姜岐廣，曲詩(shī)健，姜 濤，夏 野

(中車大連電力牽引研發(fā)中心有限公司，遼寧 大連 116022)

0 引 言

磁懸浮車輛由于其機(jī)械摩擦小、噪聲小、無(wú)機(jī)械的傳動(dòng)裝置，較小的整車橫截面積，能大大的降低隧道的構(gòu)造成本等優(yōu)點(diǎn)，自20世紀(jì)60年代起，吸引了世界范圍內(nèi)的廣泛研究。而直線感應(yīng)電機(jī)(Linear Induction Motor，LIM)不僅有常規(guī)直線電機(jī)推力不依賴于靜摩擦力，爬坡能力強(qiáng)、轉(zhuǎn)彎半徑小等特點(diǎn)，其次級(jí)由鋁層和鐵板復(fù)合而成，初級(jí)由繞組構(gòu)成，電機(jī)成本較低，且過載能力強(qiáng)，因此常作為磁懸浮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的驅(qū)動(dòng)電機(jī)而備受關(guān)注[1]。

但目前直線感應(yīng)電機(jī)普遍存在高速時(shí)推力精度低且波動(dòng)大[2-3]，模型不準(zhǔn)，參數(shù)變化明顯等問題[4-5]。在大功率應(yīng)用場(chǎng)合，受限于現(xiàn)有開關(guān)管的損耗問題，其開關(guān)頻率通常小于1 kHz,進(jìn)一步增加了電流諧波，降低了推力精度以及電機(jī)運(yùn)行效率。針對(duì)上述問題，本文首先通過有限元仿真驗(yàn)證了直線感應(yīng)電機(jī)在高速運(yùn)行時(shí)特有的端部效應(yīng)，分析了電感參數(shù)隨速度的變化規(guī)律。其次，詳細(xì)的推導(dǎo)了考慮端部效應(yīng)的直線感應(yīng)電機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和凈推力方程，基于此，設(shè)計(jì)了電機(jī)的控制器和磁鏈觀測(cè)器。然后，設(shè)計(jì)了基于鎖相環(huán)的同步電壓空間矢量調(diào)制方式進(jìn)一步減少低頻諧波。最后，在半實(shí)物實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)dSPACE上搭建了考慮邊端效應(yīng)的直線感應(yīng)電機(jī)的模型，通過硬件在環(huán)仿真驗(yàn)證了所提出的控制系統(tǒng)的有效性。

1 直線感應(yīng)電機(jī)數(shù)學(xué)模型

1.1 縱向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)

與旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)相比，直線感應(yīng)電機(jī)具有獨(dú)特的端部效應(yīng)。由于該效應(yīng)的存在，直線感應(yīng)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型、控制策略均比旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)更加復(fù)雜。直線感應(yīng)電機(jī)的端部效應(yīng)分為橫向端部效應(yīng)與縱向端部效應(yīng)兩類。在樣機(jī)的初級(jí)鐵心寬且次級(jí)導(dǎo)電層比初級(jí)鐵心寬很多時(shí)，可以忽略橫向端部效應(yīng)而僅考慮縱向端部效應(yīng)[1]?？v向端部效應(yīng)包括縱向靜態(tài)端部效應(yīng)與縱向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)，當(dāng)極數(shù)大于或等于6時(shí)，縱向靜態(tài)端部效應(yīng)可以忽略。因此，本文僅考慮縱向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)的影響。

圖1 縱向端部效應(yīng)示意圖

縱向端部效應(yīng)的影響如圖1所示。在圖1所示的短初級(jí)直線感應(yīng)電機(jī)中，次級(jí)固定，初級(jí)三相繞組產(chǎn)生一個(gè)以同步速vs向左運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)，初級(jí)則以速度v向右運(yùn)動(dòng)。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，在入端的次級(jí)導(dǎo)電板內(nèi)將感生渦流，該渦流產(chǎn)生的磁場(chǎng)將反抗由初級(jí)引起的磁場(chǎng)增加，削弱端部磁場(chǎng)。同理，在出端的次級(jí)導(dǎo)電板也將感生渦流，但是該渦流產(chǎn)生的磁場(chǎng)將使端部磁場(chǎng)得到加強(qiáng)。

圖2 次級(jí)電流分布

縱向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)影響下的次級(jí)電流分布如圖2所示。圖中，Im、I2e分別表示勵(lì)磁電流、端部渦流，二者合成后的次級(jí)電流用Ime表示。

1.2 直線感應(yīng)電機(jī)的等效電路與數(shù)學(xué)模型

縱向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)使直線感應(yīng)電機(jī)的等效勵(lì)磁電感減小，同時(shí)引起出端與入端的渦流損耗，該項(xiàng)損耗可用勵(lì)磁支路上的電阻表征。等效勵(lì)磁電感與的變化規(guī)律為

(1)

式中，Lm為初級(jí)靜止時(shí)的勵(lì)磁電感，

(2)

(3)

式中，D為初級(jí)有效長(zhǎng)度，Rr為次級(jí)電阻，Lr為次級(jí)等效自感。

勵(lì)磁支路上電阻的變化規(guī)律為

Re=Rrf(Q)

(4)

方便推導(dǎo)，令

Km=1-f(Q)

(5)

直線感應(yīng)電機(jī)的T型等效電路如圖3所示。其中，Rs為初級(jí)電阻，Lsσ、Lrσ分別表示初級(jí)漏感、次級(jí)漏感?？v向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)的影響在T型等效電路中表現(xiàn)為勵(lì)磁電感與勵(lì)磁支路電阻隨初級(jí)速度變化而變化。勵(lì)磁電感與勵(lì)磁支路電阻的改變?cè)黾恿酥本€感應(yīng)電機(jī)模型的復(fù)雜度，不利于直線感應(yīng)電機(jī)的控制。

圖3 直線感應(yīng)電機(jī)T型等效電路

利用坐標(biāo)變換與磁場(chǎng)定向，可以得到按次級(jí)磁場(chǎng)定向MT軸系下的直線感應(yīng)電機(jī)磁鏈方程與電壓方程。磁鏈方程為

(6)

式中,大寫下標(biāo)M、T表示初級(jí)物理量，小寫下標(biāo)m、t表示次級(jí)物理量，且

(7)

(8)

電壓方程為

(9)

式中，p表示微分算子，ωs、ωf分別為同步角頻率、轉(zhuǎn)差角頻率。

根據(jù)上述磁鏈、電壓方程，聯(lián)立

(10)

可得次級(jí)磁鏈與M軸初級(jí)電流之間的關(guān)系為

(11)

其中，

(12)

聯(lián)立

(13)

可得轉(zhuǎn)差角頻率與T軸初級(jí)電流之間的關(guān)系為

(14)

2 高精度推力控制器

2.1 MT軸電流指令值給定

磁懸浮直線感應(yīng)電機(jī)運(yùn)行過程中，初級(jí)電流一定時(shí)，隨著電機(jī)轉(zhuǎn)差頻率變化，電機(jī)電磁推力和法向力波動(dòng)非常大[6-7]。釆用恒轉(zhuǎn)差頻率控制方式，選取適宜的恒定轉(zhuǎn)差頻率可以實(shí)現(xiàn)電磁推力和法向力的最優(yōu)控制組合，使電機(jī)的電磁推力得到有效利用，法向力值較小且在磁懸浮系統(tǒng)允許范圍內(nèi)波動(dòng)[8]。在恒轉(zhuǎn)差頻率控制方式下，MT軸電流指令值的求解實(shí)際上就是根據(jù)電磁推力指令值與轉(zhuǎn)差角頻率指令值計(jì)算MT軸電流指令值的過程。電磁推力、轉(zhuǎn)差角頻率、次級(jí)磁鏈三者之間的關(guān)系為

(15)

由式(15)可得

(16)

由式(11)可知，穩(wěn)態(tài)下

(17)

由此可得

(18)

由式(14)可得

(19)

定義控制模式1：考慮縱向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)的全部影響；控制模式2：考慮縱向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)的部分影響，即忽略次級(jí)端部渦流損耗，勵(lì)磁支路電阻為零；控制模式3：不考慮縱向動(dòng)態(tài)端部效應(yīng)影響?？刂颇Ｊ?對(duì)應(yīng)的MT軸電流指令值已經(jīng)給出，其余兩種控制模式的推導(dǎo)類似。三種模式下MT軸電流指令值的計(jì)算公式如表1所示。

表1 恒轉(zhuǎn)差頻率控制MT軸電流指令值給定

2.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

大功率逆變器中的低開關(guān)頻率增加了系統(tǒng)的延時(shí)，限制了電流控制器帶寬的提升，且直線感應(yīng)電機(jī)參數(shù)變化明顯，僅僅基于前饋?lái)?xiàng)的傳統(tǒng)PI電流控制器將導(dǎo)致控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能大大降低，為提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和對(duì)參數(shù)的魯棒性，本文提出的滑?？刂破髂芎芎玫臐M足要求。

所提出的控制器數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(20)

(21)

為證明所提出的控制器能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，定義滑模面S=[s1s2]T，其中：

取李雅普諾夫函數(shù)為

(22)

顯然其為正定的，其導(dǎo)數(shù)為

將式(8)帶入上式可得：

(23)

其中，

由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，即李雅普諾夫能量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0，系統(tǒng)能收斂到滑模面的穩(wěn)定點(diǎn)，即由上式可得能量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0等價(jià)于

因此，若滑模系數(shù)足夠大，電流控制器能收斂至穩(wěn)態(tài)值。

3 調(diào)制方式

在大功率的應(yīng)用場(chǎng)合，逆變器的開關(guān)頻率通常都低于1 kHz，在電機(jī)轉(zhuǎn)速較高時(shí)，一個(gè)電周期內(nèi)輸出空間矢量的數(shù)量減少，導(dǎo)致低頻諧波增加以及出現(xiàn)推力波動(dòng)。理論分析表明采樣同步空間矢量可以減小低頻電流諧波。但傳統(tǒng)的同步空間矢量調(diào)制技術(shù)在用于直線感應(yīng)電機(jī)電流閉環(huán)控制時(shí)存在一些問題：直線感應(yīng)電機(jī)電壓矢量與轉(zhuǎn)子磁鏈位置高度相關(guān)，在轉(zhuǎn)速變化或轉(zhuǎn)速測(cè)量存在誤差以及磁鏈觀測(cè)不準(zhǔn)的情況下，傳統(tǒng)方法選定輸出的同步電壓矢量可能和電機(jī)所需的電壓矢量存在偏差，導(dǎo)致控制性能的下降。

3.1 同步調(diào)制原理

矢量控制系統(tǒng)中，每個(gè)控制周期開始時(shí)，電流控制器將生成一個(gè)電壓指令空間矢量，在整個(gè)控制周期中，調(diào)制模塊調(diào)制出該電壓指令值并作用。在理想的正弦穩(wěn)態(tài)下，電機(jī)的端電壓構(gòu)成的空間矢量應(yīng)該在空間中勻速旋轉(zhuǎn)的，而電流控制器生成的電壓指令空間矢量可以看作對(duì)理想空間矢量的采樣并逼近。根據(jù)電壓指令空間矢量與同步位置誤差的大小，調(diào)整該控制周期的長(zhǎng)短，從而使下一個(gè)電壓指令空間矢量更接近同步位置。多個(gè)周期之后，電壓指令空間矢量將會(huì)與同步位置完全重合。其中，同步位置是事先計(jì)算好的最優(yōu)位置。圖4為實(shí)現(xiàn)同步的過程，當(dāng)采樣電壓矢量位置超前于同步位置時(shí)，增大采樣周期，使下一次采樣滯后，使采樣得到的矢量靠近同步位置，直至重合。在實(shí)際系統(tǒng)中，采樣發(fā)生在調(diào)制用三角載波的底點(diǎn)處，一個(gè)三角載波周期為一個(gè)控制周期，且發(fā)生一次開關(guān)動(dòng)作。調(diào)整三角載波的周期即可改變采樣周期。圖中實(shí)線空間矢量為實(shí)際輸出矢量，虛線矢量為同步位置矢量，通過調(diào)整，實(shí)際輸出矢量逐漸趨近同步位置。

圖4 同步過程示意圖

3.2 基于鎖相環(huán)的同步方法

空間矢量在A相軸線上投影為一正弦波，以該正弦波相位為例進(jìn)行相位同步的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。正弦波相位與空間矢量相位存在這一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使用正弦波來(lái)表述相位同步的過程更為清晰。

相同頻率下的信號(hào)才能有恒定的相位關(guān)系，故使用公式

φ1,c=Mod(φ1(N,2π)

(24)

將參考波相位折算到載波頻率。式中φ1為參考電壓相位,φ1,c為折算后的參考電壓相位，如圖5所示。

圖5 參考相位與載波相位調(diào)整的過程

在t(k)時(shí)刻的采樣點(diǎn)k，參考波相位為φ1(k)，參考波實(shí)際頻率為f1，因?yàn)轭l率測(cè)量存在誤差ef，此時(shí)的基準(zhǔn)載波頻率為N1f1(1+ef)。鎖相環(huán)輸出u將改變載波頻率，第k個(gè)控制周期被調(diào)整為

(25)

故第(k+1)個(gè)采樣點(diǎn)的時(shí)刻變?yōu)?/p>

(26)

此時(shí)的采樣得到的參考波相位變?yōu)?/p>

(27)

由于在采樣點(diǎn)處的載波相位始終保持不變，故載波與基波之間的相位差變化量為

(28)

因此，調(diào)整載波周期可控制載波與基波之間的相位差，使用一個(gè)PI控制器來(lái)對(duì)載波周期進(jìn)行調(diào)節(jié)，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 鎖相環(huán)系統(tǒng)

4 仿真結(jié)果

為了更好的模擬實(shí)際的磁懸浮直線感應(yīng)電機(jī)控制系統(tǒng)，減小因模型簡(jiǎn)化、計(jì)算延時(shí)帶來(lái)的誤差，本文在半實(shí)物仿真平臺(tái)dSPACE的DS5203 FPGA板卡上搭建了考慮邊端效應(yīng)的直線感應(yīng)電機(jī)數(shù)學(xué)模型，其計(jì)算步長(zhǎng)10 ns，能精確模擬實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)行狀況，控制器采用了TI的TMS320F28335芯片，直線電機(jī)參數(shù)如表2所示。

表2 直線感應(yīng)電機(jī)參數(shù)

控制器參數(shù)kPM=kPT=0.086，kIM=kIT=2，kSM=kST=50。控制頻率為5 kHz，開關(guān)頻率最高為750 Hz。電機(jī)參數(shù)如表2所示，整個(gè)控制系統(tǒng)的原理框圖如圖7所示。

圖7 控制系統(tǒng)原理框圖

4.1 不同模式下的推力比較

給定推力指令值，根據(jù)MT電流指令值計(jì)算考慮的因素不同，可分為三種模式，不同給定方式將導(dǎo)致實(shí)際的輸出推力與給定推力出現(xiàn)偏差，如圖8所示，其中本文提出的模式一不僅考慮了縱向端部效應(yīng)導(dǎo)致的等效勵(lì)磁電感減小的影響，同時(shí)考慮了由于次級(jí)鋁板產(chǎn)生的渦流導(dǎo)致的推力下降問題，相比其他兩種給定值計(jì)算方式，本方法能在全速度范圍內(nèi)保持推力的高精度輸出。

圖8 不同模式下推力精度在不同速度下比較

4.2 滑?？刂破鲃?dòng)態(tài)性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出的的滑模控制器的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性，將其與傳統(tǒng)PI帶前饋的電流控制器進(jìn)行比較。

推力突變由5000 N至-5000 N，圖9和圖10分別為傳統(tǒng)PI電流控制器和滑模電流控制器在負(fù)載突變時(shí)的電流波形。

圖9 傳統(tǒng)PI電流控制器在高速時(shí)負(fù)載突變下的電流波形

圖10 滑?？刂破髟诟咚贂r(shí)負(fù)載突變下的電流波形

由結(jié)果可見，當(dāng)推力突變時(shí)，由于控制延時(shí)以及電機(jī)參數(shù)不準(zhǔn)導(dǎo)致MT電流控制耦合嚴(yán)重，圖一勵(lì)磁M軸的指令值未發(fā)生明顯的變化，而實(shí)際M軸電流反饋值出現(xiàn)了劇烈的動(dòng)蕩，嚴(yán)重時(shí)將影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而采用滑?？刂破骱?，由耦合導(dǎo)致的電流振蕩能在較短的時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定下來(lái)，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。

4.3 不同調(diào)制方式的比較

本文提出的混合調(diào)制方式在列車低速時(shí)采樣異步調(diào)制，在高速時(shí)采用同步調(diào)制，為驗(yàn)證高頻時(shí)同步調(diào)制的有效性，將兩者在同樣工況下進(jìn)行比較。圖11為采用異步調(diào)制的波形，上圖為相電流，下圖為線電壓斬波波形，圖12同理。由圖可見，在高速時(shí)采用同步調(diào)制時(shí)相電流的THD能得到一定程度減小，同時(shí)開關(guān)頻率大大降低。圖13為兩種調(diào)制方式下初級(jí)磁鏈的空間矢量運(yùn)行軌跡圖，可以直觀的看出同步調(diào)制的初級(jí)磁鏈諧波為規(guī)則的多邊形，諧波分布較為集中，而異步調(diào)制的導(dǎo)致的空間磁鏈諧波分布較為分散，且有低頻次的諧波侵入基波附近，破壞了電流波形，造成推力波動(dòng)。

圖11 異步調(diào)制(THD=9.1%)下相電流波形和線電壓波形

圖12 三分頻同步調(diào)制(THD=8.62%)下相電流波形和線電壓波形

圖13 三分頻同步調(diào)制和異步調(diào)制下初級(jí)磁鏈空間矢量軌跡波形

5 結(jié) 語(yǔ)

磁懸浮直線感應(yīng)電機(jī)由于邊端效應(yīng)，氣隙時(shí)變等影響，導(dǎo)致參數(shù)變化明顯，給高精度的推力控制帶來(lái)了挑戰(zhàn)，本文在精確的分析數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，將考慮推力衰減的因素均考慮入內(nèi)，提出了指令值計(jì)算的方法，并和之前的其他方法進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了其有效性；其次，針對(duì)負(fù)載突變的情況下，傳統(tǒng)的帶前饋的PI電流控制器耦合嚴(yán)重，系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性不好的問題，提出了滑?？刂破鞑⒆C明了其穩(wěn)定性；最后從調(diào)制方面，針對(duì)在高速時(shí)傳統(tǒng)的異步調(diào)制導(dǎo)致電流低頻成分增加，推力出現(xiàn)波動(dòng)的問題，提出采用基于鎖相環(huán)的同步調(diào)制方式，進(jìn)一步有效的提升了推力的穩(wěn)定性。通過dSPACE半實(shí)物仿真平臺(tái)搭建了直線感應(yīng)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，證明了所提出的控制系統(tǒng)的有效性。