張望發(fā)

【摘要】中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，作者認(rèn)為可以歸結(jié)為三個(gè)方面，即數(shù)學(xué)語(yǔ)言、思維、眼光，從而對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表述進(jìn)行歸類與簡(jiǎn)化。文章對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行了一些思考，以期對(duì)今后進(jìn)一步抓好數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作有一定的促進(jìn)作用。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);語(yǔ)言;思維;眼光

數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，目前普遍認(rèn)為包含六大素養(yǎng)，也有學(xué)者認(rèn)為，還要加上實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)，構(gòu)成八大素養(yǎng)。也有學(xué)者提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)文化在內(nèi)共17種成分。結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)認(rèn)真思考，我認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包含三個(gè)方面，即數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、思維和眼光。下面，本人結(jié)合多年在一線的教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、思維、眼光這三方面重新審視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其培養(yǎng)。

一、掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言有其自身的符號(hào)系統(tǒng)，是其從現(xiàn)實(shí)中抽象出來(lái)的可以自成體系的表達(dá)模式。語(yǔ)言是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體。如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言素養(yǎng)呢？

1.重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言中三種語(yǔ)言的互相轉(zhuǎn)化

對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)，我們除了采用日常語(yǔ)言表達(dá)，更主要的還是符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。這三者之間還可以相互轉(zhuǎn)化。三者互化中，其實(shí)是我們思維方式在不斷地轉(zhuǎn)換。

這在平面幾何中體現(xiàn)得尤其明顯。如最簡(jiǎn)單的“對(duì)頂角相等”，這是日常語(yǔ)言。畫(huà)出相交兩條直線，得到兩對(duì)對(duì)頂角，這是圖形語(yǔ)言。在推理論證中寫(xiě)成：“∵∠1和∠2是對(duì)頂角 ∴∠1=∠2（對(duì)頂角相等）”這就是符號(hào)語(yǔ)言。

2.加強(qiáng)符號(hào)語(yǔ)言的訓(xùn)練

日常語(yǔ)言方便大眾化的交流，是人人都聽(tīng)得懂的語(yǔ)言。數(shù)學(xué)中的符號(hào)語(yǔ)言也是通用語(yǔ)言，但卻需要懂?dāng)?shù)學(xué)的人之間方可自由地交流與溝通。因此，重視符號(hào)語(yǔ)言的訓(xùn)練對(duì)學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)具有重要的意義。我國(guó)古代數(shù)學(xué)雖然在直觀解題中占有優(yōu)勢(shì)，但始終沒(méi)有獲得突破，很關(guān)鍵的一個(gè)因素是我們沒(méi)有和西方歐美國(guó)家一樣，有數(shù)學(xué)的符號(hào)優(yōu)勢(shì)。不要小看“字母代替數(shù)”，它產(chǎn)生的效應(yīng)不僅僅是代數(shù)學(xué)的誕生，更是一個(gè)新的思維世界的誕生。符號(hào)語(yǔ)言訓(xùn)練在代數(shù)中最直接的就是字母代替數(shù)，在幾何學(xué)中就是步步有據(jù)的證明過(guò)程。

3.重視數(shù)形結(jié)合

圖形語(yǔ)言相對(duì)直觀，形象，有助于問(wèn)題的迅速直觀解決。不少數(shù)學(xué)題利用數(shù)形結(jié)合可以更加迅速的解決。如求|x-1|+|x-2|的最小值。常規(guī)的想法，就是分類討論。但如果我們注意到絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，可以知道，|x-1|表示x到1的距離，|x-2|表示x到2的距離。這樣，我們就直觀地看出1≤x≤2時(shí)，有最小值1。

總的來(lái)說(shuō)，三種語(yǔ)言各有優(yōu)勢(shì)，熟練掌握三種語(yǔ)言之間的互化、翻譯，有利于迅速解決一些數(shù)學(xué)題。

我們說(shuō)，語(yǔ)言是交流與溝通的工具，數(shù)學(xué)語(yǔ)言也是如此。因此，它是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)。我們?nèi)祟悶榱藢ふ矣钪嬷械钠渌腔凵?，在人造衛(wèi)星或者宇宙飛船上張貼了勾股定理的圖案，希望用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和外星人溝通。因此，我們教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言要給予足夠的重視，要培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言。

二、重視數(shù)學(xué)思維，是形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提

數(shù)學(xué)的核心就在思維，三種語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化、互譯也是思維。思維是靠問(wèn)題推動(dòng)的，沒(méi)有問(wèn)題就沒(méi)有思維。

1.明確數(shù)學(xué)知識(shí)其實(shí)就是思維結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)思維最具有代表性的當(dāng)然是邏輯思維。歐幾里得的平面幾何就是建立在嚴(yán)格的邏輯推理上的思維大廈。它通過(guò)有限的五個(gè)公理，再通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)就把整個(gè)幾何的大廈建立起來(lái)了。這成為后世人們學(xué)習(xí)邏輯思維的典范。兩千多年來(lái)，人們一直沿著歐幾里得建立的這一體系研究幾何學(xué)，其開(kāi)創(chuàng)的公理體系散發(fā)著迷人的魅力。代數(shù)學(xué)也是沿著字母代替數(shù)，進(jìn)而產(chǎn)生方程、函數(shù)等符號(hào)推演系統(tǒng)，形成自己的完整的思維結(jié)構(gòu)?？梢哉f(shuō)，沒(méi)有思維結(jié)構(gòu)，就沒(méi)有數(shù)學(xué)。

2.重視步步有據(jù)的邏輯推理

對(duì)于平面幾何的推理書(shū)寫(xiě)，我們要不遺余力地提倡寫(xiě)好每一步的推導(dǎo)過(guò)程，而不提倡一開(kāi)始就簡(jiǎn)略書(shū)寫(xiě)。如三角形內(nèi)角和為180°，很多老師認(rèn)為學(xué)生會(huì)直接用這個(gè)結(jié)論就好，我卻堅(jiān)持這樣書(shū)寫(xiě)：∵△ABC ∴∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和為180°）

這對(duì)養(yǎng)成良好的推理習(xí)慣是很有幫助的，一開(kāi)始就強(qiáng)調(diào)步步有據(jù)，學(xué)生不容易產(chǎn)生學(xué)習(xí)的困惑。只有到后續(xù)學(xué)生熟練了這一推理形式，才能把∠A+∠B+∠C=180°直接作為前提條件。又如在學(xué)習(xí)直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余的推理書(shū)寫(xiě)時(shí)，要寫(xiě)成：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°（直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余）

讓學(xué)生明白，原因中還有一個(gè)隱含的原因∠A+∠B+∠C= 180°。這樣，在今后書(shū)寫(xiě)推理過(guò)程時(shí)，學(xué)生就會(huì)明白，有些結(jié)論成為定理后隱含條件可以省略不寫(xiě)，但不寫(xiě)并不是可以不要。這樣逐步訓(xùn)練能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密思考的能力，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。

3.問(wèn)題懸而未決也有魅力

數(shù)學(xué)思維的目的在于解決問(wèn)題，但也不一定要徹底解決。目前，數(shù)學(xué)界就還有不少猜想沒(méi)有徹底解決。最典型的就是陳景潤(rùn)為之傾注一生心血的哥德巴赫猜想。這個(gè)猜想本身并不難，表述出來(lái)就是：大于6的偶數(shù)都可以寫(xiě)成2個(gè)質(zhì)數(shù)的和。如24=19+5或者17+7或者13+11。這就是著名的“1+1”。陳景潤(rùn)已經(jīng)證明了“1+2”，但“1+1”還是沒(méi)有徹底攻克。存在沒(méi)有解決的問(wèn)題，就會(huì)有動(dòng)力讓人去鉆研。今天，很多民間數(shù)學(xué)家還在鉆研“1+1”，雖然中科院說(shuō)今后不再接受和論證這些民間數(shù)學(xué)家的論文，但也從另一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了其巨大的魅力。

還有一個(gè)著名的“費(fèi)馬猜想”，認(rèn)為xn+yn=zn在n=2時(shí)有整數(shù)解，就是勾股數(shù)，但n≥3時(shí)則沒(méi)有整數(shù)解。費(fèi)馬在其筆記側(cè)頁(yè)寫(xiě)道：“我已經(jīng)找到一種絕妙的證明方法，可惜這里空間太小了，寫(xiě)不下?！币虼?，這個(gè)猜想也被稱為“費(fèi)馬大定理”。這個(gè)定理一直未得到證明，但人們?cè)谠噲D證明的過(guò)程中又有了新的發(fā)現(xiàn)，因此，這個(gè)“費(fèi)馬大定理”也就被稱作是會(huì)下蛋的“母雞”。因此，我們認(rèn)為思維過(guò)程比結(jié)果更重要，有思維就會(huì)有發(fā)現(xiàn)，就會(huì)有突破。我們教學(xué)中也應(yīng)該允許存在一些懸而未決的問(wèn)題，這可以引發(fā)大家的探索興趣。

4.要重視非邏輯思維的引入和訓(xùn)練

當(dāng)然，邏輯思維并不是萬(wàn)能的，它的作用在于驗(yàn)證猜想的正確性。因此，現(xiàn)在講數(shù)學(xué)思維，我們應(yīng)該有更廣泛的外延，應(yīng)該包括靈感、猜想、嘗試等各種非邏輯思維。其實(shí)，邏輯思維是歐美等西方人擅長(zhǎng)的思考方式，我們東方人更擅長(zhǎng)的是非邏輯的跳躍性思維、整體思維、靈感思維。在東西方文化交流與融合過(guò)程中，我們實(shí)現(xiàn)了文化的互鑒與互補(bǔ)。很多數(shù)學(xué)題，如果單純用邏輯思維，解決起來(lái)就很煩瑣，而用我們東方人的非邏輯思維卻可以迅速得到解決。

另外，對(duì)教學(xué)內(nèi)容中一些抽象概念，也一樣可以通過(guò)形象化處理。如對(duì)于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，我把其圖像看著一條魚(yú)的魚(yú)頭：二次函數(shù)拋物線，網(wǎng)只大魚(yú)沉甸甸。對(duì)于二次函數(shù)開(kāi)口，我又讓學(xué)生進(jìn)行形象化記憶：a正雙手伸向天，a負(fù)海底去探險(xiǎn)。雙曲線和數(shù)軸無(wú)限接近卻永不相交，我把它稱作“悲傷的雙曲線”。

所以，數(shù)學(xué)思維也不一定就是冷冰冰的邏輯思維，也一樣可以有形象化的處理模式，可以有我們東方人獨(dú)特的解決辦法。我們教師在課堂上作出示范，學(xué)生就容易模仿，進(jìn)而學(xué)會(huì)各種有趣的思維模式與解決問(wèn)題的手段，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、涵養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光，是鞏固數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的歸宿

數(shù)學(xué)的眼光，是指對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的直覺(jué)能力。

三百多年前，高斯在小學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，就秒殺了當(dāng)時(shí)老師布置的一道“難題”，從1依次加到100。他直覺(jué)感到一定有快速計(jì)算方法，然后迅速想到1+100，2+99，…，50+51。發(fā)現(xiàn)有50個(gè)101，結(jié)果為5050。這就是數(shù)感，也是高斯對(duì)數(shù)字獨(dú)到的眼光。

著名數(shù)學(xué)家陳省身，曾經(jīng)指出我們看待三角形的方式不對(duì)。我們認(rèn)為觀察三角形就是觀察其內(nèi)部，得出內(nèi)角和為180°。陳教授是把三角形每條邊延長(zhǎng)成為射線，觀察其三個(gè)外角。發(fā)現(xiàn)這三個(gè)外角其實(shí)是頂點(diǎn)不同，但都是繞一圈回到原處。因而，很容易想到外角和為360°。進(jìn)而一樣知道，所有封閉圖形外角和都是360°。這是數(shù)學(xué)家獨(dú)到的觀察圖形的眼光。

如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)的眼光呢？

首先，數(shù)學(xué)的眼光也是建立在扎實(shí)基礎(chǔ)上的。沒(méi)有一定的基礎(chǔ)積累，也是不會(huì)憑空產(chǎn)生整體的、全局的、靈感的思維。因此，我們不應(yīng)該好高騖遠(yuǎn)，放棄平時(shí)的基礎(chǔ)訓(xùn)練。其實(shí)，基礎(chǔ)性的訓(xùn)練也能給學(xué)生留下深刻的印象。

其次，練習(xí)要強(qiáng)調(diào)少而精。我們也不能因?yàn)閿?shù)學(xué)需要扎實(shí)的基礎(chǔ)，就埋頭進(jìn)入題海中，一味地強(qiáng)調(diào)強(qiáng)化訓(xùn)練，那樣更是費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且效果也是不太好。我們要樹(shù)立“題不在多，但求精彩”的理念，講求一題多變，一題多解。練好一題，帶動(dòng)一片。如，幾何學(xué)習(xí)中，通過(guò)對(duì)圖形的平移或者旋轉(zhuǎn)，一道題就由靜態(tài)變成動(dòng)態(tài)，形成各種情況下的變化，而我們解題則需要在“變”中抓住“不變”的東西。

再次，要重視有“母題”和基本題型的訓(xùn)練。簡(jiǎn)單的東西也需要反復(fù)訓(xùn)練，深入學(xué)生的思維，最后，變成學(xué)生的思維模塊。如角平分線和平行線組合，就會(huì)得到等腰三角形。抓住基本的模塊，有助于學(xué)生迅速找到解題方向。

最后，要在復(fù)習(xí)中提升學(xué)生的能力。復(fù)習(xí)不是炒舊飯，是對(duì)學(xué)過(guò)知識(shí)的融會(huì)貫通，是在一個(gè)新的角度重新梳理知識(shí)。復(fù)習(xí)做得好，可以讓學(xué)過(guò)的知識(shí)“活”起來(lái)，可以讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。我在復(fù)習(xí)中比較喜歡設(shè)計(jì)“步步高”的題組訓(xùn)練，學(xué)生練習(xí)起來(lái)感覺(jué)每做一次都有新的收獲。

綜上所述，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕就能夠完成的，需要我們數(shù)學(xué)教師做很多精細(xì)艱辛的工作。本文只是筆者按自己的理解對(duì)六大核心素養(yǎng)作出的新的理解與梳理，以期對(duì)自己今后教學(xué)會(huì)有一些幫助和促進(jìn)。同時(shí)，希望起到拋磚引玉作用，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)引發(fā)更多的討論與爭(zhēng)鳴，進(jìn)而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)更好地落地于每一個(gè)課堂。