孫立

[摘 ?要] 輕視教材例題、忽略概念核心、忽略數(shù)學(xué)思想的例題設(shè)計(jì)在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中時(shí)有出現(xiàn). 高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分挖掘教材例題的內(nèi)涵并進(jìn)行循序漸進(jìn)的例題、習(xí)題的設(shè)計(jì)和教學(xué)，使學(xué)生能夠在聚焦概念核心、凸顯數(shù)學(xué)思想的例題中獲得概念的深刻理解.

[關(guān)鍵詞] 例題設(shè)計(jì);誤區(qū);對策;教材;概念核心;數(shù)學(xué)思想

概念教學(xué)在新課程改革的逐步推進(jìn)和深化過程中越發(fā)受到關(guān)注與重視，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程這一觀點(diǎn)與教學(xué)模式也因此在廣大數(shù)學(xué)教育者的視野中越發(fā)重要. 很多教師在觀摩課、研討課、優(yōu)課評比中都展現(xiàn)出了相當(dāng)獨(dú)到的見解，但很多教師在概念教學(xué)中的例題設(shè)計(jì)上卻存在著一定的問題，比如例題過于簡單、照本宣科、放任學(xué)生自學(xué)、例題脫離概念核心等現(xiàn)象時(shí)常可見，這些問題的存在往往導(dǎo)致例題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法不能得到充分的挖掘.

概念教學(xué)例題設(shè)計(jì)的常見誤區(qū)

1. 輕視教材例題

經(jīng)過專家們深思熟慮、精心設(shè)計(jì)的教材例題是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的，這些具備典型性、示范性、科學(xué)性、指導(dǎo)性等特征的教材例題是實(shí)施教學(xué)的精品資料，但有的教師在實(shí)際教學(xué)中卻往往會自作主張地尋找一些“好題”來輔助教學(xué)，這種不切實(shí)際、盲目拔高的例題選擇與教學(xué)往往會令結(jié)果適得其反.

案例1：我校某教師在校級公開課中執(zhí)教了“組合”第一課時(shí)，執(zhí)教老師將教材中的例題擱置一邊，卻選擇設(shè)計(jì)了以下例題：

例1：本班同學(xué)一共上交了50本作業(yè)，如果老師要從中抽選4本進(jìn)行檢查，共計(jì)多少不同選法？

變式：我班同學(xué)的50本作業(yè)混在一起，若每人隨意取一本并產(chǎn)生了48人拿到了自己作業(yè)的結(jié)果，出現(xiàn)這種結(jié)果有幾種可能？

追問：若47人拿到自己的作業(yè)呢？

例2：圖1中有多少個(gè)長方形？

變式：圖2中有多少個(gè)長方形？

執(zhí)教老師設(shè)計(jì)的這兩個(gè)例題是在學(xué)生剛剛接觸計(jì)數(shù)原理、排列和組合知識之時(shí)提出的，這對于學(xué)生來說顯然會存在思維跨度過大的問題，本課的概念核心無形中也會被沖淡. 例2對于學(xué)生的知識遷移能力顯然提出了更高的要求，精致概念的作用也就無從談起了.

2. 忽略概念核心

“變式”這種目前例題、習(xí)題呈現(xiàn)的主要方式在概念的本質(zhì)屬性上并未做出改變，改變的是問題中的條件或結(jié)論、形式或內(nèi)容，這種形式的出現(xiàn)能夠幫助學(xué)生更好地克服思維定式中的消極因素并更好地掌握概念的應(yīng)用. 不過也有不少教師在變式教學(xué)中過于注重形式的呈現(xiàn)，概念核心與本質(zhì)卻遭到了忽視.

案例2：我校另一位教師在“組合”第一課時(shí)的教學(xué)中設(shè)計(jì)了如下變式例題：

例題：已知平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，若以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)進(jìn)行連線，則由此形成的有向線段一共有多少條？

變式1：已知圓上有10個(gè)點(diǎn)，若經(jīng)過每2個(gè)點(diǎn)作弦，則由此可作出多少條弦？

變式2：已知圓上有10個(gè)點(diǎn)，若經(jīng)過每3個(gè)點(diǎn)作內(nèi)接三角形，則由此形成的圓內(nèi)接三角形共有多少個(gè)？

變式3：凸十邊形的對角線一共有多少條？

變式4：凸n（n>3）邊形的對角線一共有多少條？

變式5：已知平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，若其中有4個(gè)點(diǎn)共線，此外不存在3點(diǎn)共線情況.

（1）任意連接這10個(gè)點(diǎn)可獲得多少條直線？

（2）任意連接這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)可獲得多少個(gè)三角形？

這是一組具備情境與背景支撐且緊扣“組合”的特征所設(shè)計(jì)的變式，不過這組變式所做出的變化僅僅局限在應(yīng)用環(huán)境上，揭示概念核心與本質(zhì)的變化顯然沒有得到彰顯.

3. 忽略數(shù)學(xué)思想

概念教學(xué)中的例題可以幫助學(xué)生更好地理解概念的內(nèi)涵和外延，還能幫助學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化為能力. 不過題目難度過大、過于技巧化、與當(dāng)前內(nèi)容脫節(jié)、忽略數(shù)學(xué)思想等教學(xué)誤區(qū)仍有存在.

案例3：我校某教師在“直線的傾斜角和斜率”一課中的例題變式設(shè)計(jì)如下：

例1：已知直線的斜率與傾斜角分別為k和α，若 <α< ，則k的取值范圍如何？

變式：已知直線的斜率與傾斜角分別為k和α，若-1

練習(xí)1：若直線的傾斜角是α，且sinα= ，則該直線的斜率應(yīng)為多少？

練習(xí)2：已知直線y=xsinθ-1，則該直線的傾斜角的范圍怎樣？

該例題與練習(xí)題的設(shè)計(jì)難度較大，技巧化也很強(qiáng)，顯然這是對概念核心思想和本質(zhì)并未準(zhǔn)確把握而造成的.

設(shè)計(jì)對策和原則

1. 重視教材開發(fā)

充分吃透教材并將其中的概念、公式、定理轉(zhuǎn)化成便于學(xué)生理解的“教育形態(tài)”知識，才能使其潛在的教學(xué)功能得到挖掘與開發(fā)并促進(jìn)學(xué)生掌握.

案例4：筆者在“拋物線”的教學(xué)中，充分理解教材并進(jìn)行二次開發(fā)，設(shè)計(jì)了如下例題：

題1：某平面內(nèi)，點(diǎn)P和點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程怎樣？

學(xué)生根據(jù)定義及直線移動的方法得到軌跡方程如下：y2=8x（x≥0）.

題2：某平面內(nèi)，點(diǎn)P和點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x+1=0的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡方程怎樣？

同上可得軌跡方程：y2=8x（x≥0）.

題3：某平面內(nèi)，點(diǎn)P和點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線y軸的距離大2，則點(diǎn)P的軌跡方程怎樣？

有學(xué)生因?yàn)樗季S定式得出結(jié)論：y2=8x（x≥0）.

從圖像上看，x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)都滿足條件，因此方程有：y2=8x（x≥0）和y=0（x<0）.

事實(shí)上，根據(jù)求軌跡的一般方法可得如下列式： =x+2，分類討論：當(dāng)x≥0時(shí)，y2=8x;當(dāng)x<0時(shí)，y=0.

追問：題1、題2中只求得了一個(gè)方程，會不會漏解了？

題4：某平面內(nèi)，點(diǎn)P和點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x-1=0的距離大3，則點(diǎn)P的軌跡方程怎樣？

列式計(jì)算可得軌跡方程y2=8x（x≥1）和y2=-4（x-3）（x<1）;讓動點(diǎn)到直線的距離和到定點(diǎn)的距離相等是幾何方法過程中移動直線的關(guān)鍵，將直線x-1=0左移三個(gè)單位是需要考慮的，直線右移三個(gè)單位的情況同樣需要考慮，如圖3即為將直線左移、右移三個(gè)單位所形成的拋物線疊加的軌跡.

學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情得到大力激發(fā)的同時(shí)也對數(shù)形結(jié)合思想獲得了更為深刻的理解.

2. 循序漸進(jìn)

建立在學(xué)生已有知識基礎(chǔ)上的問題設(shè)計(jì)才能引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，使其思想上產(chǎn)生一定的共鳴并為其留下思考的余地.

案例5：“幾何概型”概念與計(jì)算公式中的例題設(shè)計(jì)：

題1：已知x，y∈[0，6]且x，y∈N，試求事件“x-y≥3”的概率.

題2：已知x，y∈[0，6]且x，y∈R，試求事件“x-y≥3”的概率.

新舊知識之間的聯(lián)系和差別在此例題的設(shè)計(jì)中得到彰顯，古典概型到幾何概型的延伸也在一個(gè)字的改動中充分體現(xiàn).

3. 聚焦概念核心

設(shè)計(jì)著力點(diǎn)聚焦于概念核心上的例題往往更加有助于概念的理解與應(yīng)用.

案例6：函數(shù)概念教學(xué)之后的例題設(shè)計(jì)：

題1：表1所示數(shù)據(jù)為學(xué)生做水龍頭漏水實(shí)驗(yàn)時(shí)采集的，量杯的最大容量為100毫升.

（1）繼續(xù)做實(shí)驗(yàn)的話，量杯內(nèi)的水將會在多少秒后溢出呢？

（2）以上所得為一次函數(shù)嗎？理由何在？

題2：如圖4，小明和小華做水龍頭漏水實(shí)驗(yàn)時(shí)采集了一些數(shù)據(jù)并描述在了直角坐標(biāo)系中，這兩個(gè)圖像不同的原因在哪里？圖5描述的是水龍頭漏水實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，圖像表達(dá)了什么？

函數(shù)味道很濃的兩道例題將函數(shù)概念要表達(dá)的內(nèi)容一一體現(xiàn)了出來，學(xué)生深刻地理解函數(shù)概念的同時(shí)也會充分地感受到數(shù)學(xué)的作用.

4. 要滲透思想方法

滲透思想方法的例題設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生領(lǐng)悟知識的內(nèi)涵并掌握更為有效的解題技能.

案例7：“等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式”的例題設(shè)計(jì)：

例1：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+ ，試求其通項(xiàng)公式. 該數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，其首項(xiàng)如何？公差如何？

例2：已知等差數(shù)列5，4， ，3 ，…，記其前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)Sn最大時(shí)序號n的值如何？

以思想方法為主線的例題設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生順利建立知識點(diǎn)之間的串聯(lián)并最終獲得概念學(xué)習(xí)的深刻領(lǐng)悟.