一、選擇題

1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B

7.D 8.D 9.A 10.D 11.C 12.B

二、填空題

13.14.(0,-b)

15.2 16

三、解答題

17.(1)依題意可知所以所以橢圓的方程為離心率為

(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y整理可得(3k2+1)x2+12kx+9=0,則

若以MN為直徑的圓過點F(-1,0),則∠MFN=90°,即

綜上,k的值為

18.(1)因為拋物線C的方程為y2=4x,所以F的坐標為(1,0)。

設M(m,n),因為圓M與x軸、直線l都相切,又l平行于x軸,所以圓M的半徑為|n|,點P(n2,2n),則直線PF的方程為即2n(x-1)-y(n2-1)=0,所以又m,n≠0,所以|2m-n2-1|=n2+1,即n2-m+1=0,所以E的方程為y2=x-1(y≠0)。

(2)設Q(t2+1,t),A(0,y1),B(0,y2),由(1)知,點Q處的切線l1的斜率存在,由對稱性不妨設t＞0,因為,所以所以3t,所以

由f′(t)＞0 得由f′(t)＜0得

所以f(t)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增。

19.(1)因為橢圓的離心率所以解得a=2。所以橢圓E的方程為

(2)依題意,圓心為C(t,0)(0＜t＜2)。

所以圓C的半徑為

因為圓C與y軸相交于不同的兩點A,B,且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t,所以0＜即

所以△ABC的面積

所以△ABC的面積的最大值為

20.(Ⅰ)由題設知則有直線A1P的方程為y=

直線A2Q的方程為

設點M(x,y)是A1P與A2Q的交點,由①×②得

又點P(x1,y1)在雙曲線上,因此即

因為P,Q是雙曲線上的不同兩點,所以它們與點A1,A2均不重合,故點A1和A2均不在軌跡E上。

同理,軌跡E也不經(jīng)過點(0,-1)。

綜上分析,軌跡E的方程為x≠0且

(Ⅱ)分三種情況討論:

(1)設過點H(0,h)的直線為y=kx+h(h＞1),聯(lián)立消去y整理得

(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0。

令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,解得

由于l1⊥l2,則,故

(2)設過點H(0,h)的直線l2的方程為y=kx+h(h＞1),聯(lián)立消去y整理得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0。

令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得

當l1過點A1和H時,直線l1的斜率為

由于l1⊥l2,則k1k=-1,即

同理,當l2過點A2和H,而l1與軌跡E相切時,也得

(3)過點A1,A2分別引直線l1,l2通過y軸上的點H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由得此與時l1,l2的方程分別為與y=-x它們與軌跡E分別僅有一個交點所以,符合條件的h的值為或或

21.(1)依題意,點P到點F(1,0)的距離等于它到直線l1的距離,所以點P的軌跡是以F為焦點,直線l1:x=-1為準線的拋物線。所以曲線C的方程為y2=4x。

(2)設點P(x0,y0),M(-1,m),N(-1,n),直線PM的方程為(x+1),化簡得(y0-m)x-(x0+1)y+(y0-m)+m(x0+1)=0。

因為△PMN的內(nèi)切圓方程為x2+y2=1,所以圓心(0,0)到直線PM的距離為1,即,故(y0-m)2+(x0+1)2=(y0-m)2+2m(y0-m)(x0+1)+m2(x0+1)2。易知x0＞1,上式化簡得(x0-1)m2+2y0m-(x0+1)=0。

同理,(x0-1)n2+2y0n-(x0+1)=0。

所以m,n是關于t的方程(x0-1)t2+2y0t-(x0+1)=0 的兩根,所以m+n=

因為=4x0,所以所以|MN|

直線PF的斜率則|k|=