孔凡紅

幾何是初中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，幾何型綜合題更是近幾年中考考查的熱點題型.但學(xué)生在解決幾何類問題時，常常“望題興嘆”，找不到解決問題的途徑與方法.下面以2019年濟寧中考第22題為例，談?wù)動伞靶巍被靶汀?，提煉模型，探索有效的解題策略，更好地培養(yǎng)學(xué)生分析，解決問題的能力.1 試題呈現(xiàn)

（2019年山東濟寧）如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD邊上一點，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于點G.

（1）求線段CE的長;

（2）如圖2，M，N分別是線段AG，DG上的動點（與端點不重合），且∠DMN=∠DAM，設(shè)AM=x，DN=y.

①寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值;

②是否存在這樣的點M，使△DMN是等腰三角形？若存在，請求出x的值;若不存在，請說明理由.2 思路突破

2.1 利用圖形的折疊，探尋基本解法

解法1（勾股定理）

如圖3，由折疊可知：AD=AF=10，DE=EF，又因為AB=8，所以由勾股定理得，BF=6.所以FC=BC-BF=4.在Rt△ECF中，設(shè)CE=x，則EF=8-x，所以（8-x）2=42+x2解得x=3，即CE=3.

解法2（相似三角形）

圖3中，由折疊可知∠AFE=∠ADE=90°，所以∠B=∠AFE=∠ECF=90°（一線三直角），易證△ABF∽△FCE，所以ABFC=BFCE，即84=6CE，解得CE=3.

解法3（銳角三角形函數(shù)）

如圖3，在Rt△ABF中，tan∠BAF=BFAB=34，因為∠BAF=∠EFC，所以tan∠EFC=ECFC=34，EC4=34，所以CE=3.

評析 通過上述解法，我們看出勾股定理、相似三角形和銳角三角函數(shù)具有非常緊密的聯(lián)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，所以認(rèn)真審題，抓住本質(zhì)，選取簡便方法求解.

2.2 識別經(jīng)典相似模型，幾何問題代數(shù)化

大部分學(xué)生被第（2）問難住了，關(guān)鍵是沒有從繁雜的幾何圖形中辨別出經(jīng)典幾何相似模型——“一線三等角”相似模型（圖4）或“母子”相似模型（圖5）.

一線三等角型 圖5 母子型

解法1 由折疊可知：AD=AF，∠DAE=∠FAE.因為四邊形ABCD是矩形，

所以AD∥BG，所以∠DAE=∠AGF，所以∠FAG=∠AGF，所以四邊AFGD是菱形.

又因為AB=8，BG=16，由勾股定理得AG=AB2+BG2=85.

因為∠DMG=∠DMN+∠NMG=∠DAM+∠ADM，∠DMN=∠DAM，

所以∠ADM=∠NMG.又因為∠DAM=∠MGN，所以△ADM∽△GMN，

所以ADGM=AMGN即1085-x=x10-y，整理得y=110x2-455x+10，當(dāng)x=45時，ymin=2.

解法2 易證△DMN∽△DGM，所以DM2=DN·DG=10y.

下面只需用x表示出DM2就可以了.

生1：如圖6，過點M作MH⊥AD于點H

則△AMH∽△GAB，所以MHAH=ABGB=816=12.

又因為AM=x，所以MH=55x，AH=255x，

所以DH=10-255x，由勾股定理得DM2=MH2+DH2=（55x）2+（10-255x）2=10y，整理得y=110x2-455x+10，當(dāng)x=45時，ymin=2.圖6 圖7

生2：如圖7，連接DF交AG于點O，因為四邊形ADGF是菱形，所以AG⊥DF，易求DF=45，所以DO=25，AO=45，

所以DM2=DO2+MO2=（25）2+（45-x）2=10y，整理得y=110x2-455x+10，當(dāng)x=45時，ymin=2.

生3：由余弦定理可得DM2=AD2+AM2-2AD·AM·cos∠DAG，

因為∠DAG=∠AGB，所以cos∠DAG=cos∠AGB=1685=255，

10y=102+x2-2×10×x×255，

整理得y=110x2-455x+10.當(dāng)x=45時，ymin=2.

評析 此問主要考查相似的兩種模型及勾股定理的應(yīng)用，所以平時要善于積累幾何模型，從繁雜的幾何圖形中抽象出熟悉的幾何模型，問題便可迎刃而解.從試卷的多種解法中，也發(fā)現(xiàn)個別能力強的學(xué)生已經(jīng)提前觸摸高中教材.并能利用高中知識點解決初中問題.這也提示著教師在初中最后復(fù)習(xí)階段要針對不同的學(xué)生進行因材施教，促進個性發(fā)展.

2.3 等腰三角形的分類討論思想

存在這樣的點M，使△DMN是等腰三角形.

①當(dāng)MD=MN時（圖8），使△DMN是等腰三角形，

則△ADM≌△GMN，所以AD=MG，即10=85-x，所以x=85-10.

②當(dāng)DM=DN時（圖9），∠DMN=∠DNM=∠DGM，此時點N與點G重合，不合題意.

③當(dāng)ND=MN時，

解法1 如圖10，因為ND=MN，所以∠NDM=∠NMD=∠DGM，

所以MD=MG=85-x，因為△ADM∽△GMN，所以ADGM=AMGN=DMMN，即1085-x=x10-y=85-xy，

由1085-x=x10-y得10y=x2-85x+100，

由1085-x=85-xy得10y=x2-165x+320，

所以x2-85x+100=x2-165x+320，所以x=1125.

解法2 如圖11，過點M作MQ⊥DG于點Q，因為ND=MN，所以∠NDM=∠NMD=∠DGM，所以MD=MG.又因為MQ⊥DG，所以Q為DG中點，因為DG=10，所以GQ=5，又因為tan∠QGM=tan∠AGB=816=12，所以MQ=5 2[SX）]，MG=55 2[SX）]，所以x=85-552=1125.

綜上所述，當(dāng)x=85-10或1125時△DMN是等腰三角形.

評析 本問針對三種情況的討論不難，難的是根據(jù)每兩邊相等推出角（邊）之間的數(shù)量關(guān)系，再聯(lián)系各種性質(zhì)即可求解.

3 啟示與思考

從2019年山東濟寧中考第22題可以看到，以相似三角形基本模型為載體的中考試題，能把眾多的平面幾何知識，甚至函數(shù)知識聯(lián)系在一起，結(jié)論多，變形多，需要用心的透過現(xiàn)象看本質(zhì)，努力抓住“變”中之“不變”，借圖給力，順?biāo)浦?，尋求解?