江錦波 徐奇超 陳 源 趙文靜 彭旭東

浙江工業(yè)大學(xué)過程裝備及其再制造教育部工程研究中心，杭州，310014

0 引言

以氣體作為潤滑介質(zhì)的推力軸承和氣膜端面密封具有低摩擦阻力、高精度、污染小和長使用壽命的特點(diǎn)，在高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸端和高精度加工設(shè)備上得到廣泛應(yīng)用。為保證兩相對運(yùn)轉(zhuǎn)端面之間有一層穩(wěn)定的微米級氣膜，在摩擦副的某一端面上需開設(shè)能產(chǎn)生流體動靜壓效應(yīng)的結(jié)構(gòu)，如動壓淺槽、節(jié)流孔或微孔織構(gòu)等，其中以對數(shù)螺旋槽為代表的動壓淺槽結(jié)構(gòu)應(yīng)用最廣。

對數(shù)螺旋槽具有強(qiáng)流體動壓效應(yīng)和高氣膜穩(wěn)定性，是干氣密封[1]和氣體推力軸承端面結(jié)構(gòu)的首選端面結(jié)構(gòu)，但目前并沒有明確的分析表明對數(shù)螺旋線在任何條件下都是最優(yōu)的端面型槽型線。近幾十年來，國內(nèi)外學(xué)者一直在探索將其他經(jīng)典幾何型線作為端面型槽型線的可能性。SALANT等[2]、LIU等[3]對比分析了斜直線槽與螺旋槽的機(jī)械密封和推力軸承的泄漏和承載特性，指出型線對端面流場的影響明顯。吳宗祥等[4]、CHEN等[5]、胡丹梅等[6]分別對比分析了直線槽、超橢圓曲線槽和圓弧槽的氣膜密封與螺旋槽氣膜密封的穩(wěn)動態(tài)特性，指出直線槽適用于低速條件。經(jīng)典的幾何型線具有數(shù)學(xué)方程明確、模型描述方便等優(yōu)點(diǎn)，但受限于型線數(shù)學(xué)模型的固有特性，難以實(shí)現(xiàn)端面密封和推力軸承承載特性與氣膜穩(wěn)定性的進(jìn)一步提升。

近年來，隨著智能優(yōu)化算法的發(fā)展，國內(nèi)外學(xué)者采用遺傳算法、SQP等方法對端面型槽進(jìn)行形狀優(yōu)化，獲得了不同條件下端面型槽的最佳形狀。HASHIMOTO[7]、SHEN等[8]、魏超等[9]以樣條曲線表征型槽型線，采用智能優(yōu)化算法對氣體推力軸承和液體機(jī)械密封的型線進(jìn)行優(yōu)化，以期獲得最大的承載力和流體膜剛度；許鵬先等[10]、丁雪興等[11]則以流體流線的擬合曲線為型槽型線，獲得了以5次多項式表達(dá)的最佳型槽型線。樣條曲線和多項式的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，且不具典型性，構(gòu)造表征能力更強(qiáng)的型線通用數(shù)學(xué)模型還有待進(jìn)一步探索。

在對數(shù)螺旋線基礎(chǔ)上，筆者提出了一種幾何表征能力更強(qiáng)的廣義對數(shù)螺旋線，并獲得了斜直線、圓弧線、拋物線和橢圓線等經(jīng)典幾何型線的廣義對數(shù)螺旋線表征方程，對比分析了廣義對數(shù)螺旋角的分布和變化幅值對廣義對數(shù)螺旋槽氣體軸承承載力和氣膜剛度的影響規(guī)律。

1 分析模型

1.1 廣義對數(shù)螺旋線的通用方程

對數(shù)螺旋線的極坐標(biāo)方程為

r=r0exp(θtanβ)

(1)

式中，r為極徑；r0為起始極徑；β為螺旋角；θ為極徑r處的對數(shù)螺旋線與起始點(diǎn)之間的周向夾角。

對數(shù)螺旋線的終止極徑為

rn=r0exp(αtanβ)

(2)

式中，α為對數(shù)螺旋線起始點(diǎn)與終止點(diǎn)之間的周向夾角，也稱為極角。

定義任一型線在周向角θ處的切線與該點(diǎn)圓周線切線之間所夾的銳角為廣義螺旋角β(θ)。理論上，任一連續(xù)光滑的型線都可看成是由無數(shù)段首尾相連的對數(shù)螺旋線微段組成的，統(tǒng)稱為廣義對數(shù)螺旋線。將廣義對數(shù)螺旋線作為側(cè)壁型線的端面型槽稱為廣義對數(shù)螺旋槽，其中，廣義對數(shù)螺旋角沿周向恒為定值的對數(shù)螺旋槽是廣義對數(shù)螺旋槽的一種特例。

后來有些婦女開始說，這是全鎮(zhèn)的羞辱，也是青年的壞榜樣。男子漢不想干涉，但婦女們終于迫使浸禮會牧師—-愛米麗小姐一家人都是屬于圣公會的-—去拜訪她。訪問經(jīng)過他從未透露，但他再也不愿去第二趟了。下個禮拜天他們又駕著馬車出現(xiàn)在街上，于是第二天牧師夫人就寫信告知愛米麗住在亞拉巴馬的親屬。

圖1a所示為典型的機(jī)械密封或推力軸承端面廣義對數(shù)螺旋槽的幾何結(jié)構(gòu)。一個計算周期內(nèi)，槽區(qū)和堰區(qū)的周向夾角分別為θg和θl，則槽寬堰寬比δ=θg/θl。圖1b所示為廣義對數(shù)螺旋線的幾何結(jié)構(gòu)和參數(shù)定義，可將廣義對數(shù)螺旋線看成是由n段普通對數(shù)螺旋線組成的，則第i段對數(shù)螺旋線的極坐標(biāo)方程為

(3)

(4)

(a) 廣義對數(shù)螺旋槽

(b) 廣義對數(shù)螺旋線圖1 廣義對數(shù)螺旋線及廣義螺旋角分布Fig.1 Generalized logarithmic helix and generalized spiral angle distribution

為方便起見，將廣義對數(shù)螺旋線看成是由n段周向等角度的普通對數(shù)螺旋線組成的，即將廣義對數(shù)螺旋線周向n等分，則第i段對數(shù)螺旋線的Δθi=α/n。當(dāng)對數(shù)螺旋線微段無窮多時，式(3)寫成積分形式：

(5)

1.2 氣膜承載特性求解模型

氣體推力軸承端面間的流體可假設(shè)為層流、等溫的等黏度氣體，則計算軸承端面氣膜壓力的量綱一穩(wěn)態(tài)Reynolds方程為

(6)

式中，p、h分別為端面任意點(diǎn)處的氣膜壓力和膜厚；pi為內(nèi)徑處壓力；Λ為密封壓縮數(shù)；ω為角速度；μ為氣體黏度，下標(biāo)i表示密封環(huán)內(nèi)徑的參數(shù)。

求解式(6)的強(qiáng)制性壓力邊界條件為：在軸承內(nèi)徑ri和外徑ro處，Pin=Pout=1。周期性邊界條件為P(θ+2π/Ng,R)=P(θ,R)，其中，Ng為密封周期數(shù)。

圖2為氣膜壓力分布和穩(wěn)態(tài)性能計算的流程圖，其中，κ、e分別為收斂因子和收斂殘差，本文中取為-0.8和10-6，k為計算次數(shù)；下標(biāo)i、j分別為密封端面周向和徑向節(jié)點(diǎn)序號，m、n為密封端面單個計算的周期周向和徑向網(wǎng)格數(shù)，本文中均取為150。采用有限差分法按照圖2所示的程序流程求解式(6)，獲得端面壓力分布，進(jìn)而獲得端面承載力F和軸向氣膜剛度kz：

(7)

(8)

圖2 氣體軸承穩(wěn)態(tài)性能求解流程圖Fig.2 Flow chart of steady-state performance calculation of gas bearing

2 結(jié)果分析與討論

不同形狀廣義對數(shù)螺旋槽軸承性能對比時，對比基準(zhǔn)對于對比結(jié)果至關(guān)重要，參與對比的不同廣義對數(shù)螺旋槽型線的周向角度、周向開槽寬度和徑向開槽寬度等參數(shù)相等。本文分析計算時采用的軸承幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)和操作參數(shù)如下：軸承內(nèi)徑ri=80 mm，槽底半徑rb=90 mm，軸承外徑r0=100 mm，基準(zhǔn)對數(shù)螺旋槽螺旋角β=15°，初始膜厚h0=3 μm，槽深hg=5 μm，槽寬堰寬比δ=1.0，轉(zhuǎn)速n=10 000 r/min，軸承外徑側(cè)與內(nèi)徑側(cè)壓力都為大氣壓pa=101 kPa。

2.1 經(jīng)典型線的廣義對數(shù)螺旋線形式

直線、圓弧線、拋物線和橢圓線是幾種經(jīng)典的數(shù)學(xué)幾何型線，國內(nèi)外學(xué)者探討了將上述經(jīng)典幾何型線作為機(jī)械密封或推力軸承端面型槽側(cè)壁型線的可行性，推導(dǎo)了這4種經(jīng)典幾何型線的廣義螺旋角形式，對比分析了將上述型線作為側(cè)壁型線的廣義對數(shù)螺旋槽推力軸承的承載特性[4,6]。

表1所示為4種幾何型線的極坐標(biāo)方程及其對應(yīng)的廣義螺旋角。圖3所示為直線、圓弧線、拋物線、橢圓線和經(jīng)典對數(shù)螺旋線的幾何模型及對應(yīng)的廣義螺旋角分布，其中，A點(diǎn)、B點(diǎn)分別為幾何型線的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)。從終止半徑rn(外徑側(cè))至起始半徑r0(內(nèi)徑側(cè))，直線的廣義螺旋角β(θ)呈單調(diào)遞減分布，圓弧線的廣義螺旋角β(θ)近似符合線性遞增分布，拋物線的廣義螺旋角β(θ)近似符合拋物線分布，橢圓線的廣義螺旋角β(θ)近似符合對數(shù)分布。

表1 經(jīng)典幾何型線的極坐標(biāo)方程及其廣義螺旋角Tab.1 Polar coordinate and generalize spiral angle of typical molded lines

(a) 經(jīng)典幾何曲線

(b) 廣義螺旋角圖3 經(jīng)典幾何曲線及其廣義螺旋角分布Fig.3 Typical geometrical curves and its corresponding generalized spiral angle distribution

實(shí)際上，AB之間存在著無數(shù)條可能的圓弧線和拋物線，所有可能的圓弧線和拋物線都介于各自的內(nèi)外邊界型線之間，其中，內(nèi)邊界型線定義為槽根處的廣義螺旋角最小時的型線，外邊界型線定義為在外徑處的廣義螺旋角最小時的型線，定義量綱一參數(shù)λ為圓弧線和拋物線的型線位置系數(shù)，λ為0和1分別對應(yīng)內(nèi)外邊界型線。圖4所示為不同型線位置系數(shù)條件下的圓弧線和拋物線，可以看出，型線位置系數(shù)λ很小時，拋物線和圓弧線近似于直線；隨著型線位置系數(shù)的增大，圓弧線和拋物線的特征越趨明顯，與其他型線之間的差別也逐漸增大，故下文中選取λ=1的圓弧線和拋物線作為研究對象。

(a) 圓弧線

(b) 拋物線圖4 不同參數(shù)條件下的圓弧線和拋物線示意圖Fig.4 Schematic diagram of circular arc and parabola at different geometrical parameters

圖5所示為幾種經(jīng)典幾何型線推力軸承的承載力和氣膜剛度隨轉(zhuǎn)速n的變化規(guī)律。由圖5可知，隨著轉(zhuǎn)速的增大，承載力和氣膜剛度都減速遞增。高速條件下，經(jīng)典對數(shù)螺旋槽推力軸承的承載力和氣膜剛度最佳，拋物線型槽的次之，圓弧線型槽和橢圓線型槽的最差。這說明經(jīng)典對數(shù)螺旋槽端面具有最佳的流體動壓效應(yīng)和氣膜穩(wěn)定性，這與文獻(xiàn)[1]的結(jié)論是一致的。實(shí)際上，經(jīng)典幾何型線(圓弧線、直線和橢圓線等)的固有數(shù)學(xué)模型在方便描述型線的同時，也使得型線的表征能力變差，可優(yōu)化的尺寸參數(shù)減少，將其作為型線的端面型槽往往難以產(chǎn)生很強(qiáng)的流體動靜壓效應(yīng)。

(a) 承載力

(b) 氣膜剛度圖5 轉(zhuǎn)速對軸承承載力和氣膜剛度的影響Fig.5 Influence of rotating speed on load-carrying capacity and film stiffness of grooved bearing

2.2 廣義螺旋角分布對軸承性能的影響

從上述經(jīng)典型線的廣義螺旋角分布可看出，一般型線的廣義螺旋角并非定值，而是沿著周向呈現(xiàn)出一定規(guī)律的分布。圖6所示為廣義螺旋角β(θ)沿周向從θn(外徑側(cè))至θ0(內(nèi)徑側(cè))的變化規(guī)律，其中，β1、β2、βav、Δβ分別為廣義螺旋角的最小值、最大值、平均值和變化幅值，θ0、θn、θav分別為廣義對數(shù)螺旋線的起始點(diǎn)、終止點(diǎn)和周向等分點(diǎn)的周向角度，圖1b所示的廣義對數(shù)螺旋線中，起始角度θ0=0，終止角度θn=α。

β(θ)=aθ+b時，式(5)可寫成：

(9)

表2所示為4種典型β(θ)分布的系數(shù)a和b，其中，γ=εβav/(θ0-θn)。

(a)線性分布規(guī)律

(b)不同分布規(guī)律圖6 典型廣義對數(shù)螺旋線的廣義螺旋角分布Fig.6 Generalized spiral angle distribution of typical generalized logarithm helix

表2 典型β(θ)分布對應(yīng)的系數(shù)a和b Tab.2 Coefficients a and b for typical distribution of β(θ)

圖7所示為螺旋角變化幅值比ε不同時， 4種典型β(θ)分布的廣義對數(shù)螺旋線及其對應(yīng)的廣義對數(shù)螺旋槽。從外徑至內(nèi)徑側(cè)，廣義螺旋角單調(diào)遞增時，廣義對數(shù)螺旋線對應(yīng)的型槽流道逐漸變寬，由其作為側(cè)壁型線的廣義對數(shù)螺旋槽為“流道漸擴(kuò)槽”(圖7a)；廣義螺旋角單調(diào)遞減時，廣義對數(shù)螺旋線對應(yīng)的型槽流道逐漸變窄，由其作為側(cè)壁型線的廣義對數(shù)螺旋槽為“流道漸縮槽”(圖7b)；當(dāng)廣義螺旋角先減后增和先增后減時，由其作為側(cè)壁型線的廣義對數(shù)螺旋槽分別為“先縮后擴(kuò)槽”(圖7c)和“先擴(kuò)后縮槽”(圖7d)。螺旋角變化幅值比ε越大，廣義對數(shù)螺旋線偏離經(jīng)典對數(shù)螺旋線越遠(yuǎn)。由此可見，相較于直線、圓弧線和拋物線等經(jīng)典幾何型線，廣義對數(shù)螺旋線具有更強(qiáng)的型線表征能力，通過改變螺旋角變化幅值比ε和平均廣義螺旋角βav，可實(shí)現(xiàn)廣義對數(shù)螺旋線向其他經(jīng)典幾何型線的轉(zhuǎn)變。

(a) 單調(diào)遞增

(b) 單調(diào)遞減

(c) 先減后增

(d) 先增后減圖7 不同ε的4種典型廣義對數(shù)螺旋線Fig.7 4 typical generalized logarithm helixes at different ε

圖8所示為4種典型螺旋角分布的廣義對數(shù)螺旋槽推力軸承的承載力和氣膜剛度隨幅值比ε的變化規(guī)律，其中，ε=0對應(yīng)經(jīng)典對數(shù)螺旋槽。由圖8可知，隨ε的增大，流道漸擴(kuò)槽(β(θ)單調(diào)遞增)和先縮后擴(kuò)槽(β(θ)先減后增)推力軸承的承載力和氣膜剛度都先小幅增加、后迅速減??；流道漸縮槽(β(θ)單調(diào)遞減)和先擴(kuò)后縮槽(β(θ)先增后減)推力軸承的承載力和氣膜剛度都迅速下降。從承載力來看，β(θ)沿周向非定值的廣義對數(shù)螺旋槽與經(jīng)典對數(shù)螺旋槽相比，并無明顯優(yōu)勢；從氣膜剛度來看，0.2≤ε≤0.4時的流道漸擴(kuò)槽推力軸承相較于經(jīng)典對數(shù)螺旋槽略有提高。

(a) 承載力

(b) 氣膜剛度圖8 不同ε下螺旋角分布規(guī)律對承載力和剛度的影響Fig.8 Influence of spiral angle distribution on load-carrying capacity and film stiffness at different values of ε

為進(jìn)一步研究β(θ)為單調(diào)遞增分布(流道漸擴(kuò)槽)時，β(θ)對廣義對數(shù)螺旋槽推力軸承性能的影響，對比分析了β(θ)分別為線性分布、拋物線分布和指數(shù)分布的廣義對數(shù)螺旋槽與經(jīng)典對數(shù)螺旋槽推力軸承的承載力和氣膜剛度。由圖9可看出，在靠近外徑側(cè)區(qū)域，3種不同β(θ)分布的廣義對數(shù)螺旋線基本重合；在靠近起始半徑處，指數(shù)分布的廣義對數(shù)螺旋線在相同周向角度下的極徑最大，線性分布次之，拋物線分布最小。

圖9 典型螺旋角分布的廣義對數(shù)螺旋線Fig.9 Generalized logarithm helix with typical spiral angle distribution

圖10所示為3種不同β(θ)分布下，廣義對數(shù)螺旋槽推力軸承的承載力和氣膜剛度隨ε的變化規(guī)律。由圖10可知，隨著ε的增大，廣義對數(shù)螺旋槽推力軸承的氣膜剛度呈現(xiàn)出先增大、后減小的變化趨勢，0.2≤ε≤0.5時獲得最大值，不過增幅很小，這也說明廣義螺旋角沿周向的遞增或遞減趨勢一旦確定后，具體的變化規(guī)律(線性變化、拋物線變化抑或指數(shù)變化)對氣體推力軸承的穩(wěn)態(tài)性能影響較弱。指數(shù)分布的廣義對數(shù)螺旋槽推力軸承氣膜剛度最大，線性分布次之，拋物線分布最小。這是因為在高速條件下，周向剪切流占主導(dǎo)作用。β(θ)呈指數(shù)分布時，廣義對數(shù)螺旋槽入口處較小的螺旋角有利于將密封腔內(nèi)的氣體介質(zhì)泵入到密封端面之間，產(chǎn)生更強(qiáng)的流體動壓效應(yīng)。

(a) 承載力

(b) 氣膜剛度圖10 β(θ)分布規(guī)律對推力軸承承載力和氣膜剛度的影響Fig.10 Influence of β(θ) distribution on load-carrying capacity and film stiffness of thrust bearings

3 結(jié)論

(1)針對經(jīng)典幾何型線受其固定數(shù)學(xué)模型固有特性的限制，基于對數(shù)螺旋線方程，推導(dǎo)出廣義對數(shù)螺旋線的極坐標(biāo)方程，它相較于經(jīng)典的直線、圓弧線、拋物線和橢圓線具有更強(qiáng)的幾何表征能力。

(2)經(jīng)典對數(shù)螺旋槽推力軸承的承載力和氣膜剛度都優(yōu)于將直線、圓弧線、橢圓線和拋物線作為側(cè)壁型線的廣義對數(shù)螺旋槽推力軸承，對數(shù)螺旋槽是一種能產(chǎn)生較強(qiáng)流體動壓效應(yīng)的端面結(jié)構(gòu)。

(3)在高速條件下，相較于對數(shù)螺旋槽推力軸承，從外徑至內(nèi)徑型槽流道漸擴(kuò)的廣義對數(shù)螺旋槽推力軸承具有更大的氣膜剛度，其中，以廣義螺旋角呈指數(shù)遞增分布為最佳。