= · ,而d= ,所以S△OAB= ·AB·d= × · × = .設(shè) =t (t>0),則k2=t2+1,所以S△OAB=6× ,結(jié)合均值不等式可知S△OAB≤ ,當(dāng)且僅當(dāng)t= ?時(shí),等號(hào)成立,所以△OAB面積的最大值為 .
上述問題同樣是分析圓錐曲線背景下三角形面積的最大值,引入交點(diǎn)弦三角形面積模型后可以直接獲得解題的思路,提高解題效率. 該模型的特點(diǎn)是所求三角形的頂點(diǎn)為一定點(diǎn),而弦長(zhǎng)為動(dòng)直線,此時(shí)就可利用該模型來(lái)轉(zhuǎn)化構(gòu)建,通過代數(shù)分析的方式完成求解.
深度拓展,模型探究
上述只是圓錐曲線三角形面積問題眾多模型的一種,在求解對(duì)應(yīng)問題中有著良好的解題效果,并不一定適用于其他類型的面積問題,解題時(shí)需要充分利用題干條件,結(jié)合所構(gòu)三角形的特點(diǎn)來(lái)選用模型.若三角形與x軸或y軸相交于定點(diǎn),則可以利用定點(diǎn)三角形模型,下面深入探究.
【定點(diǎn)三角形模型】
在初中階段我們學(xué)習(xí)了求解函數(shù)綜合題中一般三角形的求解方法,如對(duì)于△ADE,我們可以采用圖2的割補(bǔ)方式,將其面積表示為S△ADE= AF·yD-yE,采用圖3的割補(bǔ)方式將其面積表示為S△ADE= EF·xD-xA.
同樣的,我們可以將該種構(gòu)建方式引入在圓錐曲線背景題中,以三角形與x軸存在兩個(gè)定交點(diǎn)為例,如圖4所示,過點(diǎn)P的直線l與橢圓E有兩個(gè)交點(diǎn)A和B,點(diǎn)Q為x軸上的一個(gè)定點(diǎn),連接AQ和BQ,構(gòu)建△ABQ. 基于上述面積模型,可以將其面積表示為S△ABQ= PQ·yA-yB;同理若點(diǎn)P和Q為y軸上的定點(diǎn),則其面積可以表示為S△ABQ= PQ ·xA-xB. 因此利用該模型解題時(shí)只需要確定定長(zhǎng)線段PQ以及點(diǎn)A和B的坐標(biāo)即可. 考慮到點(diǎn)A和B均位于曲線上,則可以考慮采用方程聯(lián)立的方式,結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)等化,即xA-xB= .
【模型應(yīng)用示例】
例3:已知橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1(a>b>0),其離心率為 ,且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)三角形的周長(zhǎng)為6+4 .
(1)試求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l與橢圓E相交于點(diǎn)A和B,而以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)C,試求△ABC面積的最大值.
解析:分析可知直線l的斜率必然存在,可以將其設(shè)為x=ky+m,設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立橢圓E和直線l的方程,可得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0,則y1+y2=- ,y1y2= . 因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)C,則 · =0,代入坐標(biāo)可確定直線AB必然過定點(diǎn)D ,0,則可以使用上述三角形模型,即求△ABC的面積可以表示為S△ABC= S△ADE= CD·y1-y2= ×CD× = ?,分析可確定S△ABC的最大值為 ,即△ABC面積的最大值為 .
上述同樣是分析橢圓背景中的三角形面積問題,雖然題干沒有表明直線l經(jīng)過定點(diǎn)D,但根據(jù)條件可以挖掘出過定點(diǎn)的隱含條件,因此可以套用定點(diǎn)三角形模型,從而將問題簡(jiǎn)化為分析直線與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo)差.
寫在最后
圓錐曲線中三角形面積的求解是高中常見的問題類型,其解題的關(guān)鍵是聯(lián)合曲線合理構(gòu)建三角形的面積模型. 上述展示的是其中較為常見的面積模型,需要說(shuō)明的是模型之間有著一定聯(lián)系,對(duì)于同一考題有時(shí)可以基于不同的模型來(lái)分析求解,模型并沒有本質(zhì)的區(qū)別. 因此在實(shí)際解題時(shí)需要靈活變通,多實(shí)踐總結(jié).