2019年9月號(hào)問題解答

(解答由問題提供人給出)

2501設(shè)△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的三邊長分別為a,b,c，三角形的面積△，求證：

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)式中等號(hào)成立.

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

證明令a=y+z,b=z+x,c=x+y，

而 2(ab+bc+ca)-(a2+b2+c2)

=2[(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+(x+y)(y+z)]-[(y+z)2+(z+x)2+(x+y)2]

=2[(x2+y2+z2)+3(xy+yz+zx)]

-[2(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx)]

=4(xy+yz+zx)，

于是(1)式等價(jià)于

?(xy+yz+zx)2≥3xyz(x+y+z)

?(xy)2+(yz)2+(zx)2+2xyz(x+y+z)≥3xyz(x+y+z)

?(xy)2+(yz)2+(zx)2≥xyz(x+y+z)

(2)

而(xy)2+(yz)2+(zx)2≥xy·yz+yz·zx+zx

·xy=xyz(x+y+z)，

即(2)式成立，從而(1)式成立.

由以上證明過程可知，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z即a=b=c亦即△ABC為等邊三角形時(shí)，(1)式中等號(hào)成立.

2502設(shè)AM為銳角三角形ABC的外接圓直徑，N為邊BC的中點(diǎn)，P為∠BAC的平分線AP與直線MN的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為點(diǎn)P在兩邊AB和AC上的射影，證明：直線MN與EF的交點(diǎn)H是△ABC的垂心.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

證明如圖，在△ABC及其外接圓中，因∠BAC的平分線AP與所給直線MN相交，

故知AB≠AC，不妨設(shè)AB

設(shè)直線MN與△ABC外接圓的另一交點(diǎn)為Q，

連接QA，QB，QC，QE，QF及MB，MC.

因AM為△ABC外接圓的直徑，

故∠AQP= 90°.

又因∠AEP=∠AFP= 90°，

故A，Q，E，P，F(xiàn)五點(diǎn)共圓.

因∠QEA=∠QFA，

故∠QEB=∠QFC.

又因∠QBA=∠QCA，

故△QBE∽ △QCF，

①

在四邊形QBMC中，

由BN=CN得S△QBM=S△QCM，

即BQ·BM·sin∠QBM

=CQ·CM·sin∠QCM.

因∠QBM+∠QCM=180°，

故BQ·BM=CQ·CM.

②

在線段NQ上截取NH′ =MN，

連接H′E，H′F及H′B，H′C，

所得四邊形H′BMC為平行四邊形(因該四邊形對(duì)角線互相平分).

因BH′∥MC，MC⊥AC，

故BH′⊥AC，同理CH′⊥AB.

因此，點(diǎn)H′ 是△ABC的垂心，

同時(shí)∠EBH′ = 90°-∠BAC=∠FCH′.

根據(jù)① ②及CM=BH′，BM=CH′ 得

由此可知△EBH′ ∽ △FCH′，

從而有∠H′EB=∠H′FC.

③

由題設(shè)知AE=AF，∠AEF=∠AFE，

從而有∠HEB=∠HFC(③式的特例).

④

△ABC的垂心H′ 和點(diǎn)H在線段NQ上，

考慮線段NH′ 與NH的關(guān)系：

如果NH′ =NH，此時(shí)點(diǎn)H′ 重合于點(diǎn)H；

如果NH′ >NH，結(jié)合③ ④得

∠H′EH=∠H′EB-∠HEB

=∠H′FC-∠HFC=∠H′FH，

于是△EH′F為等腰三角形，

其頂點(diǎn)H′ 在邊EF的中垂線AP上，

即△ABC的垂心H′ 在AP上，

因此AP⊥BC. 又因AP平分∠BAC，

故AB=AC，這與AB≠AC矛盾；

同理，NH′

綜上得知，H′ 和H兩點(diǎn)重合，

因此點(diǎn)H是△ABC的垂心.

2503△ABC中，a,b,c分別表示三角形三邊長，I為△ABC的內(nèi)心，則

(浙江省永康市第六中學(xué) 呂永軍 321300)

證明設(shè)r,R分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑

2504已知a，b，c>0，abc=1，求證：

(河南省南陽師范學(xué)院軟件學(xué)院 李居之 孫文雪 473061)

證明不難證明，當(dāng)x>0時(shí)，

xlnx≥x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立)，

所以，當(dāng)x>0時(shí)，有

于是

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.

2505如圖，△ABC中，D,E,F分別是邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且,BD=mBC,CE=mCA,AF=mAB,0

(湖北省公安縣第一中學(xué)楊先義434300)

證明設(shè)M是△ABC的重心．

熟知下述引理:

所以△ABC與△PQR的重心重合．

2019年10月號(hào)問題

(來稿請(qǐng)注明出處——編者)

2506在k邊形A1A2…AK(k≥3)中，a1,a2,…,ak為其各邊長，s為周長，n∈N+且n≥2，0<λ≤1，求證：

(安徽省岳西中學(xué) 儲(chǔ)百六 246600)

2507如圖,已知四邊形ABCD，E、F、I、J分別是四邊的中點(diǎn)，分別連接AJ、IB、DJ、IC交G、H，IJ、EF交O，求證：GH∥EF.

(江西師范高等專科學(xué)校 王建榮 335000)

2508在銳角△ABC中，有

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟300456)

2509如圖，在△ABC中，∠BCA的平分線與△ABC的外接圓交于點(diǎn)R,∠BCX=∠ACY,邊BC的垂直平分線交CX于點(diǎn)P，邊CA的垂直平分線交CY于點(diǎn)Q，K是BC的中點(diǎn)，L是AC的中點(diǎn)，則△RPK和△RQL面積相等.

(安徽省旌德中學(xué) 趙忠華 242600)

2510已知a,b,c>1,a+b+c+2≥abc,求證:

(陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000)