孫 凱 殷容儀

(1.江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215151； 2. 江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院 215004)

1 問(wèn)題提出

近期，在江蘇省蘇州市第三期鄉(xiāng)村骨干教師培育站的培訓(xùn)活動(dòng)中，蘇州市教育科學(xué)研究院的數(shù)學(xué)教研員殷容儀老師給每位學(xué)員發(fā)放一張“學(xué)習(xí)材料”，內(nèi)容為蘇科版初中數(shù)學(xué)教材上的9道簡(jiǎn)單的例習(xí)題，要求學(xué)員們先做題，再思考怎樣講題，并邀請(qǐng)學(xué)員代表到講臺(tái)前模擬展示講題過(guò)程，其他學(xué)員觀察、思考、補(bǔ)充.上臺(tái)的學(xué)員結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與思考，進(jìn)行了常規(guī)性的講題展示. 其中有一道題，殷老師從角色定位的視角進(jìn)行精彩的講題示范與點(diǎn)評(píng)，給學(xué)員們留下深刻印象.那么什么是角色定位，其主旨要義、適應(yīng)特征與關(guān)注點(diǎn)有哪些，圍繞這些話題，筆者作了以下探索與思考，現(xiàn)整理成文，供各位同仁研討交流.

2 角色定位的內(nèi)涵及適應(yīng)特征

所謂“角色定位”，是指在分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中明確要求的目標(biāo)元素是什么，把它定位成什么“角色”，以此確定探尋的路徑和求解的方法. 這里的“角色定位”特指在數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域，比如求解一條邊長(zhǎng)，需要考慮它的“角色”是直角邊？任意邊？高線？垂直平分線？角平分線？弦？特殊的邊？一般的邊？等.又如求解一個(gè)角度，需要考慮它的“角色”是內(nèi)角？外角？對(duì)頂角？余角？等.這些分析思考問(wèn)題的方式、方法都可歸納為“角色定位”.在解題過(guò)程中，能否對(duì)所求的元素進(jìn)行合理的角色定位，決定了解題路徑的確定與問(wèn)題解決的進(jìn)程.因此，在講題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生抓住某個(gè)邊長(zhǎng)、角度等關(guān)鍵條件，對(duì)求解對(duì)象進(jìn)行角色定位嘗試，在明晰顯性角色的基礎(chǔ)上，積極挖掘隱形角色，實(shí)現(xiàn)合理、有效、精準(zhǔn)地定位，啟發(fā)學(xué)生思維，突破問(wèn)題思考的瓶頸.

這里所謂的“講題教學(xué)”指的是教師對(duì)題目進(jìn)行講解，師生共同參與的一種旨在解決定向任務(wù)的教與學(xué)的方式.題目作為講題對(duì)象，其分類(lèi)是多樣的.按課程內(nèi)容可分為代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)概率和綜合實(shí)踐四類(lèi)，按題型可分為選擇、填空和解答三類(lèi)，按涉及知識(shí)可分為簡(jiǎn)單類(lèi)和綜合類(lèi)，按問(wèn)題情境可分為常規(guī)型和非常規(guī)型，按運(yùn)用范圍可分為數(shù)學(xué)運(yùn)用類(lèi)和現(xiàn)實(shí)運(yùn)用類(lèi)等等.根據(jù)角色定位的內(nèi)涵，我們認(rèn)為其適應(yīng)對(duì)象應(yīng)具備“多角色”的特征，待解決的題目多出自于綜合類(lèi)的幾何問(wèn)題，求解的對(duì)象聚焦于線段、角等基本元素及相關(guān)元素.

3 教學(xué)案例

3.1 對(duì)“邊”的不同定位

圖1

原題呈現(xiàn)如圖1，在△ABC中，AC=BC=3，CE是外角平分線，點(diǎn)D是AC邊上的點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E.

(1)求證：△ABD∽△CED.

(2)若AB=4，AD=2CD，求BE的長(zhǎng).

診斷分析在批改這道試題時(shí)發(fā)現(xiàn)異常情況，所帶兩個(gè)班級(jí)的90位同學(xué)中只有9位同學(xué)作出正確解答，這引起了筆者的關(guān)注.這道試題難在什么地方？學(xué)生的困惑是什么？如何幫助學(xué)生突破思考瓶頸？

此題改編自2010年四川省南充市中考數(shù)學(xué)第19題，原試題為：如圖2，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABD∽△CED.(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的長(zhǎng). 顯然此題是對(duì)原試題的等邊三角形作一般化的處理，增加了求解BE的難度.此題考查了等腰三角形、直角三角形、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，內(nèi)涵豐富，把BE作不同的角色定位，會(huì)發(fā)現(xiàn)多種不同的解法.在講題時(shí)，緊緊圍繞“角色定位”的講題策略展開(kāi)教與學(xué)，主動(dòng)為學(xué)生搭建交流展示的平臺(tái)，展示過(guò)程中，努力使學(xué)生的思維可視化、系統(tǒng)化、邏輯化，促使他們積極參與高階思維活動(dòng).

圖2

圖3

圖4

師：根據(jù)題目中的條件與(1)的結(jié)論，我們可以獲得以上新的條件，如何讓這些條件與BE建立聯(lián)系，把BE定位為什么樣的角色分析求解呢？

生1：在現(xiàn)有圖形中，直接求解BE是有難度的，我打算以BE為邊，構(gòu)造直角三角形求解.作EG⊥BF、AH⊥BF、CQ⊥AB，垂足分別為G、H、Q，如圖3.構(gòu)造△EGC∽△AHB，分別求得CQ、EG，Rt△ECG中求得CG，最后在Rt△BEG中，確定BE.

點(diǎn)評(píng)構(gòu)造以BE為邊的Rt△，作EG⊥BF是最容易想到的輔助線，但是要在Rt△BEG中需先解決EG、BG的長(zhǎng)，構(gòu)造三角形相似模型幫助解決是個(gè)很好的辦法，但在實(shí)際分析求解時(shí)，用“等積法”求得AH的長(zhǎng)是很關(guān)鍵的一步.

生2：我也是以BE為邊構(gòu)造直角三角形來(lái)求解的.作EG⊥BF、CQ⊥AB，垂足分別為G、Q，如圖4. 借助△ECG∽△CBQ，先求CQ，再求EG，最后在Rt△BEG中，確定BE.

點(diǎn)評(píng)把BE定位為Rt△BEG的斜邊，與生1的解題策略類(lèi)似，構(gòu)造三角形相似模型解決EG、BG的長(zhǎng).顯然，這種構(gòu)造相似的方式比解法1更簡(jiǎn)捷，求解相對(duì)更簡(jiǎn)便.實(shí)際分析問(wèn)題過(guò)程中，能否發(fā)現(xiàn)∠ECQ=90°的基本“模型”，是構(gòu)造三角形相似的關(guān)鍵，也是解題的關(guān)鍵.這個(gè)“模型”與“一線三等角”模型有相似之處，教學(xué)中可以作比較鑒賞.

圖5

圖6

圖7

生3：以BE為斜邊，構(gòu)造Rt△ABE求解.作CQ⊥AB，垂足為Q，連接AE，如圖5. 易證四邊形AQCE是平行四邊形，以此證得四邊形AQCE是矩形，在Rt△BAE中根據(jù)勾股定理求得BE.

點(diǎn)評(píng)△ABC作為等腰三角形，高線CQ是最常規(guī)的輔助線，在分析問(wèn)題過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)AQ與EC位置與數(shù)量上都有特殊的關(guān)系，連接AE建構(gòu)出特殊的四邊形(矩形)，以此構(gòu)造以BE為斜邊的直角三角形，以斜邊的“角色”直接求之.

點(diǎn)評(píng)在分析問(wèn)題過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)BQ與EC在位置與數(shù)量上都有特殊的關(guān)系，聯(lián)想到建構(gòu)三角形全等模型解決問(wèn)題，把BE看成“倍分”線段求之，很巧妙.

生5：我以BD為邊，借助BD建構(gòu)相似三角形求解BE.作CQ⊥AB、BK⊥AC，垂足分別為Q、K，如圖7. 根據(jù)“等積法”求BK，在Rt△ABK中，根據(jù)勾股定理求得AK，最后在Rt△BDK中求得BD，再求BE.

點(diǎn)評(píng)在(1)中我們發(fā)現(xiàn)BD=2DE，如果能求得BD或DE的長(zhǎng)，就能求得BE的長(zhǎng)，如何求BD的長(zhǎng)呢？以BD為邊，建構(gòu)直角三角形，利用等積法、勾股定理、相似三角形等，分別求得另外兩條邊長(zhǎng)，BD求得后再求BE，水到渠成.

3.2 對(duì)“角”的不同定位

原題呈現(xiàn)如圖8，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠ACD=60°，∠ADC=50°.求∠CEB的度數(shù).

圖8

圖9

圖10

診斷分析這道例題出自蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)P57的例2，設(shè)計(jì)意圖是呈現(xiàn)問(wèn)題情境，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主運(yùn)用圓周角性質(zhì)定理解決求角問(wèn)題，以聯(lián)系、梳理、整合知識(shí)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).由AB是直徑，學(xué)生會(huì)習(xí)慣性添加輔助線BD或BC，見(jiàn)直徑想直角，這是很好的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)熟練掌握的自然真實(shí)反應(yīng)，值得肯定.但是，盲目的添加輔助線，在某些思考階段會(huì)干擾學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，比如追問(wèn)為什么連接BC，多數(shù)學(xué)生會(huì)回答構(gòu)造90°的圓周角，至于還有什么目的就說(shuō)不清楚了.圓中的∠CEB既不是圓心角，也不是圓周角，如何求解？對(duì)學(xué)生而言，是有一定難度的.

講題過(guò)程呈現(xiàn)題目，獨(dú)立思考五分鐘.

師：已知的條件有哪些？求解的對(duì)象是什么？

生1：AB是直徑，∠ACD與∠ADC的度數(shù)，求∠CEB的度數(shù).

師： 由已知條件，你想到什么？

生2：由∠ACD和∠ADC，可求得∠CAD，但是要求的∠CEB與∠CAD沒(méi)有直接的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明條件不夠，是不是要考慮使用AB為直徑的條件.

生3：由AB是直徑，可以連接BD或BC，這樣會(huì)得到90°的圓周角.

師：請(qǐng)把已知的條件在圖形上作標(biāo)記，思考如何求解？有哪些方法？

生4：連接BD.

師：為什么連接BD，你是怎樣想的？

生4：……(不知如何作答)

師：求解對(duì)象是∠CEB，從位置上看，它是一個(gè)什么樣的角？請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)看.

生5：它是一個(gè)外角，若連接BC，也可以看出一個(gè)內(nèi)角.

生6：與∠AED互為對(duì)頂角.

師：大家說(shuō)的非常好，根據(jù)∠CEB的位置特征，把它定位成不同的“角色”，就決定了求解它的策略與路徑，結(jié)合你添加的輔助線，說(shuō)說(shuō)你的想法.

生7：如圖9，連接BD，則∠ADB=90°.連接BD的目的是把∠CEB定位為△BDE的外角，則有∠CEB=∠ABD+∠CDB，需分別求∠ABD和∠CDB，此時(shí)∠ABD與∠ACD、∠CDB與∠ADC有直接的數(shù)量關(guān)系，問(wèn)題得以求解.

生8：∠CEB也可以定位為△CAE的外角，則∠CEB=∠ACD+∠BAC，其中∠BAC可以轉(zhuǎn)換為∠BDC，利用互余關(guān)系，求得∠BDC即可.

生9：如果把∠CEB看成∠AED的對(duì)頂角，再把∠AED看成△ACE或△BDE的外角也可以求解.

師；有的同學(xué)連接BC，說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的？

生10：如圖10，連接BC，則∠ACB=90°.連接BC的目的是把∠CEB定位為△CEB的內(nèi)角，需求∠ABC與∠BCE，此時(shí)∠ABC與∠ACE、∠ABC與∠ADC有直接的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求解.

師：輔助線的添加能夠賦予∠CEB豐富的角色，對(duì)∠CEB進(jìn)行不同的角色定位，決定了不同的求解策略和路徑，希望同學(xué)們能夠好好運(yùn)用角色定位的方法，幫助分析和解決問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)在講題過(guò)程中，給學(xué)生充足的思考時(shí)間，以“角色定位”的視角引導(dǎo)學(xué)生把握問(wèn)題的本質(zhì)，在高階思維活動(dòng)中探尋解題策略，提升學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

4 教學(xué)思考

4.1 角色定位的主旨要義

在講題教學(xué)中，應(yīng)搞清楚講題的目的.講題作為一種教學(xué)行為，其目的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的分析和解決的過(guò)程，啟發(fā)思考，點(diǎn)撥、提煉和歸納方法，以幫助學(xué)生形成獨(dú)立解決問(wèn)題的能力.從某種意義上看，講題教學(xué)的目的是教會(huì)學(xué)生解題.角色定位作為一種重要的分析和解決問(wèn)題的方法，意在幫助學(xué)生探尋有效解決問(wèn)題的方案，形成策略.波利亞的“怎樣解題表”把解題分為四個(gè)步驟：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧.在這四個(gè)步驟中，擬定方案尤為關(guān)鍵.角色定位相當(dāng)于“怎樣解題表”中的擬定方案，具體表現(xiàn)為深入理解題目并探求解題思路.

基于角色定位的講題教學(xué)，其目的可以劃分為兩個(gè)層面：一是知識(shí)與技能層面，教會(huì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是思維與方法層面，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，掌握思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.顯然，前者屬于低階思維活動(dòng)，而后者屬于高階思維活動(dòng).比如在“對(duì)‘角’的不同定位”的案例中，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求得∠CEB，就實(shí)現(xiàn)了第一層面的講題目的，這是常態(tài)講題教學(xué)的普遍性課堂現(xiàn)狀.而運(yùn)用角色定位的方法引導(dǎo)學(xué)生思考“我是怎樣想的”“為什么這樣想”“思考過(guò)程中遇到哪些障礙”“如何突破障礙”“我還可以怎樣想”等等，讓其反復(fù)經(jīng)歷高階思維活動(dòng)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，提高擬定方案的能力.因此，講題教學(xué)中，教師應(yīng)明確角色定位的主旨要義，以更好地發(fā)揮講題教學(xué)效益.

4.2 角色定位的關(guān)注點(diǎn)

在日常講題教學(xué)中，我們會(huì)遇到兩種典型的教學(xué)困惑：一是教師認(rèn)為明明講的很清楚、很到位，可學(xué)生不是太懂，仍然不能獨(dú)立正確解決問(wèn)題；二是學(xué)生認(rèn)為課堂上老師講的我都聽(tīng)懂了，為什么接下來(lái)還是不會(huì)做題.要探索造成師生困惑的原因到底是什么，應(yīng)著眼于教師教了什么和學(xué)生學(xué)了什么.講題教學(xué)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是邏輯思維能力. 在講題教學(xué)中，以角色定位的視角關(guān)注題目、關(guān)注學(xué)生、關(guān)注方法，能有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，解決教學(xué)困惑.

(1)關(guān)注題目

圖11

理解題目是教師實(shí)施講題教學(xué)的基礎(chǔ).題目應(yīng)該精心挑選，難易適中，本著有利于啟發(fā)學(xué)生思維，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的原則，向?qū)W生呈現(xiàn)所謂的好問(wèn)題.教師在理解題目的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生從熟悉題目到深入理解題目，搞清楚未知量、已知數(shù)據(jù)、條件等信息，為探尋解題思路做充分準(zhǔn)備.教師還應(yīng)圍繞題目挖掘潛在的教學(xué)價(jià)值，對(duì)于適切的題目，用角色定位的視角引導(dǎo)學(xué)生分析、探索，以幫助學(xué)生豐富問(wèn)題解決的策略. 比如在圖11中，直線a∥b，點(diǎn)B在直線b上，AB⊥BC，若∠2=55°，則∠1=__________°. 這里的“∠1”具備“多角色”特征，教學(xué)中，基于角色定位的視角，引導(dǎo)學(xué)生感受把∠1定位成內(nèi)錯(cuò)角或余角，決定不一樣的解題路徑，通過(guò)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、靈活地思考問(wèn)題，對(duì)適用于角色定位特征的問(wèn)題，嘗試角色定位分析的方法，體會(huì)角色定位的價(jià)值.

(2)關(guān)注學(xué)生

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.[1]學(xué)生作為講題教學(xué)的受教對(duì)象，不是課堂教學(xué)的“配角”，而是課堂教學(xué)的“主角”.波利亞認(rèn)為教師應(yīng)順乎自然地幫助學(xué)生，教師應(yīng)當(dāng)把自己放在學(xué)生的位置上，他應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生的情況，應(yīng)當(dāng)努力去理解學(xué)生心里在想些什么，然后提出一個(gè)問(wèn)題或是指出一個(gè)步驟，而這正是學(xué)生自己原本應(yīng)想到的.[2]角色定位作為一種探尋解題思路的方法，是對(duì)“學(xué)為中心”教學(xué)理念的踐行，是關(guān)注學(xué)生、凸顯學(xué)習(xí)主體地位的具體做法.

(3)關(guān)注方法

講題教學(xué)是一種常規(guī)的學(xué)教方式，學(xué)生的學(xué)與教師的教在題目的講解傳授過(guò)程中達(dá)成.在這個(gè)師生互動(dòng)的過(guò)程中，題目的解決只是起點(diǎn)，而數(shù)學(xué)思維方法的歸納和提煉才是落腳點(diǎn).眾所周知，實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)有助于落實(shí)學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用.角色定位是教師實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)的具體方式之一，教學(xué)中，基于角色定位視角的引導(dǎo)點(diǎn)撥，是對(duì)聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、整合、綜合、分析等數(shù)學(xué)方法的集中梳理，是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)性、高階性思維活動(dòng)的過(guò)程，這樣的過(guò)程必將促使講題教學(xué)既有寬度，也有高度，更有深度.