王 兵，陳 瀚，何孝祖，余 鑫

(1.湖南工業(yè)大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007；2.湖南工業(yè)大學 電傳動控制與智能裝備湖南省重點實驗室，湖南 株洲 412007)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)的控制系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)子位置的信息常常通過安裝機械式的傳感器進行檢測后獲得，這種方式不易維護并且容易受到溫度、濕度等環(huán)境的影響，可靠性不高。為了解決這種情況，無傳感器技術得到快速發(fā)展[1]。

目前，無傳感器控制技術一般分為以下兩類：一種是運用電機的凸極特性計算得到轉(zhuǎn)子位置及速度信號，此種方案在低速運行的電機系統(tǒng)中擁有較好的估算精度。另一種是利用反電動勢或者定子磁鏈信息估算轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息，此種方法在中高速范圍運行電機系統(tǒng)中有著良好的性能，主要包括高頻注入法[2]、模型參考自適應法[3]、卡爾曼濾波法[4]，以及滑模觀測器法[5-7]?；Ｓ^測器(SMO)一般利用估算的反電動勢或磁鏈信息計算轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速，一般運用在中高速運行電機中。文獻[8]將分數(shù)階的滑模面應用到傳統(tǒng)滑模觀測器，得到分數(shù)階滑模控制率并將分數(shù)階理論應用到鎖相環(huán)中，驗證了系統(tǒng)具有良好的性能。文獻[9]針對傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)開關函數(shù)不連續(xù)的特點，設計了指數(shù)趨近率的滑模觀測器進行永磁同步電機轉(zhuǎn)速估計，此方法能有效減弱抖振并提高系統(tǒng)性能。文獻[10]利用S開關函數(shù)取代傳統(tǒng)的開關函數(shù)，與雙級矩陣變換器相結(jié)合作用的同時省略一階低通濾波器和角度補償模塊，獲得了優(yōu)良的傳動性能。文獻[11]設計了一種自適應同步濾波器與正交鎖相環(huán)相結(jié)合的SMO系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能并對參數(shù)攝動有很強的魯棒性。文獻[12]提出一種包含兩個同步頻率提取濾波器的正交鎖相環(huán)，能夠自適應地有效補償估算的反電動勢諧波誤差。

為了提高SPMSM無傳感器系統(tǒng)的估算精度，首先將一種基于可變邊界層S型開關函數(shù)應用于SMO系統(tǒng)中，省去了傳統(tǒng)滑模觀測器系統(tǒng)的一階低通濾波器和相位補償模塊的同時，能有效削弱系統(tǒng)產(chǎn)生的抖振和延時；針對鎖相環(huán)動態(tài)誤差較大的問題，設計一種信號抑制器以提高跟蹤性能；最后運用Matlab/Simulink搭建模型仿真，結(jié)果表明該策略能夠有效提高觀測精度，改善系統(tǒng)的跟蹤性能。

1 PMSM數(shù)學模型

忽略鐵心飽和磁滯損耗以及渦流等影響，PMSM在靜止兩相α-β坐標系下的數(shù)學模型為

(1)

式中，[uαuβ]T為定子電壓；[iαiβ]T為定子電流；[eαeβ]T為αβ坐標系下的反電動勢；Rs、Ld、Lq分別為定子繞組下的電阻以及d、q軸電感；ωe為電角速度；p為微分算子，且滿足

(2)

對于表貼式三相永磁同步電機擁有Ld=Lq=Ls的特點，因此反電動勢可以被簡化成為僅和電機的轉(zhuǎn)速有關的數(shù)學模型，則式(1)可重新表述為

(3)

(4)

2 PMSM滑模觀測器設計

2.1 傳統(tǒng)SMO性能分析

由于滑模變結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)參數(shù)攝動具有很好的魯棒性且響應較快，被廣泛作用于非線性系統(tǒng)中，其原理是通過設計一個滑模面，迫使系統(tǒng)在此滑模面上做高頻低幅度的上下運動，以此實現(xiàn)系統(tǒng)的滑動模態(tài)。圖1為傳統(tǒng)滑模觀測器轉(zhuǎn)子位置和速度估算的原理框圖，其組成部分分別為基于滑模觀測器的PMSM數(shù)學模型、開關函數(shù)(符號函數(shù)sign)、低通濾波器(LPF)、反正切函數(shù)計算模塊(arctan)、角度補償模塊以及轉(zhuǎn)子位置及速度計算模塊。

圖1 傳統(tǒng)SMO原理框圖

根據(jù)式(3)所述的PMSM數(shù)學模型，構(gòu)造傳統(tǒng)的滑模觀測器為

(5)

(6)

式中，[zαzβ]T為開關信號，k為開關增益，將式(5)減去式(3)可得到電流誤差方程為

(7)

(8)

(9)

由于一階低通濾波器會帶來相位延遲的問題，需要加入相位補償才能得到最終的估算值

(10)

由于符號函數(shù)的不連續(xù)性以及bang-bang控制的特性，導致觀測到的反電動勢存在大量抖振和諧波信號，需要通過低通濾波器消除高頻分量。但使用低通濾波器帶來相位延遲以及估算的速度幅值衰減現(xiàn)象又不可避免，需要加入角度補償模塊。雖然這種方式可以提高觀測精度，卻依然不能實現(xiàn)完全補償，并且反正切函數(shù)使用了除法運算，使得反電動勢過零點時出現(xiàn)失真，進一步擴大了轉(zhuǎn)子位置及速度的觀測誤差。

2.2 改進滑模觀測器設計

2.2.1 基于可變邊界層的S型滑模觀測器

傳統(tǒng)的滑模觀測器通常以符號函數(shù)作為開關函數(shù)，具有響應速度快及魯棒性強的特點，但切換過程中的系統(tǒng)抖振，不僅會影響觀測精度，還可能激發(fā)高頻未建模動態(tài)，破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，產(chǎn)生震蕩甚至是失去穩(wěn)定性。

為解決以上問題，可采用一種基于可變邊界層的S型開關函數(shù)，通過選取邊界層厚度δ值，削弱抖振，減少觀測誤差。通常邊界層厚度為固定值，為了在減小抖振的情況下同時保持系統(tǒng)的魯棒性并提高滑模觀測器系統(tǒng)觀測精度，采用邊界層厚度隨轉(zhuǎn)速自適應調(diào)整的S型開關函數(shù)。相對與符號函數(shù)，此方法既能保證運動點快速到達滑模面，又能減小到達滑模面時的速度，實現(xiàn)削弱抖振的目的。S型開關函數(shù)表達式為

(11)

圖2 S型開關函數(shù)示意圖

當邊界層厚度越小時，曲線越平緩，控制精度越高，但控制增益變大，抖振增強，適合低速場合；當邊界層厚度越大，曲線越陡，抑制抖振越明顯，抖振將減小，適合較高速的場合。其中，b取1時，則為傳統(tǒng)的飽和函數(shù)；取無窮大時，則十分接近符號函數(shù)。因此，采用可變邊界層策略時，當系統(tǒng)在低速場合運行，能夠自動切換到較小的邊界層，系統(tǒng)在高速場合運行則自動切換到較大的邊界層。該方法可省掉低通濾波器和相位補償環(huán)節(jié)，簡化了運算過程，在確保系統(tǒng)有較好的魯棒性的同時，使穩(wěn)態(tài)誤差有效減小，提高了觀測精度。

2.2.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

(12)

若要保證系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足滑模變結(jié)構(gòu)的

(13)

通過式(1)、式(5)和式(13)可得

(14)

k>max(|eα|,|eβ|)

(15)

k>max(|ψfωesinθc|,|ψfωecosθe|)

(16)

而(|sinθe|,|cosθe|)≤1，當開關增益系數(shù)k>ψfωe時，即可穩(wěn)定運行。需要注意的是，過大的k值會導致強烈的抖振，因此，在k值的設定上應綜合考慮系統(tǒng)的抖振和穩(wěn)定性之間的需求。

3 改進鎖相環(huán)設計

3.1 傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子位置與轉(zhuǎn)速估計方式性能分析

傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子位置估計方式，是將經(jīng)過濾波后的反電動勢進行反正切函數(shù)計算，再經(jīng)過相位補償?shù)玫降?。但這一方法存在兩個明顯的缺陷，由于除法計算將進一步導致高頻抖振的放大，從而使角度估算造成較大的誤差；一階低通濾波器截止頻率一般選取固定值，但補償角度是隨著速度的變化而改變的，并不能實現(xiàn)完全補償。鎖相環(huán)包括鑒相器(Phase Detector，PD)、環(huán)路濾波器(Loop Filter，LF)、壓控振蕩器(Voltage Controlled Oscillator，VCO)，其方法是通過調(diào)節(jié)角度誤差Δθ后，經(jīng)過比例積分環(huán)節(jié)計算出轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速再經(jīng)過一個微分環(huán)節(jié)后即可得出轉(zhuǎn)子位置。傳統(tǒng)鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 傳統(tǒng)鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)框圖

當Δe的誤差足夠小時可表示為

(17)

傳統(tǒng)鎖相環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

(18)

誤差傳遞函數(shù)為

(19)

當PMSM勻速運行時，鎖相環(huán)系統(tǒng)的輸入為斜坡函數(shù)，此時鎖相環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差為

(20)

由式(20)可以看出，當電機勻速運行時，鎖相環(huán)能夠達到轉(zhuǎn)子位置與速度的無靜差跟蹤；但電機勻加速運行時，鎖相環(huán)系統(tǒng)輸出會有誤差。電機角度可寫為

(21)

式中,a為電機加速度。運用拉氏變換的終值定理可以得到鎖相環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤誤差為

(22)

由式(22)可知，無論如何調(diào)節(jié)鎖相環(huán)的PI參數(shù)，都不可能對輸入實現(xiàn)無靜差跟蹤。雖然鎖相環(huán)有參數(shù)易于調(diào)節(jié)，穩(wěn)定性較好的特點，但鎖相環(huán)動態(tài)響應較差，特別是當電機加、減速時，觀測的速度和角度會有靜差。

3.2 改進鎖相環(huán)設計

鎖相環(huán)在提高永磁同步電機無傳感器觀測器精度方面應用廣泛，由于傳統(tǒng)的鎖相環(huán)是對永磁體磁通參數(shù)進行在線實時計算，加大了系統(tǒng)觀測器的復雜性，造成動態(tài)誤差放大，影響觀測精度。針對傳統(tǒng)鎖相環(huán)在觀測過程中轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速信號動態(tài)誤差較大的問題，本文引入歸一化處理的鎖相環(huán)，可抑制因反電動勢變化而使得系統(tǒng)帶寬發(fā)生變化的問題，同時設計一個信號抑制器以削弱Δe在收斂過程中出現(xiàn)的階躍信號，能夠有效改善轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速信號的觀測精度，同時提高系統(tǒng)響應速度，改進的鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。

圖4 改進鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)框圖

(23)

為得到更好的抑制效果，同時保證鎖相環(huán)系統(tǒng)不失穩(wěn)，可將式(23)重新設計為

(24)

式中，m的取值可根據(jù)環(huán)路濾波器的需要靈活調(diào)整，相比于傳統(tǒng)的鎖相環(huán)，改進鎖相環(huán)能夠有效提升鎖相環(huán)的動態(tài)跟蹤能力，從而使觀測器使估算的轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速的動態(tài)誤差幅值減小，提升觀測器的觀測響應速度。

4 仿真分析

通過Matlab/Simulink仿真軟件，采用id=0的矢量控制策略，搭建基于可變邊界層的隱極式永磁同步電機滑模觀測器仿真模型如圖5所示，選取PMSM參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM參數(shù)

圖5 基于可變邊界層的PMSM滑模觀測器仿真模型

4.1 轉(zhuǎn)速突變分析

空載條件下，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速初始值為600 r/min，0.1 s時轉(zhuǎn)速突然增加到900 r/min，傳統(tǒng)滑模觀測器和改進的滑模觀測器仿真結(jié)果分別如圖6和圖7所示。

對比圖6、圖7的(a)、(b)圖可知，傳統(tǒng)滑模觀測器轉(zhuǎn)速突增瞬間，動態(tài)誤差值達到了80 r/min且調(diào)節(jié)時間不低于40 ms，穩(wěn)定時的轉(zhuǎn)速誤差值超過20 r/min；改進的滑模觀測器能夠準確估算出實際的轉(zhuǎn)速，雖然在突變瞬間動態(tài)誤差值達到20 r/min，但在20 ms內(nèi)恢復穩(wěn)定，估算誤差降為2 r/min，能夠基本實現(xiàn)無靜差跟蹤。對比圖6、圖7的(c)、(d)圖，傳統(tǒng)方法的轉(zhuǎn)子位置估算值雖然經(jīng)過低通濾波器后得到相位補償，但仍然存在較大滯后，誤差達到0.11 rad，且在轉(zhuǎn)速突變過程中誤差值較大。圖7(e)為未接入動態(tài)誤差抑制器，可以看出在轉(zhuǎn)速突變期間動態(tài)誤差明顯放大。改進的滑模觀測器估算精度較高，能有效抑制突變誤差擴大，并在穩(wěn)定時刻保持0.01 rad的估算誤差，基本與實際轉(zhuǎn)子位置保持一致。

圖6 傳統(tǒng)滑模觀測器突增轉(zhuǎn)速仿真圖

圖7 改進的滑模觀測器突增轉(zhuǎn)速仿真圖

4.2 負載突變分析

給定系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為900 r/min，在0.1 s時由2 Nm突加為6 Nm，傳統(tǒng)滑模觀測器和改進的滑模觀測器仿真波形如圖8、圖9所示。

圖8 傳統(tǒng)滑模觀測器負載突變仿真圖

圖9 改進滑模觀測器負載突變仿真圖

由圖8和圖9的(a)、(b)圖可以看出，負載突變的情況下，傳統(tǒng)滑模觀測器瞬間轉(zhuǎn)速誤差接近50 r/min，需經(jīng)過30 ms左右才能恢復，不能很好跟隨實際轉(zhuǎn)速；改進的滑模觀測器在負載突變瞬間轉(zhuǎn)速誤差不超過10 r/min，穩(wěn)態(tài)誤差波動范圍僅在2 r/min左右，能夠準確跟蹤實際轉(zhuǎn)速。從圖8與圖9的(c)、(d)圖對比可發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)滑模觀測器轉(zhuǎn)子位置誤差值達到0.11 rad，而改進的滑模觀測器能對轉(zhuǎn)子位置實現(xiàn)高精度跟蹤，最大不差不超過0.02 rad。因此，改進滑模觀測器擁有更好的抗擾性及穩(wěn)定性。

5 結(jié) 語

本文根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)理論，設計了一種基于可變邊界層的滑模觀測器，以實現(xiàn)永磁同步電機無傳感器的高精度控制。通過可變邊界層來削弱抖振并減小穩(wěn)態(tài)誤差，在傳統(tǒng)鎖相環(huán)的基礎上增加一個動態(tài)誤差抑制器以減小動態(tài)誤差幅值并提高響應速度。通過轉(zhuǎn)速突變及負載突變工況下的仿真，表明改進的方法能夠快速準確的估算轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)子位置，抗擾性強，對于高性能永磁同步電機無傳感器控制具有一定實用性。