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        “三點(diǎn)一線面積法”模型及其應(yīng)用

        2019-11-25 12:31:01吳國(guó)慶朱杰
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2019年5期
        關(guān)鍵詞:共線垂線直角坐標(biāo)

        吳國(guó)慶 朱杰

        七年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系后,會(huì)遇到一類三點(diǎn)共線問(wèn)題,由于學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)一次函數(shù)知識(shí),這里需要借助構(gòu)圖,利用面積法建立關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題,

        下面舉例說(shuō)明.

        在直角坐標(biāo)系中,A(a,b),B(c,d)(c>a>0,d>b>0)

        (1)如圖1,點(diǎn)C(x,y)在線段AB上,探求A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系;

        (2)如圖2,AB和x軸交點(diǎn)為M(x,0),探求A,B,M三點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系;

        (3)如圖3,AB和y軸交點(diǎn)為N(0,y),探求A,B,N三點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系.

        解析 (1)如圖1,過(guò)A,B,C分別作x軸垂線,垂足分別為D,F(xiàn),E,由S梯形ADFB=S梯形ADEC+S梯形CEFB可得12(b+d)(c-a)=12(b+y)(x-a)+12(d+y)(c-x),化簡(jiǎn)整理得:bc+ay+dx=ad+cy+bx;

        (2)如圖2,過(guò)A,B分別作x軸垂線,垂足分別為D,F(xiàn),由S△MBF=S梯形ADFB+S△AMD可得12(c-x)d=12(b+d)(c-a)+12(a-x)b,化簡(jiǎn)整理得:ad+bx=bc+dx;

        (3)如圖3,過(guò)A,B分別作x軸垂線,垂足分別為D,F(xiàn),由S梯形NOFB=S梯形NODA+S梯形ADFB,可得12(y+d)c=12(y+b)a+12(b+d)(c-a),化簡(jiǎn)整理得:ad+cy=bc+ay.

        當(dāng)共線三點(diǎn)所處位置不同,我們類似構(gòu)圖,通過(guò)面積建立三點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系,我們不妨將其稱為“三點(diǎn)一線面積法”模型,下面例析其應(yīng)用.

        (1)直接應(yīng)用

        例1 如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(5,1),C(4,4),把△ABC先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到△DEF(其中A與D,B與E,C與F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)).

        (1)畫出△DEF;

        (2)設(shè)DF與橫坐標(biāo)都是-74的直線交于點(diǎn)R,求點(diǎn)R坐標(biāo).圖4

        解析 (1)畫圖如圖4,D(-2,2),F(xiàn)(1,5);

        (2)過(guò)D,R,F(xiàn)分別作x軸垂線,垂足分別為M,N,P,設(shè)R(-74,y),由“三點(diǎn)一線面積法”模型可以得到:

        12(2+5)×3=12(-1.75+2)(2+y)+12(1+1.75)(5+y),解得y=94,所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-74,94).

        (2)疊合應(yīng)用

        例2 如圖5,在直角坐標(biāo)系中,A(-2,0),B(-1,2),C(1,0),連接AB,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),連接OB交CD于點(diǎn)E,求四邊形DAOE的面積.圖5

        解析 過(guò)D,B,E分別作x軸垂線,垂足分別為M,N,P,設(shè)E(x,y),由“三點(diǎn)一線面積法”模型,B,E,O在一條線上得y+2x=0,D,E,C在一條線上得5y+2x=2,聯(lián)立y+2x=0和5y+2x=2,得E(-0.25,0.5),可求四邊形DAOE的面積為1.25.

        (3)構(gòu)造應(yīng)用

        例3 在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(a,0),B(b,0),C(0,6),D(8,0),點(diǎn)P為線段CD上一點(diǎn),設(shè)P(m,n),且有a+2b+m=0,2a+b+m=-5.

        (1)如圖6,若S△ABP<10,求m的取值范圍;

        (2)如圖7,若a<0,b>0,點(diǎn)B沿y軸方向平移至M,使AM∥CD,若S△ABM=12S△CBD,

        求點(diǎn)M的坐標(biāo).

        解析 (1)過(guò)P作x軸垂線,垂足為E,又C,P,D在一條線上,由“三點(diǎn)一線面積法”模型得:3m+4n=24,由條件可得:a=-10-m3,b=5-m3,由

        S△ABP=12(5-m3--10-m3)(6-34m)<10,解得m>83.

        因?yàn)镻在CD上,所以m<8,綜合知83

        (2)將CD平移至AE,由條件知點(diǎn)M在AE上,過(guò)E作x軸垂線,垂足為點(diǎn)F,由條件得a=b-5,S△CBD=12(8-b)×6=24-3b,又因?yàn)镾△ABM=12S△CBD,所以BM=24-3b5,由條件進(jìn)一步得到A(b-5,0),E(3+b,-6),M(b,24-3b5),因?yàn)锳,E,M共線,由“三點(diǎn)一線面積法”模型得b=74,所以M(74,-154).

        (4)靈活應(yīng)用

        例4 如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中,A(4,3),B(3,1),C(1,2).

        (1)若點(diǎn)P(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),S△PAB>S△ABC,求m的取值范圍;

        (2)根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,我們知道,在△ABC中,AB+AC>BC,由不等式性質(zhì)知AC>BC-AB,即三角形中任意一邊大于另外兩邊之差,由上面提示,在x軸上找一點(diǎn)M,使AM-BM最長(zhǎng).

        解析 (1)延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)M,可

        求S△ABC=52,又A,B,M共線,由“三

        點(diǎn)一線面積法”模型得M(52,0),因?yàn)?/p>

        S△PAB>S△ABC,所以1252-m(3-1)>52,

        解得m<0或m>5;

        (2)根據(jù)提示,延長(zhǎng)AB交x軸于一點(diǎn),即為所求點(diǎn)M,所以M(52,0).

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