扈保洪

在天津市2019年中考數(shù)學(xué)試卷中，有一道試題如下：

題目 如圖1，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，∠ABC=50°，∠BAC=30°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的圓的圓心在邊AC上.

（Ⅰ）線段AB的長(zhǎng)等于;（答案：172）

（Ⅱ）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖1所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出一個(gè)點(diǎn)P，使其滿(mǎn)足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）.（注：現(xiàn)已將原來(lái)題圖中部分多余的網(wǎng)格刪除）

因?yàn)樵谠撝锌碱}的標(biāo)準(zhǔn)答案中，所求作的點(diǎn)P只給出一個(gè)位置（見(jiàn)圖2），且除點(diǎn)P的畫(huà)法外，也沒(méi)有構(gòu)圖思路的詳細(xì)解析過(guò)程;而根據(jù)題設(shè)條件，利用尺規(guī)作圖法不難發(fā)現(xiàn)，滿(mǎn)足∠PAC=∠PBC=∠PCB的點(diǎn)P應(yīng)該有兩個(gè)位置（見(jiàn)圖3的點(diǎn)P1和P2），所以這種情況值得商榷，因而也引起筆者對(duì)該問(wèn)題的關(guān)注.

然而，隨著探究的深入，筆者除修正了上述中考題的答案外，還對(duì)該試題的特色以及對(duì)教學(xué)的啟示等有些許領(lǐng)悟.因此，為促進(jìn)對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的研究，更好地反哺教學(xué)，現(xiàn)整理成文，與同仁交流.1 構(gòu)圖思路解析

1.1 畫(huà)出示意圖

根據(jù)題設(shè)條件，由∠PBC=∠PCB知，點(diǎn)P應(yīng)在BC邊的垂直平分線P1P2上，由∠PAC=∠PCB知，點(diǎn)P應(yīng)在以AC為弦，且與BC切于點(diǎn)C的⊙O1上，據(jù)此，可利用尺規(guī)及量角器畫(huà)出較準(zhǔn)確的示意圖（見(jiàn)圖3，EF是⊙O的直徑，CH是⊙O1的直徑）.這樣，由于點(diǎn)P滿(mǎn)足∠PAC=∠PBC=∠PCB，則點(diǎn)P必是直線P1P2與⊙O1的交點(diǎn)，又因直線P1P2與⊙O1上有兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2，故所求作的點(diǎn)P應(yīng)有P1、P2兩個(gè)位置（見(jiàn)圖3），而且也正因?yàn)橛袌D3的直觀啟示，才引發(fā)下列的觀察、猜想、驗(yàn)證、計(jì)算、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程.

1.2 點(diǎn)P1準(zhǔn)確位置的構(gòu)圖思路

在圖3中，經(jīng)仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B、P1、O可能共線.因此，不妨以此為目標(biāo)，探究點(diǎn)P1準(zhǔn)確位置的構(gòu)圖思路：設(shè)點(diǎn)P1在OB上，則由∠ABO=∠BAO=30°，∠BOC=2∠BAO=60°，知∠P1AC=∠P1CB=∠P1BC=∠ABC-∠ABO=50°-30°=20°，∠P1CA=∠ACB-∠P1CB=100°-20°=80°;這樣，延長(zhǎng)P1C交⊙O于點(diǎn)Q，則∠ACQ=100°.

由于∠ACB=∠ACQ=100°，故BC與QC關(guān)于直徑AN成軸對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而連接QO后，則由對(duì)稱(chēng)性知∠OQC=∠OBC=20°，于是∠COQ=180°-100°-20°=60°;那么再延長(zhǎng)QO（交AB于D），知OD平分∠AOB，且OD是邊AB的中線 ，所以根據(jù)平行線分線段成比例定理，點(diǎn)D也是邊AB與格線的交點(diǎn).因此，當(dāng)點(diǎn)P1在OB上時(shí)，點(diǎn)P1的位置可由射線DO、QC和半徑OB來(lái)確定.

另一方面，若點(diǎn)P1不在OB上，設(shè)OB與⊙O1交于點(diǎn)P3，則由上述分析知∠P3AC=∠P3BC=∠P3CB=20°.而由點(diǎn)P2不在△ABC的內(nèi)部知，點(diǎn)P2與P3不可能重合，但滿(mǎn)足∠PAC=∠PBC=∠PCB的點(diǎn)P只有兩個(gè)位置，故點(diǎn)P1必與點(diǎn)P2重合（否則，點(diǎn)P將有三個(gè)位置）.因?yàn)樵摻Y(jié)論與點(diǎn)P1、P2不重合（由于易證12BC

因此，由上述兩個(gè)方面的分析知：先畫(huà)射線DO（交⊙O于Q），再畫(huà)射線QC，則QC與OB的交點(diǎn)必為所求的點(diǎn)P1（見(jiàn)圖2）.

1.3 點(diǎn)P2準(zhǔn)確位置的構(gòu)圖思路

在圖3中憑直覺(jué)還可發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P2可能是直線P1P2、⊙O、⊙O1三者的公共點(diǎn);而且分別延長(zhǎng)BO（交⊙O于M）、AO（交⊙O于N），并連接MN（交CQ于R），則點(diǎn)O、P2、R可能共線;另外，點(diǎn)G（P1A與OD交于G）、P2、C也可能共線.那么，這些猜想是否合理呢？不妨驗(yàn)證一下（注：因?yàn)橛贸咭?guī)所畫(huà)出的圖3比較準(zhǔn)確，所以有理由認(rèn)為上述發(fā)現(xiàn)（猜想）可能都是真實(shí)的）：

在圖3中，假設(shè)點(diǎn)P2在射線RO上，由于易知OQ與MN互相垂直平分，則OR=QR，∠P2OA=∠NOR=60°-∠QOR=60°-20°=40°，進(jìn)而得∠P2AO=∠AP2O=70°，∠P2BA=20°，∠P2BC=50°+20°=70°，∠P2HC=∠P2AO=70°;于是在Rt△P2CH中，∠P2CH=20°，∠P2CB=90°-20°=70°.

假設(shè)點(diǎn)P2在射線CG上，因易知△OCP1≌△OGP1，故點(diǎn)C、G關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，于是CG⊥OB，得∠P2CO=30°，∠P2CB=70°，進(jìn)而∠P1CH=90°-∠P1CB=70°;又由P1P2∥CH知，⊙O1的內(nèi)接四邊形P1P2HC為等腰梯形，故∠P2HC=70°，∠P2AC=70°;再由四邊形P1P2HC的內(nèi)角和為360°，知∠P2BC=70°.

顯然，上述各結(jié)論與題設(shè)條件均無(wú)矛盾.

但需要明確的是：以上只是驗(yàn)證了猜想，盡管這種驗(yàn)證有助于學(xué)生做出正確的判斷，而且以上述猜想為基礎(chǔ)，學(xué)生能夠提煉出只用無(wú)刻度直尺畫(huà)點(diǎn)P2位置的兩種方法，并相應(yīng)地畫(huà)出圖4和圖5（這兩個(gè)圖雖然是由合情推理得到的，但教學(xué)中允許使用合情推理，由此得出的正確結(jié)論自然也應(yīng)列出來(lái)，這正是原標(biāo)準(zhǔn)答案的缺失之處）.然而，這種驗(yàn)證卻是以某些假定的結(jié)論為前提的合情推理，要證實(shí)上述猜想，還需要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過(guò)程（題目未做要求）. 證明 當(dāng)通過(guò)畫(huà)射線RO找點(diǎn)P2（即圖4的點(diǎn)P）的位置時(shí)，設(shè)射線RO交⊙O于點(diǎn)P，并連接PA、PB、PC（見(jiàn)圖4），則∠POA=40°，∠PBA=20°，得∠PAO=∠APO=70°，∠PBC=50°+20°=70°.

令∠PCB=θ，則∠ACP=100°-θ，∠APC=10°+θ.于是，在△ABC、△PBC、△PAC中，依次有：ACsin30°=BCsin50°①，BCsin70°=PCsin（110°-θ）②，PCsin（10°+θ）=ACsin70°③;