董紅霞 李樹臣
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課標(biāo)(2011年版)》)把初中階段“數(shù)與代數(shù)”部分的內(nèi)容分為三大部分:數(shù)與式;方程與不等式;函數(shù).這些內(nèi)容是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,是用于表示、交流與解決問題的工具,廣泛用于表達(dá)、計(jì)算和推理等活動過程之中.
教師要在學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)知識的同時(shí),適當(dāng)設(shè)計(jì)一些讓學(xué)生通過建立方程模型、不等式模型以及函數(shù)模型解決的實(shí)際問題,以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.在學(xué)生通過適量的訓(xùn)練,能熟練的建立其中一個(gè)模型解決實(shí)際問題后,要設(shè)計(jì)一些突出它們聯(lián)系(結(jié)合)的問題,以不斷提高學(xué)生建立“數(shù)式模型”解決實(shí)際問題的能力.
本文從2019年各地中考試題中選擇了部分通過建立三者(方程、不等式、函數(shù)知識)模型解答的問題加以分析,旨在引導(dǎo)教師加強(qiáng)知識之間聯(lián)系的教學(xué)與研究,發(fā)揮數(shù)式內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力方面的作用.1 建立方程(組)與不等式模型
關(guān)于方程(組),《課標(biāo)(2011年版)》的要求是“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”,為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的,在教學(xué)中要突出建立方程(組)模型解決實(shí)際問題的教學(xué).初中階段學(xué)習(xí)的方程主要有:一元一次方程(組)、分式方程和一元二次方程.
《課標(biāo)(2011年版)》提出“能根據(jù)具體問題中數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式,解決簡單的問題”,在有關(guān)不等式(組)知識的教學(xué)中,也要注重建立不等式模型解決實(shí)際問題的教學(xué).
中考題常見考查學(xué)生通過建立方程(組)模型與不等式(組)模型解決實(shí)際問題的題目,這樣的問題比單獨(dú)讓學(xué)生建立方程(組)模型或不等式(組)模型解決實(shí)際問題的難度有所增加.
案例1 采購運(yùn)動服問題(山東聊城)
某商場的運(yùn)動服裝專柜,對A,B兩種品牌的運(yùn)動服分兩次采購試銷后,效益可觀,計(jì)劃繼續(xù)采購進(jìn)行銷售.已知這兩種服裝過去兩次的進(jìn)貨情況如下表:
(1)問A,B兩種品牌運(yùn)動服的進(jìn)貨單價(jià)各是多少元?
(2)由于B品牌運(yùn)動服的銷量明顯好于A品牌,商家決定采購B品牌的件數(shù)比A品牌件數(shù)的32倍多5件,在采購總價(jià)不超過21 300元的情況下,最多能購進(jìn)多少件B品牌運(yùn)動服?
簡解 (1)設(shè)A,B兩種品牌運(yùn)動服的進(jìn)貨單價(jià)分別為x元,y元,根據(jù)題意可建立方程組20x+30y=10 200,30x+40y=14 400,解得x=240,y=180.檢驗(yàn)知方程組的解符合題意.(2)設(shè)購進(jìn)A品牌運(yùn)動服m件,建立不等式240m+180(32m+5)≤21 300,解得m≤40.檢驗(yàn)符合題意.所以32m+5≤32×40+5=65.
點(diǎn)評 本題以“購買學(xué)生運(yùn)動服”為背景,考查學(xué)生建立方程組和不等式模型解答實(shí)際問題的能力.有關(guān)信息是用文字和圖表兩種方式給出的,建立方程組模型的關(guān)鍵是從圖表中獲取有用的信息.建立不等式模型的關(guān)鍵是正確理解“不超過21 300元”的意義.
在通過建立不等式或不等組模型解決有關(guān)實(shí)際問題時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生正確理解“不大于”“不小于”“超過”“低于”等關(guān)鍵詞的含義,這是建立不等式(組)模型的關(guān)鍵,也是考生容易出錯的地方.2 建立方程與函數(shù)模型
函數(shù)是初中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容,也是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)感到困難的地方,初中階段將學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).對這些函數(shù)的學(xué)習(xí),《課標(biāo)(2011年版)》都作出了要通過建立相應(yīng)模型解決實(shí)際問題的要求.例如“能用一次函數(shù)解決簡單實(shí)際問題”“能用反比例函數(shù)解決簡單實(shí)際問題”對于二次函數(shù)也有同樣的要求.
無論在學(xué)習(xí)哪種具體函數(shù)時(shí),我們都要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建立相應(yīng)的模型解決有關(guān)實(shí)際問題.中考題中除了考查學(xué)生通過建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力外,常見的是讓學(xué)生通過建立方程(組)與函數(shù)兩種模型解決實(shí)際問題的考題.
案例2 銷售芒果問題(四川攀枝花)
攀枝花得天獨(dú)厚,氣候宜人,農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富,其中晚熟芒果遠(yuǎn)銷北上廣等大城市.某水果店購進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)晚熟芒果,進(jìn)價(jià)為10元/千克,售價(jià)不低于15元/千克,且不超過40元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內(nèi)的銷售量y(千克)與該天的售價(jià)x(元/千克)之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)某天這種芒果售價(jià)為28元/千克,求當(dāng)天該芒果的銷售量.
(2)設(shè)某天銷售這種芒果獲利m元,寫出m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式.如果水果店該天獲利400元,那么這天芒果的售價(jià)為多少元?
簡解 設(shè)該一次函數(shù)解析式為y=kx+b,則25k+b=35,22k+b=38, 解得k=-1,b=60.
則y與x的解析式為y=-x+60(15≤x≤40).
(1)當(dāng)x=28時(shí),y=-28+60=32.所以當(dāng)芒果售價(jià)為28元/千克時(shí),當(dāng)天該芒果的銷售量為32千克.
(2)由題易知m=y(x-10)=(-x+60)(x-10)=-x2+70x-600.當(dāng)m=400時(shí),則-x2+70x-600=400,解得x1=20,x2=50.因?yàn)?5≤x≤40,所以x=20.
點(diǎn)評 本考題以“賣芒果”為背景,主要考察學(xué)生通過建立方程(組)模型和函數(shù)模型解答實(shí)際問題的能力.用到的知識主要有解方程組、解一元二次方程、一次函數(shù)性質(zhì)等.這類問題中涉及到利潤問題,解答時(shí)要熟練掌握以下幾個(gè)常用的公式:利潤=售價(jià)-成本價(jià),總利潤=單個(gè)商品的利潤×銷售量,利潤率=利潤÷進(jìn)價(jià)×100%.
在解答問題(1)和(2)之前,需要先根據(jù)表格中給定的數(shù)量對應(yīng)關(guān)系,用待定系數(shù)法確定出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+60,并且根據(jù)“售價(jià)不低于15元/千克,且不超過40元/千克”確定出自變量x的取值范圍是15≤x≤40,這是學(xué)生容易忽略的地方.有了解析式y(tǒng)=-x+60,問題(1)隨之而解.問題(2)首先要“根據(jù)總利潤=銷售量×每千克的利潤”得出芒果獲利m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式m=y(x-10),然后把y=-x+60代入,得到二次函數(shù)解析式m=-x2+70x-600,最后令m=400,得到一元二次方程模型.3 建立不等式與函數(shù)模型
讓學(xué)生通過建立不等式(組)模型與函數(shù)模型解決實(shí)際問題的考題也是常見的一種題型.
案例3 產(chǎn)品利潤問題(江蘇連云港)
某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共2 500噸,每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品可獲得利潤0.3萬元,每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品可獲得利潤0.4萬元.設(shè)該工廠生產(chǎn)了甲產(chǎn)品x(噸),生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤為y(萬元).
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要A原料0.25噸,每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要A原料0.5噸.受市場影響,該廠能獲得的A原料至多為1 000噸,其它原料充足.求出該工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為多少噸時(shí),能獲得最大利潤.
簡解 (1)利潤y(元)=生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤+生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤;而生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤=生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品的利潤0.3萬元×甲產(chǎn)品的噸數(shù)x,即0.3x萬元,生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤=生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品的利潤0.4萬元×乙產(chǎn)品的噸數(shù)(2 500-x),即0.4(2 500-x)萬元.生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤為y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為:y=0.3x+0.4(2500-x)=-0.1x+1 000.
(2)根據(jù)題意可得0.25x+0.5(2 500-x)≤1000,x≤2 500,解得1 000≤x≤2 500.根據(jù)函數(shù)的增減性,結(jié)合自變量x的取值范圍,可知當(dāng)x=1 000時(shí),y最大,所以2500-x=1 500.
所以生產(chǎn)甲產(chǎn)品1 000噸,乙產(chǎn)品1 500噸時(shí),利潤最大.
點(diǎn)評 本考題以“工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品”為背景,主要考察學(xué)生通過建立不等式組模型和函數(shù)模型解答實(shí)際問題的能力.用到的主要知識有不等式組、一次函數(shù)的性質(zhì)等.解答問題(1)時(shí),根據(jù)“甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤=甲產(chǎn)品的利潤+乙產(chǎn)品的利潤”可直接建立一次函數(shù)模型.解答問題(2)的關(guān)鍵是在正確理解題意的基礎(chǔ)上,建立起不等式組模型.4 建立方程、不等式與函數(shù)模型
前面的三個(gè)案例都是建立兩個(gè)模型就能解決的問題.下面的問題則是要求學(xué)生建立三個(gè)模型才能解決的考題,這樣的題目突出了三者的綜合利用,對于提高學(xué)生建立代數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力是很有必要的.
案例4 公交班車問題(浙江寧波)
某風(fēng)景區(qū)內(nèi)的公路如圖1所示,景區(qū)內(nèi)有免費(fèi)的班車,從入口出發(fā),沿該公路開往草甸,途中??克郑ㄉ舷萝嚂r(shí)間忽略不計(jì)).第一班車上午8點(diǎn)發(fā)車,以后每隔10分鐘有一班車從入口處發(fā)車,小聰周末到該風(fēng)景區(qū)游玩,上午7:40到達(dá)入口處,因還沒到班車發(fā)車時(shí)間,于是從景區(qū)入口處出發(fā),沿該公路步行25分鐘后到達(dá)塔林,離入口處的路程y(米)與時(shí)間x(分)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.
(1)求第一班車離入口處的路程y(米)與時(shí)間x(分)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求第一班車從入口處到達(dá)塔林所需的時(shí)間;
(3)小聰在塔林游玩40分鐘后,想坐班車到草甸,則小聰最早能夠坐上第幾班車?如果他坐這班車到草甸,比他在塔林游玩結(jié)束后立即步行到草甸提早了幾分鐘?(假設(shè)每一班車速度均相同,小聰步行速度不變)
分析 (1)利用待定系數(shù)法,將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,即可求解析式;(2)將1 500代入解析式,即可求出所需時(shí)間;(3)根據(jù)題意列出不等式,求得小聰坐的是第幾班車,然后分別算出坐車和步行到草甸的時(shí)間,即可求出二者相差的時(shí)間.
簡解 (1)由題意可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(b≠0),把(20,0),(38,2 700)代入,可得0=20k+b,2 700=38k+b,解得k=150,b=-3 000.
所以第一班車離入口處的路程y(米)與時(shí)間x(分)的函數(shù)表達(dá)式為y=150x-3 000(20≤x≤38);
(2)把y=1 500代入y=150x-3 000,解得x=30,30-20=10(分).
所以第一班車到塔林所需時(shí)間為10分鐘.
(3)設(shè)小聰坐上第n班車,30-25+10(n-1)≥40,解得n≥4.5.
所以小聰最早坐上第5班車,等班車時(shí)間為5分鐘,坐班車所需時(shí)間:1 200÷150=8(分),步行所需時(shí)間為1 200÷(1 500÷25)=20(分).20-(8+5)=7(分).
所以小聰坐班車到草甸比他游玩結(jié)束后立即步行到草甸提早了7分鐘.
點(diǎn)評 本題以小聰游覽景點(diǎn)乘坐“公交車”問題為背景,考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式并求解多個(gè)問題的綜合性題目.問題(1)在確定一次函數(shù)解析式的過程中,需要根據(jù)公交車函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方程組模型;(2)在求“第一班車從入口處到達(dá)塔林所需的時(shí)間”時(shí),需要建立一元一次方程模型;在求解問題(3)時(shí),首先需要根據(jù)題意建立不等式模型,求出小聰坐的是第幾班車,然后分別算出坐車和步行到草甸的時(shí)間,即可求出二者相差的時(shí)間.在求差時(shí)不要忘了小聰?shù)劝嘬嚨臅r(shí)間,這是學(xué)生容易忽視出錯的地方.
本題在解答過程中需要求出公交班車行駛的速度,求這個(gè)速度的信息“融入”在第一班車離入口處的路程y(米)與時(shí)間x(分)的函數(shù)關(guān)系圖象之中,這也是學(xué)生感到困難的地方.5 啟示
5.1 突出模型教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生模型思想
數(shù)學(xué)模型思想是《課標(biāo)(2011年版)》提出的十大核心概念之一,是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.針對這種思想《課標(biāo)(2011年版)》進(jìn)一步解釋為“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括:從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”.
這就要求我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)結(jié)合具體的內(nèi)容,適當(dāng)加強(qiáng)對學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的訓(xùn)練,通過訓(xùn)練讓學(xué)生逐步明確圖3所示的建立模型解決數(shù)學(xué)問題的一般過程.
數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)活動,是一種數(shù)學(xué)思想方法,是解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)對于促進(jìn)學(xué)生模型思想的形成,進(jìn)而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是非常有價(jià)值的.
5.2 加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言教學(xué)
建立數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際問題的第一步是閱讀題目,明確題意的要求,學(xué)生閱讀的前提是能準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)語言,這里的語言主要指文字語言、圖形語言和符號語言.數(shù)學(xué)語言有著極其嚴(yán)格的含義,我們可以用“增之一分則太長,減之一分則太短,著粉則太白,施朱則太赤”來形容它的簡練性.在閱讀時(shí),要求學(xué)生要了解其中每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語、符號的精確含義,如在建立不等式模型時(shí),必須通過閱讀理解“大于”“不超過”“至少”“最多”等詞語所表述的具體意義.
5.3 突出知識的應(yīng)用過程教學(xué)
《課標(biāo)(2011年版)》指出,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動.這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)‘問題情境─建立模型─求解驗(yàn)證的過程,這個(gè)過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能,感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗(yàn);要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,增強(qiáng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”.
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,當(dāng)學(xué)完一個(gè)知識點(diǎn)后,要根據(jù)實(shí)際,盡量選取一些能利用這些知識解答的實(shí)際問題,讓學(xué)生通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型去解答.這樣既加深了學(xué)生對有關(guān)知識的理解,也能不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.加深學(xué)生對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密切相聯(lián)系的認(rèn)識.逐漸形成學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、從數(shù)學(xué)的角度去觀察、分析生活中所遇到的實(shí)際問題的心理傾向,逐步形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.久而久之,學(xué)生才能體會到“數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會進(jìn)步息息相關(guān),隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展,數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面”的真諦.
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)2019年5期