魏許杰，王紅軍，王 澤

(北京信息科技大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院；b.現(xiàn)代測(cè)控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100192)

0 引言

主軸作為數(shù)控機(jī)床的核心部件，主軸的回轉(zhuǎn)精度直接影響著工件的圓度誤差、表面粗糙度等指標(biāo)[1-2]。因此對(duì)于主軸的回轉(zhuǎn)誤差研究十分重要。主軸回轉(zhuǎn)誤差是評(píng)價(jià)機(jī)床的重要指標(biāo)，而回轉(zhuǎn)誤差通常與主軸的圓度誤差混合在一起，因此需要對(duì)采集到的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分離得到純回轉(zhuǎn)誤差[3-4]。

目前國(guó)內(nèi)外最常用的誤差分離方法有：三點(diǎn)法誤差分離方法，該方法需要利用離散傅里葉變換的時(shí)延相移性質(zhì)進(jìn)行2次復(fù)雜的傅里葉變換，但不可避免的會(huì)引起諧波抑制的問(wèn)題[5-8]。雷賢卿提出了基于3點(diǎn)法圓度誤差分離技術(shù)的新算法——矩陣算法，但權(quán)值系數(shù)的選取對(duì)結(jié)果有一定影響[9]。美國(guó)Lion公司的主軸回轉(zhuǎn)誤差分析儀采用納米級(jí)別的標(biāo)準(zhǔn)球?qū)χ鬏S回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行評(píng)定，可以較為精確的測(cè)量出主軸回轉(zhuǎn)誤差[10]。本文采用新的時(shí)域三點(diǎn)法對(duì)主軸回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行分離，避免復(fù)雜的傅里葉變換引起的諧波失真問(wèn)題，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程。根據(jù)計(jì)算過(guò)程的不同，可以優(yōu)先分離圓度誤差、優(yōu)先分離主軸回轉(zhuǎn)誤差或同步分離主軸回轉(zhuǎn)誤差和圓度誤差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法的分離效果優(yōu)于傳統(tǒng)的誤差分離方法。

1 新的時(shí)域三點(diǎn)法的算法理論

如圖1所示，3個(gè)固定的電渦流位移傳感器的測(cè)量方程為 ：

A(n)=r(n+a0)+δx(n)cos(a0Δ)+δy(n)sin(a0Δ)

(1)

B(n)=r(n+a1)+δx(n)cos(a1Δ)+δy(n)sin(a1Δ)

(2)

C(n)=r(n+a2)+δx(n)cos(a2Δ)+δy(n)sin(a2Δ)

(3)

在上式中：n是采樣點(diǎn)的位置，n=0,1,...,N-1，其中N為傳感器采樣一周的采樣點(diǎn)數(shù)。δx(n)和δy(n)是主軸回轉(zhuǎn)誤差在x、y軸上的分量，α、β、γ分別是3個(gè)電渦流位移傳感器與x軸之間的夾角,另α=a0Δ、β=a1Δ、γ=a2Δ。r(n)在測(cè)量回轉(zhuǎn)誤差時(shí)引入的圓度誤差。A(n)、B(n)、C(n)分別是3個(gè)傳感器的讀數(shù)數(shù)組。

圖1 放置3個(gè)傳感器示意圖

新的時(shí)域三點(diǎn)法在誤差分離時(shí)，根據(jù)不同的求解過(guò)程可以分為：優(yōu)先分離圓度誤差(PSF)、優(yōu)先分離回轉(zhuǎn)誤差(PSM)、同步分離圓度和回轉(zhuǎn)誤差(SSFM)。該方法由合肥工業(yè)大學(xué)的 Liu等提出[11]，本文搭建了主軸回轉(zhuǎn)誤差分析系統(tǒng)，并在某機(jī)床的1000/460VF-31001型主軸進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，綜合比較該方法與其它經(jīng)典方法及Lion設(shè)備的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了方法的有效性，可以對(duì)主軸回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行有效分離。

1.1 優(yōu)先分離圓度誤差

該方法原理式對(duì)式(2)、式(3)、式(4)進(jìn)行整合 ，將回轉(zhuǎn)誤差分量消除掉，以此來(lái)首先獲得圓度誤差r(n)。具體方法如下:

將式(2)與式(3)聯(lián)立求解得到兩個(gè)回轉(zhuǎn)誤差分量δx(n)和δy(n)，并將其代入到式(1)中得:

sin[(a2-a1)Δ]A(n)+sin[(a0-a2)Δ]B(n)+
sin[(a1-a0)Δ]C(n)=sin[(a0-a1)Δ]r(n+a0)+
sin[(a0-a2)Δ]r(n+a1)+sin[(a1-a0)Δ]r(n+a2)

(4)

如式(4)所示，主軸的回轉(zhuǎn)誤差分量δx(n)和δy(n)已經(jīng)被消除，只有圓度誤差r(n)被首先分離出來(lái)。該式可以由三部分來(lái)表征，即：被分離出來(lái)的圓度誤差XN×1,系數(shù)矩陣QN×N,以及傳感器測(cè)量得到的數(shù)據(jù)的矩陣DN×1，以此來(lái)構(gòu)建一組線性測(cè)量方程。

QN×N·XN×1=DN×1

(5)

其中，DN×1=sin[(a2-a1)Δ]A(n)+sin[(a0-a2)Δ]B(n)+sin[(a1-a0)]ΔC(n)，而系數(shù)矩陣QN×N為:

(6)

根據(jù)式(5)和式(6)可以得到主軸的圓度誤差XN×1={r(n)}N×1，然后將XN×1帶入到式(2)和式(3)即可得到回轉(zhuǎn)誤差分量δx(n)和δy(n)。

1.2 優(yōu)先分離主軸回轉(zhuǎn)誤差

該方法原理是對(duì)式(1)進(jìn)行延時(shí)相移后與式(2)和式(3)聯(lián)立求解，以此來(lái)首先獲得主軸的回轉(zhuǎn)誤差，并消除圓度誤差。具體方法如下：

將第一個(gè)傳感器A(n)離散序列分別經(jīng)過(guò)時(shí)延相移(a1-a0)Δ和(a2-a0)Δ之后，那么測(cè)量結(jié)果轉(zhuǎn)換結(jié)果如式(7)和式(8)所示:

A(n+a1-a0)=
r(n+a1)+δx(n+a1-a0)cos(a0Δ)+
δy(n+a1-a0)sin(a0Δ)

(7)

A(n+a2-a0)=
r(n+a2)+δx(n+a2-a0)cos(a0Δ)+
δy(n+a2-a0)sin(a0Δ)

(8)

用等式(2)減去等式(2)并且等式(3)減去等式(7)，最終可以得到如下兩個(gè)函數(shù):

B(n)-A(n+a1-a0)=
δx(n)cos(a1Δ)+δy(n)sin(a1Δ)+
δx(n+a1-a0)cos(a0Δ)+δy(n+a1-a0)sin(a0Δ)

(9)

C(n)-A(n+a2-a0)=
δx(n)cos(a2Δ)+δy(n)sin(a2Δ)+
δx(n+a2-a0)cos(a0Δ)+δy(n+a2-a0)sin(a0Δ)

(10)

在式(9)和式(10)中可以看到只有主軸回轉(zhuǎn)誤差的兩個(gè)分量δx(n)和δy(n)被保留下來(lái)，而圓度誤差r(n)則被消去。以此來(lái)構(gòu)建一組線性方程：

Q2N×2N·X2N×1=D2N×1

(11)

上式由三部分組成，被分離出來(lái)的主軸回轉(zhuǎn)誤差分量：

X2N×1={δx(0),...,δx(N-1),δy(0),...,δy(N-1)}T，測(cè)量到的數(shù)據(jù)D2N×1={d(n)}2N×1，d(n)=B(n)-A(n+a1-a0)(n=0,1,...N-1)。d(n)=C(n)-A(n+a1-a0) (n=N,N+1,...2N)。系數(shù)矩陣Q2N×2N={Rpq}2×2，同時(shí)Rpq(p=1,2)(q=1,2)是一個(gè)方陣 。

(12)

(13)

根據(jù)式(11)～式(13)可以求得主軸的回轉(zhuǎn)誤差X2N×1，然后將δx(n)和δy(n)代入式(1)中可以進(jìn)一步求得圓度誤差。這就是優(yōu)先分離回轉(zhuǎn)誤差法。

1.3 同時(shí)分離主軸回轉(zhuǎn)誤差和圓度誤差

該方法的原理是直接將式(1)～式(3)直接聯(lián)立合并為一組線性方程中，通過(guò)求解線性方程組同時(shí)獲得主軸的圓度誤差和回轉(zhuǎn)誤差。如式(14)所示：

Q3N×3N·X3N×1=D3N×1

(14)

其中測(cè)量數(shù)據(jù)矩陣：

D3N×1={A(0),...,A(N-1),B(0),...B(N-1),C(0),...,C(N-1)}T系數(shù)矩陣Q3N×3N={Rpq}3×3，而Rpq(p=1,2,3)(q=1,2,3)分別為：

(15)

所求矩陣：

X3N×1={r(0),...,r(N-1),δx(0),...,δx(N-1),δy(0),...,δy(N-1)}T，該矩陣同時(shí)包括了主軸的圓度誤差和回轉(zhuǎn)誤差，通過(guò)聯(lián)立求解式(13)、式(14)可以求得，且只需要一步就可以誤差的完全分離。

至此，新的時(shí)域三點(diǎn)法中的優(yōu)先分離回轉(zhuǎn)誤差、優(yōu)先分離圓度誤差、同步分離回轉(zhuǎn)誤差和圓度誤差三種方法被提出，且都可以得到分離完全的主軸回轉(zhuǎn)誤差和圓度誤差。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)硬件設(shè)置

主軸回轉(zhuǎn)誤差測(cè)量系統(tǒng)主要硬件包括電渦流位移傳感器、精密的標(biāo)準(zhǔn)球、堅(jiān)實(shí)的傳感器支架硬件和數(shù)據(jù)采集卡設(shè)備。本實(shí)驗(yàn)采集某機(jī)床的1000/460VF-31001型主軸回轉(zhuǎn)誤差數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證誤差算法的有效性，該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由外徑40mm加工中心刀柄、HZ-8500電渦流傳感器、阿爾泰PCI-8757數(shù)據(jù)采集卡、傳感器支架、傳感器、計(jì)算機(jī)組成，如圖2所示。

圖2 測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)圖

2.2 實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)據(jù)處理

設(shè)置實(shí)驗(yàn)的測(cè)量點(diǎn)數(shù)是N=100，3個(gè)傳感器與x軸的夾角分別是0°、95°、230°，分別采集了主軸轉(zhuǎn)速為600r/min、1200r/min、2000r/min、3000r/min四組數(shù)據(jù)。將數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)信號(hào)去噪等預(yù)處理后導(dǎo)入到Matlab程序?qū)ζ涮幚矸治?，分離效果如圖3～圖5所示。

圖3 600r/min 優(yōu)先分離圓度誤差結(jié)果

圖4 600r/min 優(yōu)先分離主軸回轉(zhuǎn)誤差結(jié)果

圖5 600r/min 同步分離回轉(zhuǎn)和圓度誤差結(jié)果

上圖3～圖5是當(dāng)轉(zhuǎn)速600r/min時(shí)主軸回轉(zhuǎn)誤差及刀柄圓度誤差的極坐標(biāo)圖。從圖中得到三種分離方法的圓度結(jié)果在0.9～1.25μm左右，而主軸回轉(zhuǎn)誤差分別為1.49μm、2.21μm、1.40μm。結(jié)果與傳統(tǒng)三點(diǎn)法的結(jié)果相似，證明了在600r/min的轉(zhuǎn)速下，該方法是適用的。為綜合驗(yàn)證結(jié)果的有效性和適用性，利用美國(guó)Lion Precision主軸回轉(zhuǎn)誤差分析儀對(duì)主軸在相同的實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。并將結(jié)果與本文方法的結(jié)果對(duì)比，如表1、表2所示。

表1 不同方法分離圓度誤差結(jié)果

表2 不同方法分離回轉(zhuǎn)誤差結(jié)果

如圖6和表1、表2所示，該方法分離出圓度誤差與傳統(tǒng)三點(diǎn)法結(jié)果接近，主軸回轉(zhuǎn)誤差與Lion設(shè)備的結(jié)果相似，并且隨著主軸轉(zhuǎn)速的上升主軸回轉(zhuǎn)誤差也在增大，這與實(shí)際機(jī)理符合。證明了該方法可以有效分離出主軸回轉(zhuǎn)誤差和圓度誤差。

圖6 不同方法分離結(jié)果柱狀圖

3 結(jié)束語(yǔ)

本文采用多探頭的新時(shí)域三點(diǎn)法對(duì)主軸的回轉(zhuǎn)誤差和圓度誤差進(jìn)行分離，基于該方法搭建了主軸回轉(zhuǎn)誤差測(cè)量系統(tǒng)，并與傳統(tǒng)頻域三點(diǎn)法及Lion Precision設(shè)備得到的回轉(zhuǎn)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)論如下：

(1)由于主軸的分離出的圓度誤差在0.85 ～1.60μm范圍內(nèi)波動(dòng)，這是由于被測(cè)試的刀柄本身存在著形狀誤差且其形狀誤差是固定的。因此在不同轉(zhuǎn)速下圓度誤差變化比較穩(wěn)定，不存在突變情況；

(2)主軸回轉(zhuǎn)誤差變化則是隨著轉(zhuǎn)速升高的無(wú)規(guī)律上升，這種上升是由于主軸的動(dòng)不平衡引起的，符合機(jī)床的實(shí)際特征。說(shuō)明了該方法可以對(duì)主軸回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行有效、準(zhǔn)確分離。