王金星,譚鵬,李廣明,張旭春
(1.中國路橋工程有限責(zé)任公司,北京100011;2.中交第二公路工程有限公司,西安710065)
肯尼亞位于非洲東部,為熱帶草原氣候,降水季節(jié)差異大。自20 世紀(jì)中葉以來,肯尼亞極端降雨氣候年份明顯增多,由強降雨引發(fā)的氣象災(zāi)難風(fēng)險有所增加[1]。
目前,在現(xiàn)行規(guī)范中還未有計算不同重現(xiàn)期下降雨強度的公式??梢?,如何根據(jù)現(xiàn)存自記錄的雨量資料對肯尼亞地區(qū)進(jìn)行不同重現(xiàn)期降雨強度的計算分析,對肯尼亞地區(qū)更好的發(fā)展及規(guī)范中降雨強度公式的完善具有重要意義。
目前,設(shè)計城市中雨水、排水管道及小匯水流域排水渠道時,短歷時暴雨強度公式是設(shè)計者的主要依據(jù)。我國已對暴雨強度公式的編制與應(yīng)用管理做了規(guī)定,但是,由于實際工程的復(fù)雜性與多變性,往往會出現(xiàn)違背規(guī)范的現(xiàn)象,給市政工程建設(shè)乃至城市建設(shè)的推進(jìn)留下極大的安全隱患。隨著社會發(fā)展的推進(jìn),法規(guī)的健全,科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步以及相關(guān)研究的深入,市政工程的規(guī)劃及設(shè)計水平求能夠滿足更高、更科學(xué)、更具說服力的要求。暴雨強度公式需要做到普及,那么對公式的精度要求也達(dá)到了更高的水準(zhǔn)。所以,需要對公式編制涉及的一系列問題研究得更加透徹,以便于減少暴雨強度公式編制的誤差,提出更好的公式編制方法。
目前,我國的暴雨強度計算公式為:
式中,A1、C、b、n均為地方性參數(shù);T為重現(xiàn)期;t為暴雨歷時,mi n;i為暴雨強度,mm/min。暴雨歷時一般采用5min、10min、15min、20min、30min、45min、60min、90min、120min 共9 個 歷時。重現(xiàn)期一般取0.25a、0.33a、0.5a、1a、2a、3a、5a、10a、20a、50a、100a??梢?,推求暴雨強度時,需要充足的降雨量數(shù)據(jù),但現(xiàn)實中降雨量數(shù)據(jù)并不滿足要求,故研究降雨量的分布模式推求降雨量十分重要。
目前,暴雨強度公式的編制需要根據(jù)當(dāng)?shù)刈杂浻炅抠Y料,再結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計的方法判斷并確定暴雨強度抽樣的分布模式,從而計算出各歷時不同重現(xiàn)期的理論暴雨強度值。其中,還需要設(shè)計者采用適當(dāng)?shù)姆椒ǖ玫焦街械哪承﹨?shù)。目前,國內(nèi)外通常采用指數(shù)分布及皮爾遜(Pearson)Ⅲ型分布模式對暴雨強度抽樣頻數(shù)分布進(jìn)行擬合,并采用經(jīng)驗值與計算相結(jié)合或圖解與計算相結(jié)合的方法進(jìn)行參數(shù)的確定,但是確定參數(shù)的方法已經(jīng)逐步被數(shù)值求解法取代。另外,需要指出的是,由于肯尼亞歷史國情的影響,在推求上述暴雨強度公式時,現(xiàn)存的數(shù)據(jù)并無法滿足要求,其中逐小時及更短時間間隔的降雨量數(shù)據(jù)獲得的難度更大。
2.2.1 指數(shù)分布
在指數(shù)分布模式下,其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為:
式中,xi(i=1,2,…,N)為樣本的降雨量;a為分布曲線離散程度的參數(shù);r為分布曲線的下限。
分布函數(shù)超過概率:
故對應(yīng)于重現(xiàn)期T的分位數(shù):
記1/a=α,接著,根據(jù)抽樣的經(jīng)驗概率分布及最小二乘法,計算確定系數(shù)α、r,再利用式(5)計算各重現(xiàn)期的分位數(shù)。
2.2.2 皮爾遜(Pearson)Ⅲ型分布
在皮爾遜Ⅲ型分布模式下,其密度函數(shù)和分布函數(shù)為:
式中,參數(shù)α≥0,β≥0,抽樣變量xi≥0,分別為概率曲線的尺度和形狀;a為概率曲線的起點與序列零點之間的距離,Γ(α)為關(guān)于α 的函數(shù)。當(dāng)考慮采用皮爾遜型Ⅲ分布來擬合暴雨強度的抽樣資料時,首先要確定參數(shù)α、β、a。下文中,將采用矩法和極大似然法進(jìn)行參數(shù)的確定。
根據(jù)矩法,得到其數(shù)學(xué)期望、方差和偏度系數(shù)分別為:
由此得到:
接著,考慮采用權(quán)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)的修正減小文中使用矩法進(jìn)行皮爾遜Ⅲ型參數(shù)的估計誤差,即:
式中,xˉ為樣本的均值為樣本的均方差;Cs為偏度系數(shù);E為加權(quán)后的一階矩;G為加權(quán)后的二階矩。而
式中,ψ(xi)為正態(tài)概率分布的密度函數(shù);N為樣本(降雨量)數(shù)量。將估計的參數(shù)進(jìn)行加權(quán)之后,就減少了采用矩法造成的誤差,計算精度自然隨之提升,這就是“權(quán)函數(shù)法”。
根據(jù)極大似然法函數(shù),可以得到:
先將式(12)消去 β,再根據(jù)已知 ψ(α)=-0.577216+(a-1)為正整數(shù),故采用迭代法分別求解參數(shù)α、β。
在皮爾遜Ⅲ型概率分布模式中的參數(shù)確定后,通過采用滿足一定精度要求的擬合曲線可以進(jìn)行各概率或重現(xiàn)期所對應(yīng)的分位數(shù)的估算。其中的參數(shù)α 或偏度系數(shù)Cs能夠控制該分布曲線在某概率或重現(xiàn)期所對應(yīng)的分位數(shù)。因此,在實際工程中,當(dāng)某個參數(shù)α 或Cs已知時,可通過曲線離均系數(shù)表計算概率P或重現(xiàn)期T對應(yīng)的分位數(shù)。而“適線法”就是對Cs作適當(dāng)修正,使得其擬合誤差達(dá)到最小。
2.2.3 韋伯(Weibull)分布
在三參數(shù)韋伯分布模式下,其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)為:
式中,b 為尺度參數(shù);c 為形狀參數(shù);d 為位置參數(shù)。特別的,當(dāng)d=0,c=1 時,即為指數(shù)分布。當(dāng) d=0 時,為二參數(shù) Weibull 分布。因此,指數(shù)分布可看作韋伯分布的特殊情況。下文中選用矩法確定參數(shù) b、c、d。
根據(jù)其前三階矩,采用積分可以求得:
故重現(xiàn)期所對應(yīng)的分位數(shù)為:
由于數(shù)據(jù)所限,本文利用前述的概率分布模式對肯尼亞首都內(nèi)羅畢(Nairobi)市(資料年限:1957—2018 年)Jomo Kenyatta Nairobi 臺站(緯度:1.31°S,經(jīng)度:36.91°E,海拔高程:1624m)的逐日歷史降雨強度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。數(shù)據(jù)通過人工逐個查詢的方式在https://en.tutiempo.net/數(shù)據(jù)庫內(nèi)抓取。
圖1 表示1980—2018 年肯尼亞的日均降雨量,在2010年2 月13 日,出現(xiàn)了最大日降雨量341.54mm,該數(shù)據(jù)為近40年來最大降雨,在1980 年也出現(xiàn)了大于300mm 的日均降雨量。不考慮旱季和雨季情況下,上述38 年間,該臺站的日均降雨量為7.59mm,標(biāo)準(zhǔn)方差為9.97mm。這些數(shù)據(jù)對肯尼亞的氣象研究和區(qū)域內(nèi)相關(guān)基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)和防災(zāi)具有重要意義。在未來的幾年中,可能還會有超過300mm 的日均降水量,短時強降雨對路基的影響不可忽視。
重現(xiàn)期是指在一定年代的雨量記錄資料統(tǒng)計期間內(nèi),大于或等于某個暴雨強度的降雨出現(xiàn)一次的平均間隔時間,為該暴雨發(fā)生頻率的倒數(shù)。即某個程度的雨量,多少年出現(xiàn)一次,也是道路排水設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)。該數(shù)據(jù)也是鐵路與公路等基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)部門十分關(guān)心的數(shù)據(jù)?;谏鲜鰵v史降雨記錄,采用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、Weibull 分布、Chi2 分布通過編制相應(yīng)的Python 計算程序推求了不同重現(xiàn)期下肯尼亞日均降雨量的情況(見表1)。
圖1 肯尼亞(1980—2018 年)日均降雨量(Jomo Kenyatta Nairobi 臺站)
表1 肯尼亞(1980—2018 年)日均降雨量推求(Jomo Kenyatta Nairobi 臺站)
從計算結(jié)果來看,采用正態(tài)分布擬合的結(jié)果得到的日降雨量數(shù)據(jù)在各個重現(xiàn)期下均是最小,而Chi2 分布擬合誤差略大;相對而言,使用三參數(shù)韋伯分布和對數(shù)正態(tài)分布擬合抽樣的效果較好。而盡管正態(tài)分布的擬合結(jié)果與其相差大,但是由于正態(tài)分布在理論上可能出現(xiàn)降雨值為負(fù)數(shù)的情況,因此,不建議使用。因此,該地區(qū)10a 一遇的日降雨量在20~23mm 較為恰當(dāng);而20a 一遇的日降雨量則在24~30mm 較為恰當(dāng);50a一遇的日降雨量則在33~40mm 較為恰當(dāng),100a 一遇的日降雨量則在38~45mm 較為恰當(dāng)。
本文在不同重現(xiàn)期的降雨量的推求中對概率分布模式(指數(shù)分布、皮爾遜Ⅲ型分布、韋伯分布、對數(shù)正態(tài)分布)進(jìn)行選擇,再通過對多種參數(shù)估計法的對比和擇優(yōu),對如何提高分布模式的擬合精度具有一定的積極意義。而通常情況下,利用對數(shù)正態(tài)分布或者Weibull 分布推求不同重現(xiàn)期下的降雨量,其參數(shù)擬合精度要高于其他概率分布模式。