董紅霞　李樹臣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）把初中階段“數(shù)與代數(shù)”部分的內(nèi)容分為三大部分：數(shù)與式;方程與不等式;函數(shù).這些內(nèi)容是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是用于表示、交流與解決問題的工具，廣泛用于表達(dá)、計(jì)算和推理等活動過程之中.

教師要在學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)知識的同時(shí)，適當(dāng)設(shè)計(jì)一些讓學(xué)生通過建立方程模型、不等式模型以及函數(shù)模型解決的實(shí)際問題，以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.在學(xué)生通過適量的訓(xùn)練，能熟練的建立其中一個(gè)模型解決實(shí)際問題后，要設(shè)計(jì)一些突出它們聯(lián)系（結(jié)合）的問題，以不斷提高學(xué)生建立“數(shù)式模型”解決實(shí)際問題的能力.

本文從2019年各地中考試題中選擇了部分通過建立三者（方程、不等式、函數(shù)知識）模型解答的問題加以分析，旨在引導(dǎo)教師加強(qiáng)知識之間聯(lián)系的教學(xué)與研究，發(fā)揮數(shù)式內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力方面的作用.1 建立方程（組）與不等式模型

關(guān)于方程（組），《課標(biāo)（2011年版）》的要求是“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”，為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，在教學(xué)中要突出建立方程（組）模型解決實(shí)際問題的教學(xué).初中階段學(xué)習(xí)的方程主要有：一元一次方程（組）、分式方程和一元二次方程.

《課標(biāo)（2011年版）》提出“能根據(jù)具體問題中數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題”，在有關(guān)不等式（組）知識的教學(xué)中，也要注重建立不等式模型解決實(shí)際問題的教學(xué).

中考題常見考查學(xué)生通過建立方程（組）模型與不等式（組）模型解決實(shí)際問題的題目，這樣的問題比單獨(dú)讓學(xué)生建立方程（組）模型或不等式（組）模型解決實(shí)際問題的難度有所增加.

案例1 采購運(yùn)動服問題（山東聊城）

某商場的運(yùn)動服裝專柜，對A，B兩種品牌的運(yùn)動服分兩次采購試銷后，效益可觀，計(jì)劃繼續(xù)采購進(jìn)行銷售.已知這兩種服裝過去兩次的進(jìn)貨情況如下表：

（1）問A，B兩種品牌運(yùn)動服的進(jìn)貨單價(jià)各是多少元？

（2）由于B品牌運(yùn)動服的銷量明顯好于A品牌，商家決定采購B品牌的件數(shù)比A品牌件數(shù)的32倍多5件，在采購總價(jià)不超過21 300元的情況下，最多能購進(jìn)多少件B品牌運(yùn)動服？

簡解 （1）設(shè)A，B兩種品牌運(yùn)動服的進(jìn)貨單價(jià)分別為x元，y元，根據(jù)題意可建立方程組20x+30y=10 200，30x+40y=14 400，解得x=240，y=180.檢驗(yàn)知方程組的解符合題意.（2）設(shè)購進(jìn)A品牌運(yùn)動服m件，建立不等式240m+180（32m+5）≤21 300，解得m≤40.檢驗(yàn)符合題意.所以32m+5≤32×40+5=65.

點(diǎn)評 本題以“購買學(xué)生運(yùn)動服”為背景，考查學(xué)生建立方程組和不等式模型解答實(shí)際問題的能力.有關(guān)信息是用文字和圖表兩種方式給出的，建立方程組模型的關(guān)鍵是從圖表中獲取有用的信息.建立不等式模型的關(guān)鍵是正確理解“不超過21 300元”的意義.

在通過建立不等式或不等組模型解決有關(guān)實(shí)際問題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生正確理解“不大于”“不小于”“超過”“低于”等關(guān)鍵詞的含義，這是建立不等式（組）模型的關(guān)鍵，也是考生容易出錯的地方.2 建立方程與函數(shù)模型

函數(shù)是初中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)感到困難的地方，初中階段將學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).對這些函數(shù)的學(xué)習(xí)，《課標(biāo)（2011年版）》都作出了要通過建立相應(yīng)模型解決實(shí)際問題的要求.例如“能用一次函數(shù)解決簡單實(shí)際問題”“能用反比例函數(shù)解決簡單實(shí)際問題”對于二次函數(shù)也有同樣的要求.

無論在學(xué)習(xí)哪種具體函數(shù)時(shí)，我們都要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建立相應(yīng)的模型解決有關(guān)實(shí)際問題.中考題中除了考查學(xué)生通過建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力外，常見的是讓學(xué)生通過建立方程（組）與函數(shù)兩種模型解決實(shí)際問題的考題.

案例2 銷售芒果問題（四川攀枝花）

攀枝花得天獨(dú)厚，氣候宜人，農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富，其中晚熟芒果遠(yuǎn)銷北上廣等大城市.某水果店購進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)晚熟芒果，進(jìn)價(jià)為10元/千克，售價(jià)不低于15元/千克，且不超過40元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內(nèi)的銷售量y（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）某天這種芒果售價(jià)為28元/千克，求當(dāng)天該芒果的銷售量.

（2）設(shè)某天銷售這種芒果獲利m元，寫出m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式.如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價(jià)為多少元？

簡解 設(shè)該一次函數(shù)解析式為y=kx+b，則25k+b=35，22k+b=38， 解得k=-1，b=60.

則y與x的解析式為y=-x+60（15≤x≤40）.

（1）當(dāng)x=28時(shí)，y=-28+60=32.所以當(dāng)芒果售價(jià)為28元/千克時(shí)，當(dāng)天該芒果的銷售量為32千克.

（2）由題易知m=y（x-10）=（-x+60）（x-10）=-x2+70x-600.當(dāng)m=400時(shí)，則-x2+70x-600=400，解得x1=20，x2=50.因?yàn)?5≤x≤40，所以x=20.

點(diǎn)評 本考題以“賣芒果”為背景，主要考察學(xué)生通過建立方程（組）模型和函數(shù)模型解答實(shí)際問題的能力.用到的知識主要有解方程組、解一元二次方程、一次函數(shù)性質(zhì)等.這類問題中涉及到利潤問題，解答時(shí)要熟練掌握以下幾個(gè)常用的公式：利潤=售價(jià)-成本價(jià)，總利潤=單個(gè)商品的利潤×銷售量，利潤率=利潤÷進(jìn)價(jià)×100%.

在解答問題（1）和（2）之前，需要先根據(jù)表格中給定的數(shù)量對應(yīng)關(guān)系，用待定系數(shù)法確定出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+60，并且根據(jù)“售價(jià)不低于15元/千克，且不超過40元/千克”確定出自變量x的取值范圍是15≤x≤40，這是學(xué)生容易忽略的地方.有了解析式y(tǒng)=-x+60，問題（1）隨之而解.問題（2）首先要“根據(jù)總利潤=銷售量×每千克的利潤”得出芒果獲利m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式m=y（x-10），然后把y=-x+60代入，得到二次函數(shù)解析式m=-x2+70x-600，最后令m=400，得到一元二次方程模型.3 建立不等式與函數(shù)模型

讓學(xué)生通過建立不等式（組）模型與函數(shù)模型解決實(shí)際問題的考題也是常見的一種題型.

案例3 產(chǎn)品利潤問題（江蘇連云港）

某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共2 500噸，每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品可獲得利潤0.3萬元，每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品可獲得利潤0.4萬元.設(shè)該工廠生產(chǎn)了甲產(chǎn)品x（噸），生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤為y（萬元）.

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;

（2）若每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要A原料0.25噸，每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要A原料0.5噸.受市場影響，該廠能獲得的A原料至多為1 000噸，其它原料充足.求出該工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為多少噸時(shí)，能獲得最大利潤.

簡解 （1）利潤y（元）=生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤+生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤;而生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤=生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品的利潤0.3萬元×甲產(chǎn)品的噸數(shù)x，即0.3x萬元，生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤=生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品的利潤0.4萬元×乙產(chǎn)品的噸數(shù)（2 500-x），即0.4（2 500-x）萬元.生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤為y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為：y=0.3x+0.4（2500-x）=-0.1x+1 000.

（2）根據(jù)題意可得0.25x+0.5（2 500-x）≤1000，x≤2 500，解得1 000≤x≤2 500.根據(jù)函數(shù)的增減性，結(jié)合自變量x的取值范圍，可知當(dāng)x=1 000時(shí)，y最大，所以2500-x=1 500.

所以生產(chǎn)甲產(chǎn)品1 000噸，乙產(chǎn)品1 500噸時(shí)，利潤最大.

點(diǎn)評 本考題以“工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品”為背景，主要考察學(xué)生通過建立不等式組模型和函數(shù)模型解答實(shí)際問題的能力.用到的主要知識有不等式組、一次函數(shù)的性質(zhì)等.解答問題（1）時(shí)，根據(jù)“甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤=甲產(chǎn)品的利潤+乙產(chǎn)品的利潤”可直接建立一次函數(shù)模型.解答問題（2）的關(guān)鍵是在正確理解題意的基礎(chǔ)上，建立起不等式組模型.4 建立方程、不等式與函數(shù)模型

前面的三個(gè)案例都是建立兩個(gè)模型就能解決的問題.下面的問題則是要求學(xué)生建立三個(gè)模型才能解決的考題，這樣的題目突出了三者的綜合利用，對于提高學(xué)生建立代數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力是很有必要的.

案例4 公交班車問題（浙江寧波）

某風(fēng)景區(qū)內(nèi)的公路如圖1所示，景區(qū)內(nèi)有免費(fèi)的班車，從入口出發(fā)，沿該公路開往草甸，途中?？克郑ㄉ舷萝嚂r(shí)間忽略不計(jì)）.第一班車上午8點(diǎn)發(fā)車，以后每隔10分鐘有一班車從入口處發(fā)車，小聰周末到該風(fēng)景區(qū)游玩，上午7：40到達(dá)入口處，因還沒到班車發(fā)車時(shí)間，于是從景區(qū)入口處出發(fā)，沿該公路步行25分鐘后到達(dá)塔林，離入口處的路程y（米）與時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

（1）求第一班車離入口處的路程y（米）與時(shí)間x（分）的函數(shù)表達(dá)式;

（2）求第一班車從入口處到達(dá)塔林所需的時(shí)間;

（3）小聰在塔林游玩40分鐘后，想坐班車到草甸，則小聰最早能夠坐上第幾班車？如果他坐這班車到草甸，比他在塔林游玩結(jié)束后立即步行到草甸提早了幾分鐘？（假設(shè)每一班車速度均相同，小聰步行速度不變）

分析 （1）利用待定系數(shù)法，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，即可求解析式;（2）將1 500代入解析式，即可求出所需時(shí)間;（3）根據(jù)題意列出不等式，求得小聰坐的是第幾班車，然后分別算出坐車和步行到草甸的時(shí)間，即可求出二者相差的時(shí)間.

簡解 （1）由題意可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（b≠0），把（20，0），（38，2 700）代入，可得0=20k+b，2 700=38k+b，解得k=150，b=-3 000.

所以第一班車離入口處的路程y（米）與時(shí)間x（分）的函數(shù)表達(dá)式為y=150x-3 000（20≤x≤38）;

（2）把y=1 500代入y=150x-3 000，解得x=30，30-20=10（分）.

所以第一班車到塔林所需時(shí)間為10分鐘.

（3）設(shè)小聰坐上第n班車，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5.

所以小聰最早坐上第5班車，等班車時(shí)間為5分鐘，坐班車所需時(shí)間：1 200÷150=8（分），步行所需時(shí)間為1 200÷（1 500÷25）=20（分）.20-（8+5）=7（分）.

所以小聰坐班車到草甸比他游玩結(jié)束后立即步行到草甸提早了7分鐘.

點(diǎn)評 本題以小聰游覽景點(diǎn)乘坐“公交車”問題為背景，考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式并求解多個(gè)問題的綜合性題目.問題（1）在確定一次函數(shù)解析式的過程中，需要根據(jù)公交車函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方程組模型;（2）在求“第一班車從入口處到達(dá)塔林所需的時(shí)間”時(shí)，需要建立一元一次方程模型;在求解問題（3）時(shí)，首先需要根據(jù)題意建立不等式模型，求出小聰坐的是第幾班車，然后分別算出坐車和步行到草甸的時(shí)間，即可求出二者相差的時(shí)間.在求差時(shí)不要忘了小聰?shù)劝嘬嚨臅r(shí)間，這是學(xué)生容易忽視出錯的地方.

本題在解答過程中需要求出公交班車行駛的速度，求這個(gè)速度的信息“融入”在第一班車離入口處的路程y（米）與時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系圖象之中，這也是學(xué)生感到困難的地方.5 啟示

5.1 突出模型教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生模型思想

數(shù)學(xué)模型思想是《課標(biāo)（2011年版）》提出的十大核心概念之一，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.針對這種思想《課標(biāo)（2011年版）》進(jìn)一步解釋為“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”.

這就要求我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合具體的內(nèi)容，適當(dāng)加強(qiáng)對學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的訓(xùn)練，通過訓(xùn)練讓學(xué)生逐步明確圖3所示的建立模型解決數(shù)學(xué)問題的一般過程.

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)活動，是一種數(shù)學(xué)思想方法，是解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)對于促進(jìn)學(xué)生模型思想的形成，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是非常有價(jià)值的.

5.2 加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言教學(xué)

建立數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際問題的第一步是閱讀題目，明確題意的要求，學(xué)生閱讀的前提是能準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)語言，這里的語言主要指文字語言、圖形語言和符號語言.數(shù)學(xué)語言有著極其嚴(yán)格的含義，我們可以用“增之一分則太長，減之一分則太短，著粉則太白，施朱則太赤”來形容它的簡練性.在閱讀時(shí)，要求學(xué)生要了解其中每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語、符號的精確含義，如在建立不等式模型時(shí)，必須通過閱讀理解“大于”“不超過”“至少”“最多”等詞語所表述的具體意義.

5.3 突出知識的應(yīng)用過程教學(xué)

《課標(biāo)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動.這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)‘問題情境─建立模型─求解驗(yàn)證的過程，這個(gè)過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗(yàn);要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)完一個(gè)知識點(diǎn)后，要根據(jù)實(shí)際，盡量選取一些能利用這些知識解答的實(shí)際問題，讓學(xué)生通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型去解答.這樣既加深了學(xué)生對有關(guān)知識的理解，也能不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.加深學(xué)生對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密切相聯(lián)系的認(rèn)識.逐漸形成學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、從數(shù)學(xué)的角度去觀察、分析生活中所遇到的實(shí)際問題的心理傾向，逐步形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.久而久之，學(xué)生才能體會到“數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會進(jìn)步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面”的真諦.