田 勇，王洪光，潘新安，胡明偉

(1. 中國科學院 沈陽自動化研究所，沈陽 110016；2. 中國科學院 機器人與智能制造創(chuàng)新研究院，沈陽 110016；3. 中國科學院大學，北京 100049)

0 引言

隨著機器人的廣泛應用，對機器人的需求由大型、負載自重比小的傳統(tǒng)工業(yè)機器人向輕型、負載自重比大的協(xié)作機器人方向發(fā)展。協(xié)作機器人是指能夠在指定的協(xié)作區(qū)域內與人進行直接交互的機器人[1-2]。協(xié)作機器人具有輕型、負載自重比大的特點，需要協(xié)作機器人采用一體化關節(jié)和輕質連桿。但是關節(jié)和連桿的柔性導致了機器人的剛度降低，導致機器人在運行過程中容易出現(xiàn)低頻諧振，且到達目標位置時出現(xiàn)殘余振動，降低機器人的精度。為了保證機器人能夠高速平穩(wěn)運行，就需要對柔性機器人的動態(tài)特性進行分析研究[3-4]。

目前，針對機器人柔性的研究，主要分為對柔性連桿和柔性關節(jié)的研究。對于柔性關節(jié)的研究中，黎田[5]考慮了關節(jié)柔性建立了機器人的動力學模型，并且通過主動抑振的方法對機器人進行了振動抑制； Korayem等[6]通過分析關節(jié)柔性對承載能力的影響，指出關節(jié)柔性的增加會降低機械臂系統(tǒng)的最大承載能力；Korayem等[7]考慮關節(jié)和連桿的柔性，對移動操作臂進行了動力學模型進行了分析，并研究軌跡對柔性操作臂的影響，證明提出方法的有效性。針對于連桿柔性，Lee[8]通過假設模態(tài)法建立了柔性桿的柔性變形，研究了帶有末端質量的柔性桿的振動特性；Low[9]利用有限元法建立了柔性桿的有限元模型，并研究了末端負載對柔性桿動態(tài)特性的影響；高勝等[10]通過有限元方法建立了柔性機器人的動力學模型，研究了連桿參數(shù)對動態(tài)特性的影響；Farid[11]通過拉格朗日法和有限元法對含有關節(jié)和連桿柔性的冗余機器人進行了動力學建模，并通過數(shù)值法預測系統(tǒng)的動態(tài)行為。文獻[12-15]研究了關節(jié)及連桿的柔性對機器人動態(tài)特性的影響，大多針對單連桿或平面機器人進行分析。

協(xié)作機器人SHIR5是7DOF冗余機器人，本文利用有限元法和拉格朗日法建立了機器人SHIR5的剛柔耦合動力學模型，并考慮機器人的關節(jié)和連桿的柔性，提高了機器人動力學模型的準確度。然后研究了機器人各參數(shù)對其固有頻率的影響，為后續(xù)的結構設計提供了有力的支撐。最后利用遺傳算法對機器人參數(shù)進行了優(yōu)化，提升了機器人的固有頻率。

1 機器人模型及簡化

圖1 機器人三維模型及等效模型

圖1所示為SHIR5機器人的三維模型及等效模型?？梢钥闯?，機器人的連桿為不規(guī)則形狀。首先對連桿進行簡化，將連桿分為兩部分：圓形薄壁部分和非圓形薄壁部分。定義圓形截面的直徑為D，橢圓形截面的長短軸分別為D、B，連桿的厚度為d。

由表1可以看出，關節(jié)的傾覆剛度遠遠大于關節(jié)的扭轉剛度。因此，通過線性扭簧對關節(jié)進行簡化。如圖1所示，θ為電機轉角，關節(jié)的剛度為k，關節(jié)的彈性變形為φ。

表1 對關節(jié)簡化后的參數(shù)設置

通過連桿和關節(jié)的簡化，得到機器人的整體簡化模型，如圖2所示。將連桿簡化為圓形截面和橢圓截面的兩個單元，設連桿Li上的單元j的序號為ij，單元的長度及單位長度質量分別為lij、mij。關節(jié)Ji質量為mpi，扭轉剛度為ki。連桿L7及關節(jié)J7對系統(tǒng)的影響較小，為簡化模型，將L7等效為剛性連桿，將關節(jié)J7等效為集中質量，P為負載。

圖2 機器人的等效模型

根據(jù)材料力學的知識，可以得到連桿的參數(shù)與連桿的D、B、d有關，如連桿的抗拉剛度、抗彎剛度、抗扭剛度以及單元長度質量參數(shù)。

2 有限元模型的建立及動力學推導

2.1 機器人的運動關系描述

對于柔性連桿的建模，主要有有限元法和假設模態(tài)法[16]。本文中的連桿截面較為復雜，因此采用有限元法對柔性連桿進行建模[17]。本文采用空間梁單元對機器人進行建模，得到機器人的柔性運動關系，如圖3所示。

圖3 機器人柔性運動關系

首先建立系統(tǒng)坐標系O-x0y0z0，以及隨連桿運動的局部坐標系O-xiyizi，局部坐標系的zi軸始終與連桿i重合。其中關節(jié)的理論轉角為θi，關節(jié)的彈性變形為φi；在局部坐標系中，連桿i含有兩個單元，單元的變形位移和變形轉角分別為uij(z,t)、vij(z,t)，其中i代表連桿序號，i=1, 2,…, 6；j代表單元序號，j=1, 2。

連桿i上任意一點在局部坐標系中的位置為ri′， 當位于連桿的單元j=1時，ri′=[z+ui1(1,1);ui1(2,1);ui1(3,1); 1]；當位于連桿的單元j=2時，ri′=[li1+z+ui2(1,1);ui2(2,1);ui2(3,1); 1]，則ri′的表達式為：

(1)

其中，li1為單元1的長度，i=1, 2,…, 6；j=1, 2。

柔性桿在系統(tǒng)坐標系中的轉換矩陣通過前一連桿和前一關節(jié)的變換矩陣進行轉換，其中關節(jié)的轉動變換矩陣為T1，關節(jié)的柔性變形的變換矩陣為T2，連桿的變換矩陣為T3。則柔性桿i上任意一點在系統(tǒng)坐標系中的位置表示為：

ri=T13·T11·T12·…·Ti3·Ti1·Ti2·ri′

(2)

2.2 動力學模型的推導

機器人的動能包括連桿的動能，集中質量的動能以及關節(jié)的動能。勢能包括連桿的彈性勢能、連桿及集中質量的重力勢能以及關節(jié)的彈性勢能。

(3)

(4)

(5)

通過公式可以得到系統(tǒng)的總動能及勢能，并利用拉格朗日方程，得到系統(tǒng)的動力學方程及固有頻率方程：

(6)

(7)

其中,M為系統(tǒng)的質量矩陣，H為系統(tǒng)的科氏力、離心力，K為系統(tǒng)的剛度矩陣，G為系統(tǒng)的重力。

3 連桿參數(shù)對固有頻率的影響

固有頻率與連桿的長度Li、連桿圓形截面長度li1、連桿厚度di、連桿直徑Di、短軸Bi、關節(jié)質量及剛度有關。上述參數(shù)對固有頻率的影響如圖4所示。

(1)d1、d4和d5對固有頻率影響很小，且隨d1、d4的增加，固有頻率略有提高，而隨d5的增加，固有頻率略有降低。隨d2、d3的增加，固有頻率隨之增加，但d2比d3的影響大；隨d6的增加，固有頻率隨之降低。

(2)隨著L2、L3、L4的增加，機器人的固有頻率隨之增加，L2的影響比L3、L4大；隨著L5、L6的增加，機器人的固有頻率隨之降低，因此，在連桿長度設計過程中，應該增加L2、L3、L4的長度，并對其進行優(yōu)化設計。

(3)各連桿的比例系數(shù)ll對固有頻率的影響中，ll4、ll5、ll6越大，機器人的固有頻率就越低，且ll6的影響最大；ll2、ll3對固有頻率影響較小，隨著ll2、ll3的增大，固有頻率略有升高，因此在連桿的設計過程中，適當減小ll4、ll5、ll6，增大ll2、ll3。

(4)B3對固有頻率的影響最大，相比于其他連桿截面來說，對固有頻率的靈敏度最高；隨著B2、B3、B4、B5的增加，機器人的固有頻率隨之增加，且最終會穩(wěn)定在一定的范圍內;隨著B6的增加，機器人固有頻率先增大后減小，因此設計過程中該參數(shù)有最優(yōu)值。

(5)隨著D2、D3、D4的增加，機器人的固有頻率隨之增加，且D3對固有頻率的影響最大；隨著D5的增加，機器人的固有頻率先增加后減小，對固有頻率的影響較小，再設計過程中有最優(yōu)值的選擇；隨著D6的增加，機器人的固有頻率減小，因此在設計過程中盡量減小該值。

(6)在其他參數(shù)不變的情況下，隨著機器人末端負載的增加，機器人的固有頻率隨之降低。

(a) 連桿厚度對固有頻率的影響

(b) 連桿長度對固有頻率的影響

(c) 截面比例對固有頻率的影響

(d) 短軸對固有頻率的影響

(e) 長軸對固有頻率的影響

(f) 負載對固有頻率的影響 圖4 各參數(shù)對固有頻率的影響

4 設計參數(shù)的優(yōu)化設計

通過上節(jié)可以看出，機器人各連桿和關節(jié)參數(shù)對機器人的固有頻率影響較大。其中，關節(jié)的質量和剛度很難提升和改變，因此在設計過程中保持關節(jié)的質量和剛度不變，對機器人的連桿參數(shù)進行優(yōu)化設計。

針對機器人連桿參數(shù)的優(yōu)化，分析發(fā)現(xiàn)部分連桿參數(shù)對固有頻率的影響較大，如d2、d3，L3、L4、L5、L6，ll2、ll3，B3以及D2、D3、D4。通過對上述參數(shù)進行優(yōu)化設計，對應的參數(shù)如表2所示。首先，建立優(yōu)化參數(shù)與固有頻率的數(shù)學模型：

ω=f(L3、L4、L5、L6、ll2、ll3、ll4、D1、D2、B3、d2、d3)

f表示固有頻率與機器人連桿參數(shù)的數(shù)學模型，本文通過Kriging方法進行擬合。

各變量的取值范圍為：

L3∈[0.2, 0.35]；L4∈[0.2, 0.35]

L5∈[0.14, 0.25]；L6∈[0.14, 0.25]

ll2∈[0.3, 0.7]；ll3∈[0.3, 0.7]；ll4∈[0.3, 0.7]

D1∈[100, 200]；D2∈[100, 200]

B3∈[40, 80]；d2∈[3.5, 5]；d3∈[3.5, 5]

優(yōu)化過程中保證機器人的總質量m和總長度L保持不變，約束條件為：L=0.9m；m=5kg，且

L3+L4+L5+L6=1

其中，機器人的總質量的計算公式為：

(8)

m=m1+m2

m1，m2分別為圓形截面、橢圓形截面的質量。

利用遺傳算法對模型進行優(yōu)化，得到的優(yōu)化結果如表3所示。通過對比可以看出，通過對連桿參數(shù)的優(yōu)化，在保證機器人質量和總長度不變的情況下，機器人的固有頻率由原來的9.687Hz提升到10.562Hz，提升了9%，說明了優(yōu)化的有效性。

表2 優(yōu)化參數(shù)設置

表3 優(yōu)化前后固有頻率對比

5 結論

柔性關節(jié)和柔性連桿的引入導致了協(xié)作機器人的動態(tài)特性降低。本文通過有限元法對機器人SHIR5的柔性連桿進行了建模，并利用拉格朗日法建立了機器人的動力學模型；通過動力學模型求解機器人固有頻率以及機器人參數(shù)對固有頻率的影響，為機器人的設計提供了理論基礎；利用分析得到對固有頻率影響較大的參數(shù)，通過遺傳算法對該參數(shù)進行了優(yōu)化，在保證機器人質量不變的前提下，使得機器人的固有頻率提高了9%，說明了優(yōu)化的有效性。